焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数 学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x x =∈≤N ，{}30B x x x =-=，则（ ） A ．A B ÜB ．B A ÜC ．A B =D ．AB =∅2．已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．5B ．5-C ．5iD ．5i -3．若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切，则a =（ ）A ．1BC ．2D ．44．“5c o s 25s i n 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC △所在平面内一点D 满足12DA DB DC ++=0，则ABC △的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍B ．4倍C ．3倍D ．2倍6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A ．48B ．32C ．24D ．167．已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（ ） A ．ln 212-B ．21ln 2-C ．1ln 2-D ．11ln 2-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于B ，D 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()2sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．12π-为()f x 的一个周期 B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称 C ．()f x π+为偶函数D ．()f x 在[2,3]ππ上单调递增10．已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为ABC △的面积为12AA =，棱11B C 的中点为M ，则（ ）A ．该三棱台的侧面积为30BC ．AM ⊥平面11BCC BD ．二面角1A AB C --的余弦值为1311．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A ，B ，C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A ，B ，C 的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A ，B ，C 时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（ ） A ．该项目达标的概率为0.68B ．若甲不负责工序C ，则该项目达标的概率为0.54C ．若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为1534D ．若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5812．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-，直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C 交于M ，N 两点，P 为线段MN 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．若2km =-，则以MN 为直径的圆与l 相交 B ．若2m k =-，则(OM ON O ⊥为坐标原点）C ．过点M ，N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于点A ，则AP l ⊥D ．若||1MN =，则点P 到直线l 的距离大于等于58三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的底面半径为1_________． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为_________． 15．已知正实数m ，n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-，则m n +的最大值为_________．16．若函数1e()(2)e x f x x x xλ-=+-在(0,)+∞上没有零点，则实数λ的取值范围为_________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=． （I ）证明：2222a b c +=；（II ）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥S ABC -中，22ABSA SC ===，AC BC ==SB =（I ）求证：平面SAC ⊥平面ABC ； （II ）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值． 19．（12分）已知数列{}n a 中，12a =，1232n n n a a +=+⋅． （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验，假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<，且每次试验相互独立． （I ）若小王某天进行了4次试验，且13p =，求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望；（II ）若恰好成功2次后停止试验，12p =，以Y 表示停止试验时试验的总次数，求2()ni P Y i ==∑．（结果用含有n 的式子表示） 21．（12分） （I ）求函数1()ex f x x -=-的极值；（II ）若(0,1]a ∈，证明：当0x >时，(1)e 1ln x ax x a --+≥+．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆2240:5x y +=相切．（I ）求C 的方程．（II ）过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：（i ）直线AM ，AN 的斜率之积为定值； （ii ）120x x +=．焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．解析依题意，{}01{0,1}A x x =∈≤≤=N ，{}30{1,0,1}B x x x =-==-，所以A B Þ． 2．答案B命题意图本题考查复数的基本运算． 解析56i65i iz +==-，虚部为5-． 3．答案D命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C 与x 轴相切，所以24a a =且0a >，解得4a =． 4．答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．解析225cos25sin 2103cos2sin 5sin cos 0αααααα++=⇔-+=，显然cos 0α≠，则22tan 5tan 30αα--=，解得1tan 2α=-或tan 3α=．5．答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析设AB 的中点为M ，因为2()CD DA DB =+，所以4CD DM =，所以点D 是线段CM 的五等分点，所以ABC △的面积是ABD △的面积的5倍． 6．答案C命题意图本题考查排列组合．解析1与4相邻，共有22A 2=种排法，两个2之间插入1个数，共有12A 2=种排法，再把组合好的数全排列，共有33A 6=种排法，则总共有22624⨯⨯=种密码． 7．答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．解析依题意，()e 2xf x x λ'=-，则e 20,e 20,p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩即2e 2,e 4,p p p p λλ⎧=⎨=⎩显然λ，0p ≠，故e 2p =，则l n2p =，代入e 2pp λ=中，解得1ln 2λ=，则1(0)1ln 2f =-． 8．答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析易知C 的渐近线方程为b y x a =±，不妨设直线:()b BD y x c a =-，联立方程得(),,b y xc ab y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2c x =，2bc y a =-，则,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．而FB BD =，故3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x y a b -=中，得2222911616c c a a -=，则222221c b a a==+，故所求C 的渐近线方程为y x =±． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质． 解析依题意，()f x 的最小正周期2613T ππ==，则12π-为()f x 的一个周期，故A 正确；(2)2f π=，故B正确；()2sin 36x f x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，不是偶函数，故C 错误；()f x 在[2,3]ππ上单调递减，故D 错误． 10．答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征．解析对于A ，根据条件可得114A B =，6AB =，所以等腰梯形11ABB A==3=A 错误；对于B ，设ABC △的中心为O ，111A B C △的中心为1O ，可知11OAAO是直角梯形，OA =11O A =1OO ==B 正确； 对于C ，分别延长棱1AA ，1BB ，1CC 交于点P ，易知PBC △为等边三角形，四面体PABC 为正四面体，M 恰好为PBC △的中心，所以AM ⊥平面11BCC B ，故C 正确；对于D ，二面角1A AB C --即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为13，故D 正确． 11．答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式．解析记甲负责工序A 为事件1M ，B 为事件2M ，甲负责工序C 为事件3M ，该项目达标为事件N ．对于A ，该项目达标的概率为()()()()()()112233()P N P M P N M P M P N M P M P N M =++0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，()()()()()()()()112212120.50.60.30.8270.50.340P M P N M P M P N M P N M M P M P M +⨯+⨯+===++，故B 错误；对于C ，()()()1110.50.615()0.6834P M P N M P M N P N ⨯===，故C 正确； 对于D ，()()()1110.5(10.6)5()10.688P M P N M P M N P N ⨯-===-，故D 正确．12．答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题． 解析由题可得抛物线2:2C y x =，设()11,M x y ，()22,N x y ．对于A ，直线1:2l y k x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭过C 的焦点，则以MN 为直径的圆与l 相切，故A 错误； 对于B ，直线:2l y kx k '=-，将22y x =代入，得2240ky y k --=，则124y y =-，故221212124y y OM ON x x y y ⋅=+=+120y y =，故B 正确；对于C ，抛物线C 在点M 处的切线方程为11y y x x =+，抛物线C 在点N 处的切线方程为22y y x x =+，联立两式，解得122A P y y y y +==，故AP l ⊥，故C 正确； 对于D ，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当MN x ⊥轴时，点P 到直线l 的距离最小，此时18M N x x ==，点P 到直线l 的距离为58，故D 正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案23π命题意图本题考查空间几何体的结构特征．解析设圆锥（如图所示）的高为h ．因为2113h π⋅⋅⋅=，所以h =母线3SA ==．将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为2π，则扇形的圆心角为23π．14．答案6-命题意图本题考查数列的周期性、分组求和． 解析依题意1n a ≠-，故111n n a a +=-+，所以212a =-，32a =-，41a =，…，故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭． 15．答案2命题意图本题考查基本不等式及其应用．解析依题意得22()1m n m n mn +-++=，则22211()()()()()4m nm n m n m n m n m n =+-+-≥+-+-+=23()()4m n m n +-+，当且仅当m n =时等号成立，则23()4()40m n m n +-+-≤，解得02m n <+≤，则m n +的最大值为2． 16．答案4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析令()0f x =，显然2x ≠，则2e (2)x x x λ=-，令2e ()(2)xg x x x =-，(0,2)(2,)x ∈+∞，则32(1)(4)e ()(2)xx x g x x x --'=-，令()0g x '=，得14x =，21x =，易知函数()g x 在(0,1)和(4,)+∞上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，且极大值为(1)e g =-，极小值为4e (4)32g =．由图象可知，当4e e 32λ-<<时，直线y λ=与曲线()y g x =没有交点，即()f x 在(0,)+∞上没有零点．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换． 解析（I ）由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=， 由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab ++--⋅=，化简得2222a b c +=． （II ）由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故b =，所以a =，故222cos 2b c a A bc +-== 18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角． 解析（I ）因为22216AC BC AB +==，所以BC AC ⊥， 同理可得222BC SC SB +=，故BC SC ⊥，因为SC AC C =，所以BC ⊥平面SAC ，因为BC ⊂平面ABC ，故平面SAC ⊥平面ABC ．（II ）以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，A，B，S，555D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(2,0,SA =，(2,BS =-，45CD ⎛= ⎝⎭． 设(,,)n x y z =为平面SAB 的法向量，则0,0,SA n BS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,1,1)n =．设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ，则||22sin |cos ,|||||62CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯所以直线CD 与平面SAB ． 19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和． 解析（I ）由1232n n n a a +=+⋅，可得113222n n n n a a ++-=， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列， 故3311(1)222n n a n n -=+-⋅=，则1(31)2n n a n -=-⋅． （II ）由（I ）可知()12(31)2(1)(1)222(1)1(31)n n n n n n n n b n n n n n n n+-⋅⋅--⋅===-++-+， 故12231122222222122311n n n n T n n n ++=-+-++-=-++． 20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．解析（I ）依题意，1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4216(0)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3142132(1)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2224218(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334218(3)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 411(4)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为：故()433E X =⨯=． （II ）方法一：设A =“停止试验时试验总次数不大于n ”，则2()(2)(3)(4)()()ni P Y i P Y P Y P Y P Y n P A ====+=+=++==∑，A =“n 次试验中，成功了0次或1次”，“n 次试验中，成功了0次”的概率111122nnP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； “n 次试验中，成功了1次”的概率11211C 1222n n nn P -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 所以12221()12n nni n P Y i P P =--==--=∑． 方法二：事件“Y n =”表示前1n -次试验只成功了1次，且第n 次试验成功， 故1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=， 所以23421231()2222nni n P Y i =-==++++∑， 利用错位相减法可得该式的结果为212n nn --．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质． 解析（I ）依题意，1()e1x f x -'=-，令()0f x '=，解得1x =，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 而(1)0f =，故()f x 的极小值为0，无极大值． （II ）由（I ）可知，当0x >时，1e x x -≥，则1ln x x -≥．令()(1)e ln 1(0)x ah x x x a x -=--+->，则1()ex ah x x x-'=-，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增． 因为(0,1]a ∈，所以1211e 2022a h -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1(1)e 10ah -'=-≥，故01,12x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦，使得()00h x '=，即0001ex ax x -=①． 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 故[]()()0000min ()1e ln 1x ah x h x x x a -==--+-②．由①可得000201e,x ax a x x -=-=-， 代入②，得()()()()()000000000022200012121113ln 1311x x x x x h x x x x x x x x --+--=--+≥---+=， 而01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故()00h x ≥，故()0h x ≥，即原命题得证． 22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（I ）设椭圆的半焦距为(0)c c >．依题意，离心率c e a ===2a b =，c =①．直线:1x y l a b +=，即0bx ay ab +-==联立①②，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．（II ）（i ）设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠，=()22200005410540x k x y k y --+-=， 记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，为定值． （ii ）由（i ）的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-，联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440k x k y k x x y k x ++-+--=，故()11001021814k k x y x x k -+=+． 直线()020:AN y y k x x -=-，同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+． 故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++ ()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+，则120x x +=．。
