天津大学自动化原理 第八章 非线性控制系统分析 夏超英

（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。

t
4
0 2 y t sin
td
t
4 k
2 X sin t sin td t
t1
图8-12死区非线性和非线性特性曲线
10
其中
X
sint1,t1
arcsin X
代入上式得,
A1
2k X
2
arcsin X
X
1
2
X
NX A1 k 2k arcsin
图8-5
4
第二节 非线性元件的描述函数
一、描述函数
图8-6 非线性控制系统
图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加 一幅值为X频率为ω的正弦信号,即 e=Xsinωt，则其输出为：
y A 0 A 1 st i B 1 n ct o A 2 s s 2 i t B n 2 c 2 t o s
它的数学表达式为
k
θi
b
2
;
θ0
k
θi
b
2
;
θ
m
sgn
θ0
;
θ＞ 0 θ＜ 0 θ 0
b 齿轮间隙
1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究
竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。
2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输
出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动
假设:
1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0 2）r(t)=0
3）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中各项高次
谐波滤掉，只剩一次谐波项。
5
则 y 1 A 1 st i B 1 c n t o Y 1 s s t i 1 n

当输入x趋于零时，等效增益趋于无穷大；由于输出 的幅值保持不变，故当|x|增大时，等效增益减小，
|x|趋于无穷大时，等效增益趋于零。
2. 死区特性的等效增益
死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行元件 的不灵敏区所造成的。死区特性的等效增益曲线如 图8-4(b)所示。 当|x|<Δ时，k=0； |x|>Δ时，k为|x|的增函数，且随 |x|趋于无穷大时，k趋于k0。
参数，与外作用和初始条件无关。
对于非线性系统：可能存在多个平衡状态，各平衡状
态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系 统的初始条件有直接的关系。
如下述非线性一阶系统：
= x2 x － x = x ( x－ 1)
令x = 0 ，可知该系统存在两个平衡状态：
x = 0 和 x =1
设t=0时，系统的初始条件为x0，解上述微分方程得：
性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，
分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
逆系统法：运用内环非线性反馈控制，构成伪线性
系统，设计外环控制网络。应用数学工具直接研究 非线性系统的运动方程，是非线性系统控制研究的 一个发展方向。
8.2 常见非线性特性及其 对系统运动的影响
一、非线性特性的等效增益
3. 饱和特性的等效增益
放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱 和现象。饱和特性的等效增益曲线如图8-4(c)所示。 当输入|x|≤a时，输出y随输入x线性变化，等效增益 k=k0；当|x|>a时，输出保持量保持常值，k为|x|的
不能回复至原平衡状态；而 平衡状态x=0在一定范围的 扰动下(x0<1)是稳定的。
图8-2 非线性一阶系统的 时间响应曲线

x’
[x,x’]
1
x
0
t
13
相——系统的状态。 相平面——以系统状态变量为坐标轴所构成的平面坐标系。 相轨迹——相平面中，描述点（即状态点）随时间变化所形成的轨迹。 相图——相平面中一族相轨迹组成的图形。
平衡点——即奇点，相轨迹的交点（以后详述）。
x'
[x,x']
例1 设系统运动方程为： 2 0 x x0 ——等幅振荡过程 x dx 2 x 0 ω 0<1 2 dt 0 x dx ω 0>1 dx dx x x ω 0=1 dt 2 x x 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ——相轨迹方程 x ( x ) A 积分，得 0 A 0 A
4 怎样分析？
建立系统模型，稳定性分析、是否有自持振荡、如何消除自持振荡。
3
8-1 典型非线性环节及对系统影响
8-1-1 非线性特性的等效增益 设非线性特性为： y f ( x ) 定义非线性环节输出与输入的比值为等效增益：k
y k0
y f ( x) x x
y
y -a
x k
-Δ
Δ
k
k0 α a x
j
t
s1

o s2
7
例8-2 系统如图 当无饱和特性时，
R E Z
α
U
系统的开环传递函数：
K1 K 2 G( s ) s( s 1)(Ts 1)
K2 s(s+1)(Ts+1)
C
k1=tgα
开环增益为：K=K1K2。
当开环增益K>临界增益Kc时，系统阶跃响应为发散振荡的。 饱和特性则不同，它在大幅值阶跃信号作用下，