不定积分ppt课件

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第四章 不定积分

从这一章到第六章，将讨论一元函数积分学。积分学中有两个基本概念，即不定积分与定积分。本章先讨论不定积分的概念、性质与基本积分法。

§4.1 不定积分的概念与性质

一、微分法的逆问题

例1 如果已知质点的运动规律由方程)(tfs给出，即距离（路程）s是时间t的函数。由微分学知道，求函数)(tf的导数，就得到物体在时刻t的瞬时速度)('tfv。

但是，在物理学中，会遇到相反的问题：已知物体在任意时刻t的速度)(tvv，求这个物体的运动规律，即求出物体运动所经过的路程s和时间t的函数关系)(tfs，并且使得)()('tvtf。这就是微分法的逆问题。

例2 如果已知某产品的产量p是时间t的函数)(tpp，则求该产品产量在时刻t的变化率，就是求产量函数)(tpp对时间t的导数)(''tpp。

但在实际问题中，也会遇到相反的问题，即已知某产品产量在任意时刻t的变化率是时间t的函数)(tQQ，求该产品产量p与时间t的函数关系)(tpp，且使得)()('tQtp。这也是微分法的一个逆问题。

抽去上述问题的具体内容，从数学上说，已知函数)(xfy，求它的导数或微分：

)(''xfy 或 dxxfdy)('

这是微分法的问题。

反之，如果已知某函数)(xF的导数或微分

)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(

求原来的函数)(xF，且使得)()(xfxF或dxxfxdF)()(。这就是微分法的逆问题，也就是本章所讨论的中心问题。

二、原函数与不定积分

定义1 假设)(xf是定义在某一区间I上的函数，如果存在函数)(xF，使在这个区间I上每一点x都有

)()(xfxF 或 dxxfxdF)()(

则称)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数。

例如 因为在区间),(上，

)(cos)'(sin)(xfxxxF

1 第4章 不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分

不

定

积

分

的

概

念 设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx

或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。

计

算

方

法

第一换元

积分法

（凑微分法） 设()fu的 原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则 1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。

本章

的地

位与

作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

1 第四章 不定积分

4.1 内容提要与基本要求

一、内容提要

1．原函数与不定积分的定义

原函数：如果在区间上，可导函数()Fx的导函数为()fx，即对任一x，都有：()()Fxfx或()()dFxfxdx

则称()Fx是()fx在区间上的一个原函数．

()fx的原函数如果存在，则不唯一，且相差一个常数．

不定积分：函数()fx在区间上的原函数的全体称为()fx的不定积分．记为：()fxdx．

设()Fx为()fx在区间I上的一个原函数， 则：()()fxdxFxC，其中：()fx称为被积函数，称为积分号，()fxdx称为被积表达式，x称为积分变量，C 称为积分常数．

2.不定积分的性质

()()dfxdxfxdx 或()()dfxdxfxdx

()()FxdxFxC 或()()dFxFxC

[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx

()()kfxdxkfxdx

3．基本积分公式：

（1）dxxC

（2）111xdxxC (1)

（3）1lndxxCx

（4）lnxxaadxCa xxedxeC 2 （5）2211arctanxdxCxaaa (1)a

（6）2211ln||2xadxCxaaxa (1)a

（7）221arcsinxdxCaax (0)a

（8）22221ln||dxxxaCxa

（9）22222arcsin22xzxaxdxaxCa

（10）2222222ln22xaxadxxaxxaC

（11）sincosxdxxC （12）cossinxdxxC

（13）tanln|cos|xdxxC （14）cotln|sin|xdxxC

高等数学教案 第四章 不定积分

高等数学课程建设组1 第四章 不定积分

教学目的：

1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：

1、不定积分的概念；

2、不定积分的性质及基本公式；

3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：

1、换元积分法；

2、分部积分法；

3、三角函数有理式的积分。

§4 1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间I上 可导函数F(x)的导函数为f(x) 即对任一xI 都有

F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx

那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数

例如 因为(sin x)cos x  所以sin x 是cos x 的原函数

又如当x (1 )时

因为xx21)( 所以x是x21的原函数

提问:

cos x和x21还有其它原函数吗？

原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续 那么在区间I上存在可导函数F(x) 使对任一x I 都有

F (x)f(x)

简单地说就是 连续函数一定有原函数

两点说明

第一 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x) 那么f(x)就有无限多个原函数

F(x)C都是f(x)的原函数 其中C是任意常数

第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数 则 高等数学教案 第四章 不定积分