第六节-定积分的应用PPT课件

A(y)2xytan
2tan yR2y2
V 2tan
R
y
R2y2dy
0
y
o
R (x, y) x
-
练习题
1.求ysix,n y0,0x绕 x 轴和 y 轴旋转一周的旋转体 的体积. 解：由公式有 V x 0 si2x nd 2 x 0 (1 co 2 x)d s x 2 2
-
例20. 求由星形线xaco 3t,syasi3tn0t
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x)1(R2x2)tan(RxR)
2 利用对称性
V20 R1 2(R 2x2)tan dx
2tanR2x1x3R 2R3 tan
3 03
y
ox
R x
-
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
方法2 利用椭圆参数方程
x a cost
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b =
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
-
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求由曲线 y , 直x 线 及 x轴 所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积.
例1 由曲线
x2 a2
y2 b2
1
所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y

(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o

2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )

y1 f1(x)
所围成，则其面积公式为：
b
A f1 ( x ) f 2 ( x ) d x .
a
o
y2 f2(x)
a
b
x
3 、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、
右曲线 x2 g2( y) 、下
y
直线 y a 、上直线y b b
所围成, 则其面积公式为：
2
或
22
2
A 2 0
2x2 x2
dx
1 2
1 x2
dx
2
练习写出下列给定曲线所围成的图形面来自的定积分表达式。（7）
y2 42x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A202(2y42)(1y42)dy
4
2 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4x1
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积f (函 x) 数1在[a，b]
上连续，f且 (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分积的为面A badx
y
f(x)=x2
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x (1 ) 2 1 ] dx
授新课：一、直角坐标系情况
1 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
b
y

详细描述
在经济学中，定积分可以用于计算经济变量的累积分布函数和概率密度函数，从而解决 诸如保险、投资和风险评估等问题。在物理学中，定积分可以用于解决诸如物体运动轨 迹、电磁场和热传导等问题。在工程学中，定积分可以用于解决流体动力学、结构分析
和材料力学等问题。这些实际问题的解决需要借助定积分的理论和方法。
计算变速直线运动的路程
对于变速直线运动，我们可以通过微元法将时间划分为无数个小区间，然后根据速度函数计算每个小 区间的路程，最后求和得到总路程。
微元法的实例
计算圆环面积
通过微元法，我们可以将圆环划分为 无数个同心圆的面积，然后求和得到 近似值。
计算变力做功
对于变力做功的问题，我们可以通过 微元法将力划分为无数个微小的力， 然后根据每个微小力的作用距离计算 做功，最后求和得到总功。
计算体积
总结词
定积分在计算体积方面也具有重要应用，可以用于计算旋转体和曲面的体积。
详细描述
利用定积分的几何意义，可以计算旋转体的体积，例如球体、圆柱体等。此外 ，定积分还可以用于计算曲面的体积，例如旋转抛物面等。这些计算方法在几 何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。
解决实际问题
总结词
定积分的应用不仅仅局限于数学领域，还可以解决许多实际问题，如经济学、物理学和 工程学等。
05
定积分在经济学中的应用
边际分析与弹性分析
边际分析
定积分用于计算边际成本、边际收益 和边际利润，帮助企业决策者了解生 产或销售的增量变化对总成本、总收 入和总利润的影响。
弹性分析
定积分用于计算需求价格弹性、供给 价格弹性和交叉价格弹性，帮助企业 决策者了解产品价格变动对市场需求 和供给的影响程度。
定积分的性质