高等数学课件：4-1不定积分
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4-1[1]高等数学 微积分 视频教程ppt课件
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原函数一定存在；
23
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
24
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
4
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
7
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
高等数学 微积分4-1
x
1 ( 4) dx arctan x C ; 2 1 x 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ; dx sec2 xdx tan x C ; cos 2 x
(15) cosh xdx sinh x C ;
例4 求积分 x 2 xdx . 解
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
5 2
x
1
1
C
5 1 2
三、 不定积分的性质
(1)
在 ( , ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
x C, x 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) C , x0 x C , x 0
但 F ( x ) 在 x 0 处不可微，
故假设错误
所以 f ( x ) 在 ( , ) 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
dx (9) 2 csc2 xdx cot x C ; sin x
(10) sec x tan xdx sec x C ; (11) csc x cot xdx csc x C ;
(12)
e x dx e x C ; ax x (13) a dx C; ln a (14) sinh xdx cosh x C ;
2 x 5( ) 3 二、1、 x arctan x C ； 2、2 x C； ln 2 ln 3 x sin x 4. (cot x tan x ) C ； C； 3、 2 4( x 2 7 ) C； 5、 6、tan x arc cot x C . 4 7 x 三、 y ln x C .
高等数学课件4-1不定积分的定义
积分常数：对任 意函数f(x)，有 ∫(f(x)dx)=∫(f(x )dx)+C，其中C 为积分常数
积分上限函数： 对任意函数f(x)， 有 ∫(f(x)dx)=F(x) +C，其中F(x)为 积分上限函数， C为积分常数
PART THREE
直接积分法是一种常用的不定积分计算方法 直接积分法适用于求解简单、常见的不定积分 直接积分法需要掌握基本的积分公式和技巧 直接积分法需要根据积分公式和技巧进行计算，得出结果
步骤：选择合适 的辅助函数，进 行积分，然后利 用积分公式进行 求解
应用：适用于求 解含有三角函数、 指数函函数， 避免积分过程中 出现错误
积分公式：∫(P(x)/Q(x))dx = ∫P(x)dx/Q(x) + C
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
积分示例：∫(x^2+1)/(x^2-1)dx
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
注意事项： a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在 Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
a. 确保Q(x)在积分区间内至少有一个根 b. 确保P(x)在Q(x)的根处可导 c. 确保P(x)在Q(x)的根处的值不为0
积分步骤： a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定 Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
a. 确定被积函数P(x)/Q(x) b. 确定Q(x)的根 c. 确定Q(x)的根的乘积 d. 确定P(x)在Q(x)的根处的值 e. 计算积分
不定积分是微分方程的解
不定积分可以用来求解微 分方程
高等数学上册D4_1不定积分
26
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1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2 Ax2 1 x2
A 2
B A
0 1
A B
1 2
1 2
25
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作业
P190 1 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 2; 3
1)
1
dx
(x2
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
18
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (B) 1 sin x ;
(C) 1 cos x ; (D) 1 cos x .
提示: 已知 f (x) sin x
求 ( ? ) f (x) 即 ( ? ) sin x
或由题意 f (x) cos x C1 , 其原函数为
常用恒等变形方法
分项积分 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
19
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思考与练习
1. 证明 提示:
(P191题4)
2. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
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1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2 Ax2 1 x2
A 2
B A
0 1
A B
1 2
1 2
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作业
P190 1 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 2; 3
1)
1
dx
(x2
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
18
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (B) 1 sin x ;
(C) 1 cos x ; (D) 1 cos x .
提示: 已知 f (x) sin x
求 ( ? ) f (x) 即 ( ? ) sin x
或由题意 f (x) cos x C1 , 其原函数为
常用恒等变形方法
分项积分 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
19
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思考与练习
1. 证明 提示:
(P191题4)
2. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
4-1不定积分的概念
期中考试情况 (10院)
班级 90~100 80~89 70~79
10161 10
9
3
10162 10
解 已知 f ( x) sin x
求 ( ? ) f ( x) 即 ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x)d x sin x C1x C2
例3-2
是 e x 的原函数 , 则
f (ln x) d x
1 x
C
0
ln
x
C
x
解 已知 f ( x) e x，
可导函数.
cos x , x 0
有
F(x)
x2 2
c,
x0
因F x在x 0处连续，
(c为待定常数)
lim F ( x) lim F（x） F (0),
x0
x0
得c
1,
从f而( x)
sin
x
,
x
0
cos x,x x, x 0 0
F
(
x)
x2 2
1,
x0
F (0)
lim
x0
F(
的积分曲线族.
y y F(x) C
注
的积分
曲线族是 f (x) 的 所有积分曲线组成
y F(x)
的平行曲线族.
o
x0
x
例1 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 y f ( x). 解
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
（2）[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)d x
应用高等数学第4章4-1不定积分27页PPT
一、运算法则 二、进一步的练习
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
不定积分的运算法则
法则1 被积函数中不为零的常数因子可以提到不定积 分符号外面来，即
kf(x)d x kf(x)dx (k 0 )
法则2 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不
定积分的代数和，即
注：
f(x ) g (x )d x f(x )d x g (x )d x
意，求 f ( x)dx 时，切记“ C ”，否则求出的只是
f ( x) 的一个原函数，而不是不定积分.
三、进一步的练习
练习1 求下列不定积分：
（1）
e x dx
；（2）
1 dx 1 x2
；（3）
1 x
dx
解 （1）因为 （ex ) ex ，即 e x 是 e x
的一个原函数，所以 exdx ex C
由定理1可知，要求函数 f (x) 的全体原函数，只要找 到它的一个原函数，然后再加上任意常数 C即可.
定理2（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在某区间上连续，那么 f (x)
在该区间上存在原函数. 由于初等函数在其定义区间上连续，因此，
初等函数在其定义区间上存在原函数.
不定积分的概念
定义2 如果 F (x) 是 f ( x) 在某个区间上的一个原
上的已知函数，若存在函数 F( x ) ,使得 F(x)f(x)
或 d[F(x)]f(x)d，x则称 F( x ) 为 f (x) 在区间 I
上的一个原函数.
原函数的两个定理
定理1（原函数族定理） 如果 F (x) 是 f (x) 的一个原函数， 那么 F(x)C是 f (x) 的全体原函数，其中 C 为任意常 数.
.
（2）因为 (arcsxin)
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
高等数学课件--D4_1不定积分
x (1 x )
2
2
dx
arctan x ln x C
2012-10-12
例8. 求
1 x 2 dx .
( x 1) 1
2 4
x
4
解: 原式 =
1 x 2 2 ( x 1)( x 1) 1
1 x
2
2
dx
dx
( x 1) dx
1 x2 ) x2 ( x (1 x )
2
2 2
2
1 x
2
1 1 x
2
(2)
sin x cos x
sin x cos x
2 2
sec x csc x
2012-10-12 同济高等数学课件
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2
2
6. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
csc xdx cot x C
2
同济高等数学课件
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2012-10-12
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
e dx e C
x
(12)
(13)
x
a
x
2
2012-10-12
1 3
x C
3
C 称为积分常数, 不可丢 !
sin xdx
cos x C
同济高等数学课件
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
4-1不定积分概念
第四章积分
§1原函数与不定积分的概念
• 1.1 原函数与不定积分的概念
• 定义：设函数 f ( x )
在I区间 上有定义，
如果F (存x )在
，对于x任I意给定
的
，F'都(x有)f(x)
dF (x)f(x)dx
• 或者 F ( x ) f ( x )
f(x)
• 那么称
是f ( x )
• 而作的全 体原f函( x数)d称x为f(x x)dx
就确定
一个F(原x)函C数0
Oxy ，在直角坐
标系
中，C就确定了一条曲线，由
于 是一切实数，所以这样y的曲线有无
穷多条，它们关于 轴可以平移得到f。( x我)
们称这些积分曲线的全体为
的
积分曲线族。（见P83图1.4.1）
• 1.2 基本积分表：
• 1. 0dxC; 2. 1xdxln|x|C;
• 3. coxsdsxix nC;
xadx a1 1xa1C(a1) six ndx cox sC; cs2x cd xco x tC ;
4. se2xcdtxaxn C;
exdxex C;
•
5. 6.
axd1 xa 1axC(a0,a1)
• 7. 1 x 2d x arx c C t a a n c rx o c C t;
8.
1
d xarcx sCin arcx cC o ; s 1-x2
• 9.
§2 不定积分的性质
• 1. 设函数f(x),g(x)
的不定积分都
存在，[ 则f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
f(x)
§1原函数与不定积分的概念
• 1.1 原函数与不定积分的概念
• 定义：设函数 f ( x )
在I区间 上有定义，
如果F (存x )在
，对于x任I意给定
的
，F'都(x有)f(x)
dF (x)f(x)dx
• 或者 F ( x ) f ( x )
f(x)
• 那么称
是f ( x )
• 而作的全 体原f函( x数)d称x为f(x x)dx
就确定
一个F(原x)函C数0
Oxy ，在直角坐
标系
中，C就确定了一条曲线，由
于 是一切实数，所以这样y的曲线有无
穷多条，它们关于 轴可以平移得到f。( x我)
们称这些积分曲线的全体为
的
积分曲线族。（见P83图1.4.1）
• 1.2 基本积分表：
• 1. 0dxC; 2. 1xdxln|x|C;
• 3. coxsdsxix nC;
xadx a1 1xa1C(a1) six ndx cox sC; cs2x cd xco x tC ;
4. se2xcdtxaxn C;
exdxex C;
•
5. 6.
axd1 xa 1axC(a0,a1)
• 7. 1 x 2d x arx c C t a a n c rx o c C t;
8.
1
d xarcx sCin arcx cC o ; s 1-x2
• 9.
§2 不定积分的性质
• 1. 设函数f(x),g(x)
的不定积分都
存在，[ 则f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
f(x)
ch4-1不定积分的概念 高数
1 (ln x ) x ( x 0)
sin x 是cos x 在 R 上
的原函数.
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 是否唯一 ? 若不唯一有多少个 3. 原函数之间有什么联系？ 对于第个问题，有 原函数存在定理
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 基本积分公式 (见P 149) • 不定积分的性质 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
x 1 2x x e x 1. 证明 e , e sinh x , e cosh x 都是 2 cosh x sinh x 的原函数. e x e x e x e x , sinh x 提示: cosh x 2 2
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
2. 求不定积分的运算与微分运算是互逆的.
5 x 例1 求 dx .
x 6 5 x , 解 6 1 例2 求 dx . 2 1 x
x x dx C. 6
n i 1
若 f ( x ) ki f i ( x ) , 则
f ( x )dx k f ( x )dx
i 1 i i
n
例5 求 (
3 2 )dx . 2 1 x 1 x2
3 2 )dx 解 ( 2 2 1 x 1 x 1 1 dx 2 dx 3 2 2 1 x 1 x
5
6
sin x 是cos x 在 R 上
的原函数.
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 是否唯一 ? 若不唯一有多少个 3. 原函数之间有什么联系？ 对于第个问题，有 原函数存在定理
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 基本积分公式 (见P 149) • 不定积分的性质 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
x 1 2x x e x 1. 证明 e , e sinh x , e cosh x 都是 2 cosh x sinh x 的原函数. e x e x e x e x , sinh x 提示: cosh x 2 2
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
2. 求不定积分的运算与微分运算是互逆的.
5 x 例1 求 dx .
x 6 5 x , 解 6 1 例2 求 dx . 2 1 x
x x dx C. 6
n i 1
若 f ( x ) ki f i ( x ) , 则
f ( x )dx k f ( x )dx
i 1 i i
n
例5 求 (
3 2 )dx . 2 1 x 1 x2
3 2 )dx 解 ( 2 2 1 x 1 x 1 1 dx 2 dx 3 2 2 1 x 1 x
5
6
4-1不定积分的概念和性质
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三、 不定积分的性质
(1)
是常数， ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx . （k 是常数，k ≠ 0)
d (2) dx
[∫ f ( x )dx ] = f ( x ), d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
为任意常数） ∴ F ( x ) − G ( x ) = C（C 为任意常数）
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
4
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不定积分的概念和性质
前面我们已经研究了一元函数微分学。 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 一元函数微分学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题： 与此相反的问题 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数，从而 个可导的函数，使其导数等于一个已知函数， 产生了一元函数积分学 一元函数积分学。 产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定 积分两部分。 积分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。
e x dx = e x + C ; ∫ ax x (13) ∫ a dx = + C; ln a (12)
大学数学教研室 2010年12月26日1时28分
16
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2 例4 求积分 ∫ x xdx .
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
《高数不定积分》课件
对求解结果进行检查，确认计算结果是否正确。
总结与复习
通过本课件的学习，您已经了解了不定积分的基本概念、公式和常见函数的积分方法，以及常见题型的解决步骤。 现在可以进行总结和复习，巩固所学内容。
部分特殊函数的不定积分需要 使用特定的公式和技巧进行求 解，如指数函数和对数函数。
解决不定积分例题的步骤与方法
1 分析与拆解
2 选择合适的方法
仔细阅读题目，分析函数的特征，并拆解成基本 的函数表达式。
根据不同的函数类型，选择换元法、分部积分法 等适合的方法进行计算。
3 化简与推导
4 检查答案
根据所选方法，化简积分表达式，并推导出结果。
基本不定积分公式
常数函数
∫kdx = kx + C
幂函数
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1
指数函数
∫e^x dx = e^x + C
三角函数
∫sinx dx = -cosx + C
常见初等函数的不定积分
指数函数
求解e^x的不定积分时，结果是e^x 本身。
三角函数
不定积分涉及正弦、余弦等三角函 数时，需要根据具体的公式进行求 解。
对数函数
∫1/x dx = ln|x| + C，对数函数的 不定积分需要使用特定的公式。
换元法与分部积分法
1
分部积分法
2
将不定积分中的乘积表达式应用分部积分
公式，化简积分运算。
3
换元法
将不定积分中的自变量进行变换，通过代 换简化积分的计算。
技巧与窍门
熟练掌握换元法和分部积分法的常用技巧， 能够灵活运用于不定积分的求解。
《高数》不定积分》课件
《高数》不定积分》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
高等数学上：D4_1不定积分1
x0 x(0)
o
x(t)
(g t
v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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微分与积分之间的关系:
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
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例4. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 存在原函数 .
(暂时不证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
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o
x(t)
(g t
v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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微分与积分之间的关系:
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
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例4. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 存在原函数 .
(暂时不证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
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高等数学(第二版)上册课件：不定积分
性质3可以推广到有限个函数的情形． 不定积分的性质以及基本积分公式是求不定积分的
基础，记忆常见函数的积分公式，便能熟练计算可化为 几个基本初等函数线性组合的积分．在应用这些公式时, 有时需要对被积函数作适当变形,化成能直接套用基本积 分公式的情况，一般称这种不定积分计算方法为直接积 分法.
现将常见的一些基本积分公式列表如下：
就简，略去设中间变量和换元的步骤，而直接凑成
基本积分公式的形式．
例4.2.5
求
x
1 ln
dx x
分析 将 1 作为 x ，将其凑成微分部分.
x
解：
x
1 ln
dx x
1 dln
ln x
x
lnlnxC
例4.2.6
求
1 a2 x2 dx
分析
凑微分，利用积分公式
1
1 x
2
dx
arc
tan
x
C
计算.
sin
udu
1cosu C 3
1 cos3x C 3
例4.2.3
求
1 dx. 2 x +7
解
被积函数
1 2x+7
可看成
1 u与
u 2x+7
构成的复合
函数，虽没有 u 2 这个因子，但我们可以凑出这个
因子： 1 1 1 2 1 1 (2x 7) 2x+7 2 2x+7 2 2x 7
xC，
例4.1.3 求
x 1 x 1 dx x
分析 首先把被积函数化为和式，然后再逐项积分.
解
x 1 x 1 dx x
x
x x 1
1 x
dx
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函数变形,化为表中所列类型的积分之后再逐项求积分。
©
例6 求 (e x 2sin x)dx
解:原式 e xdx 2 sin xdx e x 2cos x C
例7 求 3x e xdx
解:原式
例如, e x dx e x C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx cos x C ©
不定积分的几何意义:
f (x)的原函数的图形称为f (x)的积分曲线 .
f ( x)dx 的图形
y
f (x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
©
例1 求 4x3dx
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中,
A m
sin
t
的原函数有
A m
cos
t
,
A m
cos
或
arccos x C
(7) cos xdx sin x C
(8) sin xdx cos x C
(9)
dx cos2 x
sec2 xdx tan x C
(10)
dx
sin2 x
csc2 xdx cot x C
©
(11) secx tan xdx sec x C
第四章
不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
©
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
©
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
的作用下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
axdx
ax C ln a
(14) e x dx ex C
sh x ex ex 2
(15) sh xdx ch x C
ch x ex ex 2
(16) ch xdx sh x C
©
例3+. 求
解: 原式 =
t
3,
©
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
原函数存在定理.
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
(但原函数不一定都是初等函数)
©
定理. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[( x) F( x)] ( x) F( x) f ( x) f ( x) 0
x(t)
1 2
g
t2
v0t
x0
©
从不定积分定义可知:
(1) ddx[ f ( x)d x] f ( x)或 d [ f (x)dx] f ( x)dx (2) F ( x)dx F(x) C 或 d F ( x) F ( x) C
二、 基本积分表 (P119)
利用逆向思维
(1) 0dx C
©
先求v(t) 由
知
x
v(t) ( g)d t g t C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求x(t) 由
知
x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
(g t v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
故 ( x) F( x) C0 (C0 为某个常数) 即 ( x) F( x) C0 属于函数族 F( x) C .
©
定义 2. f (x)在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在I上的
不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数;
(P118)
— 被积表达式.
( C 为任意常数 )
解: 因为 ( x4 )' 4x3 (或 dx4 4x3dx )
所以x 4是4 x 3的一个原函数，因此 4x3dx x4 C
例2
求
1dx x
解 当x>0时， (ln x)' 1 因此
x
1dx x
ln
x
C
( x 0)
当x
<
0时，[ln( x)]'
1 x
(1)
1 x
因此
1dx ln( x) C x
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x
1 3
C
例4+. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
©
三、不定积分的性质
1. k f (x) dx k f (x)dx (k 0) 2. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x) d x
推论: 若
则
n
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为t = 0, 此时质点位置为x0 初速为v0
设时刻 t 质点所在位置为x =x(t) 则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x x x(t)
x0 x(0) o
©
例5 求 (3 x )xdx
解: 原式
3
(3x x 2 )dx
3
3xdx x 2dx
3 1
3 x2 x2 C
2
3 1
2
3
x2
2
5
x2
C
25
注意：1.检验积分结果是否正确,只要对结果求导,
看求出的导数是否等于被积函数,若相等时结果正确, 否则结果是错误的。
2.积分时若积分表中没有这种类型的积分,可以先把被积
合并上面两式，得到
1dx x
ln
x
C
( x 0)
©
例3. 设曲线通过点( 1 , 3 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 3 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 2
o
x
©
例4. 质点在距地面x0处以初速v0垂直上抛 ,不计阻力, 求它的运动规律.
(2) kdx k x C ( k 为常数)
(3)
x dx
1 1x 1C来自( 1)(4)
dx x
ln x
C
1 x 0时 ( ln x ) [ ln( x)]
x
©
(5)
dx
1 x2
arctan x C
或 arccot x C
(6)
dx 1 x2
arcsin x C