当前位置：文档之家 › 不定积分 PPT课件

不定积分 PPT课件

  • 格式：ppt
  • 大小：5.07 MB
  • 文档页数：55

下载文档原格式

  / 55

合集下载

高等数学第四章 第四节 不定积分 课件

高等数学第四章 第四节 不定积分 课件

例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2

4
A

4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分

高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.

20-第20讲不定积分及其计算共53页PPT资料

20-第20讲不定积分及其计算共53页PPT资料
F((x))C.
证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.
[ F (( x ) ) C ] F u u x f(( x ) ) ( x )
注1.定理中,若u为自变量时,当然有 f(u)duF(u)C
由此可见: 若 F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ƒ(x) 的所有原函数。
一. 不定积分的概念
定义
f (x) 在区间I 上的全体原函数的集合 { F ( x ) |F ( x ) f( x ) ,x I }
称为 f(x)在I上的不定 , 记 积为 分
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
(11 ) csc x cot x d x csc x C
(12 )
1 d x arcsin 1 x2
xC
(13
)
1
1 x2
dx

arctan
xC
以上积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！
例1
求(2x31)3dx.
解
( 2 x 3 1 ) 3 d x ( 8 x 6 1 x 4 6 2 x 2 1 d x )
使原积分变成可直接用积分公式来计算.
这种方法称为凑微分法. 其理论依据为
定理
设F(u)是f(u)在区I上 间的一个, 原函
f( u ) C (I)又 ,u (x )在 J 上 区 ,且 可 间微

4.不定积分。PPT

4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．

《不定积分教学》课件

《不定积分教学》课件

不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。

第4章 不定积分

第4章 不定积分

C.
又曲线过点(1，1)， 所以 1 ln1 C， C 1.
故所求曲线方程为 y ln x 1.
上页 下页 返回
三、不定积分的性质
1、( f ( x)dx) f ( x)，或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx.
证：设F( x) f ( x)，则 f ( x)dx F ( x) C.
第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念
上页 下页 返回
一、原函数与不定积分
1、原函数：设f ( x)在区间I有定义，若存在F ( x)，使
F ( x) f ( x)，则称F ( x)为f ( x)的原函数.
例1、 (sin x) cos x， sin x为cos x的原函数.
例2、 (ln x) 1 ( x 0)， lnx为 1 ( x 0)的原函数.
1 x
dx
ln
x
C
原式
1 3
1du u
1 ln 3
u
C
1 ln 3
4
3x
上页
C
下
页
返回
一、第一换元法(凑微分法)
例解3：、求令ux12e11xd，x则du 1 dx，
e xdx e x C
x
x2
1
原式 eudu eu C e x C.
如果该方法熟练了，可省略设u ( x)，直接凑微分.
使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).
上页 下页 返回
使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).

微积分第6章不定积分

微积分第6章不定积分
详细描述
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。

不定积分基本公式表 ppt课件

不定积分基本公式表 ppt课件
(4) axdx ax C; l na
当 ae时 , exd xexC ;
ppt课件
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
f(x )d x g (x )d x
f(x)g(x).
法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1 (x ) f2 (x ) fn (x )d x
f1 (x ) d x f2 (x ) d x fn (x )d x .
ppt课件
11
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
x2(x21)
x2(x21)
dx 1 dx x2 x2 1
1arctaxnC. x
ppt课件
16
例 ７ 求
x4 dx.
x2 1
解
x 4 dx x2 1
x4 11 dx
x2 1
(x21)x (21)
dx
1 dx
x21
x21
(x21)dx 1 dx 1x2
x3 xarctxanC.
ppt课件
5
(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC . 1 x 2
ppt课件
6
例1
求不定积分
1 x
dx.
解 被积函 1的 数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x

求不定积分的几种基本方法课件

求不定积分的几种基本方法课件

选择u和v的基本原则
• 在分部积分法中，选择u和v的原则是：首先观察不定积分的基本形式，确定 被积函数中的哪个函数作为u，将哪个函数作为v的导数。选择的依据是使凑 微分变得容易和计算简便。
分部积分法的基本步骤
分部积分法的基本步骤包括
4. 整理答案：化简所得的不定积分结果 ，得到最终答案。
3. 计算积分：对凑出的微分式进行积分 ，得到不定积分的结果。
$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$
$\int x^a(ax^b+cx^d)dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+c\frac{x^ {b+1}}{b+1}+d\frac{x^{d+1}}{d +1}+C$
07
CATALOGUE
其他特殊函数的不定积分
反三角函数系的不定积分
求解方法
通过不定积分的基本公式和性质，将有理函 数分解为简单的多项式和分式，然后逐个求 积分。
部分有理函数的积分表
$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （其 中n为非负整数）
$\int \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{x} + C$
$\int R(x)dx = R(x) + C$ （其中 C为常数）
根据新的变量，将 原函数转化为易于 积分的函数。
将新的函数的积分 还原为原函数的积 分，得出最终结果 。
04
CATALOGUE
分部积分法
分部积分法的定义
• 分部积分法是一种通过将函数分解为基本函数，并分别对它们进行积分，从而求得原函数不定积分的方法。它 基于微分学中的乘积法则和积分学中的凑微分法。

不定积分的计算ppt课件

不定积分的计算ppt课件

1
1 (ex )2
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
13
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
dx 2x ln
x
2
1 ln
x
d
(ln
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
解: 令 u ln x , v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 2
x2
ln
x
1 2
x dx
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
30
例2 求积分 x cos xdx . uvdx uv uvdx
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积,
采用分部积分.d(1x2 Nhomakorabea)
x arccos x 1 x2 C
34
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
dx, v
1 2
x2
1 x2 arctan x 1
2
2
x2 1 x2 dx
1 x2 arctan x 1
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
1

不定积分的几何意义ppt课件

不定积分的几何意义ppt课件
cosudusinuC
sin(2x)C
;.
29
微分法凑
设 f (u )
则有换元公式
有原函数 F ( u ) , u(x)可导,
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)
(x) u
f (u)d u F(u)C
u (x)
F[(x)]C
;.
30
例求
2x1dx
解：原式=
12 2x1d(2x1)
12(2x1)32 C 23
第五章 不定积分
;.
1
引言
积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的 反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相 同，但在计算上却有着紧密的内在联系．
;.
2
本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分法， 变量置换法，以及分部积分法.
;.
3
本章主要内容： 第一节 原函数与不定积分 第二节 凑微分法 第三节 变量置换法 第四节 分部积分法
２ ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C 或 ∫dF(x) ＝ F(x) ＋ C
;.
21
二、不定积分的运算法则
１ 不为零的常数因子，可移动到积分号前 ∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx （a≠０）
２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 ∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx
二、不定积分的几何意义
因为F′(x)＝f(x) ，这说明，在积分曲线 簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０ 点处有相同的斜率f(x０)，所以对应于这些点处， 它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之 间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝ F(x)＋C 中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y 轴方向 上、下移动而得到

不定积分课件

不定积分课件

THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。

不定积分(公式大全)(严选课资)43页PPT

不定积分(公式大全)(严选课资)43页PPT

56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
பைடு நூலகம்
不定积分(公式大全)（严选课资）
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解1
例9 求
解2
烦！
例10（自学）
解
五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）
例11
解：
原式=
例12
解：
原式=
例13
，求
解：


e
x
ln(1

e
x
)


(1 ex 1
) ex
e
x
dx
例14
解：
递推公式
… …
六：三角代换
解：
原式
例15
例16
解：
原式
七、倒代换：
x

1
分母含x的因子， t
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 解:
在
连续，
在 连续，
自学
解
由
处连续，得：
例4
定义在 R 上，
解：
求
。
在 连续
三、有理函数的积分：
例5 求常数a，b 的值，使
① 不含反正切函数； ② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数。
的结果中，
例5① 求 a, b , 使
解：
不含反正切函数；
不含反正切函数

C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)

dx cos 2
x


sec2
xdx

tan
x

C
(9)

d sin
x
2
x
csc2
xdx

cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
1 1 x2
dx

d
(arctan
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
n axb t
n
axb cxd
t
。
2. 被积函数含
a2 x2 a2 x2
例21
解：
③ m，n均为负偶数（负奇数）：
化为
或
九、
型（a，b，p，q为常数）
解题方法： 求待定常数A，B，使
分母
分母
例22
解：
原式=
例23 （课外练习）
十、两项都难积分
一项用分部积分，产生另一项的相反项
例24
解：
例25
解：
例26
解：
十一、含抽象函数的积分
例27 设
的原函数是
，求
解：
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解源自若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa

(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
B1x C1 x2 p x
q

B2 x C2 (x2 p x q)2

…
Bk x Ck (x2 p x q)k
。
六. 分部积分公式
u dv u v v du uv uvd x
注：下列题型用分部积分法
；
；
x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
（典型例题）
一、由
求
例1
，求
解：
例2
在
上定义，在
内可导，
在
内定义且可导，
时，
求
，
解:
时，
的表达式.
时，
例2
在
上定义，在
内可导，
在
内定义且可导，
时，
求 答案：
， 的表达式。
二、分段函数求不定积分： 例3
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)

x
dx

1
1
x

1

C
( 1)
(3)

dx x

ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
dx

ax ln a
1
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea x
dx

1 a
d
(ea x )。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (cos ax) a
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan x d x d (secx)
。
csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2

arctan
x
C

dx arcsin x C
1 x2
。
三、 常见凑微分
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
x
dx

1 2
d( x 2
)

1 2a
d(ax2

b)
x d x 1 d ( x1)
或
…
例28 求
解：
原式=
例28 求
另解
原式=
十二、 化为参数方程
例29
，其中
解题思路： 把
转化为
解 令： 则：
把积分中变量 x、y 换为参变量 t
例30
，其中
解 令：
则：
分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：
例17
解：
原式
例18
解：
原式
八、
型（m，n为正负整数）
① m，n中至少一个奇数：
化为
或
② m，n均为偶数： 降次
③ m，n均为负偶数（负奇数）：
化为
或
例19
答案：
化为
解：
① m，n中至少一个奇数： 或
例20
解：
原式
② m，n均为偶数： 降次
积化和差公式：
例5① 求 a, b , 使
不含反正切函数
不含反正切函数；
b 任意
例5 求常数a，b 的值，使
① 不含反正切函数； ② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数。
解：
② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数
的结果中，
四、凑微分法： 例6 求
解：
原式=
时， 原式= 时， 原式=
例7 求
解
例8 求
解：
例9 求
令 x a sin t
令 x a tant
x2 a2 令 x a sec t
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
(n m)