2019版中考数学复习 第九讲 三角形学案 新人教版

人教版·九年级下·三角形复习·教案考点综述：三角形是生活中最常见的图形之一，它贴近生活，联系实际，是近年中考的必考点之一。

三角形的内容包括：三角形三边的不等关系，三角形的分类，三角形内角和定理，全等三角形的性质及条件，三角形中位线的性质，等腰和直角三角形的性质，勾股定理及勾股定理逆定理等相关知识。

典型例题：例1：（2007株洲）现有2cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）. A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个例2：（2007某某）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数（ ） A ．60B ．75C ．90D ．120例3：（2008某某）如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是 A ． ∠B=∠E,BC=EFB ．BC=EF ，AC=DFC ．∠A=∠D ，∠B=∠E D ．∠A=∠D ，BC=EF例4：（2008某某）如图，DE 是ABC △的中位线，2DE =cm ，12AB AC +=cm ，则BC =cm ，梯形DBCE 的周长为cm ．例5：（2007某某）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠=度．A E CBaac丙︒72︒50　乙︒50甲a︒507250︒︒︒58c baC BA例6：（2007某某）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．实战演练：1.（2008某某）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ） A ．15B ．16C ．8D ．72.（2007某某）如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ）A ．130° B.230° C.180° D.310°3.（2007某某）如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ） A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对4.（2007某某）如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）A ．甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙5.（2007某某）如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则ACBD80A 1BCDE2FC Bb 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．16D ．556.（2008某某）如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF AB ∥且12EF AB =；②BAF CAF ∠=∠；③12ADFE S AF DE =四边形； ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.（2006某某）在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ） A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm8.（2008某某）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形9.（2007某某）如图所示，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD要使△ABE ∽△ACD ，需添加一个条件是(只要写一个条件)。

A C A'B'C 'B 2019-2020学年九年级数学下册《相似三角形（复习课）》教案 新人教版教学目标:1.回忆两个三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。

2.归纳总结一般几何证明题的思路与相似三角形的基本模型。

3.通过学生动手画,动脑想,动笔写,进一步加深对三角形相似与理解。

教学重难点：相似三角形的性质与判定的综合应用。

教学方法：启发讨论式与讲练结合法。

教学课时：讲练结合1课时，学生自练1课时。

教学过程：一、概念:1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2.相似比:相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。

△ABC ∽△A ′B ′C ′,如果BC=3,B ′C ′=1.5,那么△AB C 与△A ′B ′C ′的相似比为多少？（学生齐答） 二、相似三角形的判定、性质和应用1、判定①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′2、性质：两个三角形相似，则：①它们的对应边成比例，对应角相等；②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；③它们的周长比等于相似比；④面积比等于相似比的平方．三、应用举例:例1 下列说法中正确的有： （填序号）（1）所有的等腰三角形都相似．（2）所有的直角三角形都相似．（3）所有的等边三角形都相似．（4）所有的等腰直角三角形都相似．（5）全等三角形一定是相似三角形.四、及时练习A AB B '∠=∠⎫⎬'∠=∠⎭AB AC A B A C A A ⎫=⎪''''⎬⎪'∠=∠⎭AB AC BC A B A C B C ==''''''A DB CC B E AD C'B'D'A'E'（1）如图1，当 时，△ABC ∽ △ADE 。

人教版2019届九年级数学中考第一轮总复习《相似三角形及其应用》教案设计人教版九年级数学中考第一轮总复习课例《相似三角形及其应用》复习课教学设计及其说明2019 年 3 月 21 日一、内容与内容解析1．内容相似三角形的定义、判定、性质，以及相似三角形的应用．2．内容解析相似三角形的定义、判定、性质与应用是相似三角形研究的重要内容．对相似三角形的研究，依然采用先给出几何对象的定义，再探究其判定和性质，然后进行应用的一般思路．由于全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为 1），因此对相似三角形的研究可以类比全等三角形的定义、性质、判定．在相似三角形的判定中，预备定理“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的直角三角形与原三角形相似”承接于平行线分线段成比例的基本事实，为其他三角形相似的判定方法的证明作了铺垫．相似三角形的基本图形很丰富，是发展学生几何直观，渗透模型思想的良好素材．借助相似这一图形变化，可以有效解决图形计算与证明的相关问题，这一过程也是培养学生“应用意识”的良好途径．站在复习课的角度，本课也承担着从整体上把握知识体系，形成良好的结构系统，同时深化数学思想方法的理解与运用，以及有效训练“选择适当知识进行推理计算并解决问题”的目的．从中考备战的角度，本课也承担着“呈现近年考查方式方向，总结知识模块方法方略”的目的．基于以上分析，确定本节课的教学重点：整体梳理相似三角形的知识结构体系，从“模型”角度加深对相似三角形的认识与运用．二、目标和目标解析1．目标（1）进一步理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定及性质．（2）能将相似三角形的相关知识结合“模型”进行整理和应用．2．目标解析达成（1）的标志是：能说出相似三角形的定义、判定与性质，并能用符号表示．达成（2）的标志是：在具体问题中，能自然地调用相似三角形的判定或性质来分析和解决问题，形成结构体系，并能对相似三角形的常见模型进行有联系的梳理．三、教学问题诊断分析（1）复习是一种特殊的活动，具有重复性、系统性、综合性和反思性．复习的主要目的是加强知识联系、深化知识理解、优化知识结构，体会思想方法，发展数学认知．复习课的核心认知活动是知识体系的重组和知识的选择性应用．但学生整理知识的经验不多，综合能力有限，难以整理出系统、简约的知识结构．学生碰到具体的问题情境时，在选择适当的知识来解决问题上会存在诸多困难．（2）相似三角形的基本图形很丰富，既有最基本的平行“A 字型”和“8 字型”，又有更为复杂的“一线三等角”等．学生对于这些图形都有一定接触和认识，但都是分散而独立的．当这些基本图形隐藏在较为复杂的几何图形中时，学生难于发现．当这些基本图形只出现了一部分时，学生对于补全构建模型的意识不强，经验缺乏．基于以上分析，本节课的教学难点是：相似三角形知识体系的结构化整理和选择性使用．四、教法特点以及预期效果分析本节课的教学设计中，我重点关注以下几个问题：（1）结合具体问题，设计有效的问题串，激发学生回顾相关知识，系统整理形成体系．（2）将相似三角形的基本图形构建成“模型”，并从图形变换的角度梳理“模型”的演变，不断巩固核心基础知识，训练学生的几何直观，从“模型观”探求解决问题的相似之道．（3）积极倡导学生动手操作、动脑思考、动口表达，亲身经历体验数学学习、归纳总结的过程，以简约典型的数学问题让学生回顾梳理知识系统和思想方法，积累这个过程中所获得的学习经验．教学任务分析教学流程安排教学过程设计【活动 1】课前热身问题：1．如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ：DE =1：2，则下列等式一定成立的是（ ）A ．BC = 1 B ．∠A 的度数 = 1C ．△ABC 的周长 = 1D ．△ABC 的面积 = 1DF 2 ∠D 的度数2 △DEF 的周长2 △DEF 的面积22．如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件______________________，使得△AD E ∽△ACB ．（第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图）3．(2017·江西)如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F ，G 分别在 AB ，BC ，CD 上，且∠EFG =90°．求证：△EBF ∽△FCG ． 4．(2018·江西)如图，在△ABC 中，AB =8，BC =4，CA =6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E ，求 AE 的长．师生活动：学生独立思考并解答上述问题，联想回忆相关知识，初步明确复习主题．学生可能出现某一个知识点模糊不清的状况，或对同一问题有不同解答，教师予以巡视关注．设计意图：借题回顾相关知识，唤醒学生已有认知结构，让学生明确复习主题，尽快进入上课状态，同时结合近年中考题让学生初步感知相似三角形的“中考考向”．【活动 2】课堂学习——回顾定义问题：（1）猜一猜：一模一样（打一数学概念），大同小异（打一数学概念）．（2）相似“同”在哪，“异”在哪？（3）类比全等三角形，相似三角形的定义是？相似用符号如何表示？师生活动：教师通过谜语和问题串引导学生思考回顾，学生从猜谜语活动中回顾“全等”、“相似”的本质，以及两者之间的异同．类比更为熟悉的“全等”三角形回顾相似三角形的定义，并用符号表示． 设计意图：设计谜语活跃课堂气氛，营造轻松的复习氛围，同时直指复习内容的本质，并以全等三角形作类比，让学生对相似三角形的认识更为清晰．【活动 3】课堂学习——梳理知识问题：（1）如图，已知△ABC ，D 是 AB 上一点，AB =10，AD =5，AC =8，试在 AC 上确定一点 E ，使得 △ADE 与△ABC 相似．师生活动：教师提出问题，引导学生关注题中 D 点的特殊性，学生独立思考并画出符合要求的图形．设计意图：题中 D 点的特殊性是为后续能“全盘托出”相似三角形的判定而巧设的．通过“画一画”让学生自主寻找相似的判定条件，并生成最基本的 A 字型相似，为后续作铺垫．从方案多样性角度，让学生体会分类讨论思想．（2）如图，在方案 1 中，如何证明△ADE ∽△ABC ？（3）如图，在方案 2 中，当△ADE∽△ACB时，试解答下列问题：①试求 AE 的长.②△ADE 与△ACB 的面积比为().A. 1：2B. 5：8C. 1：4D. 25：64③若 AF 平分∠BAC 交 BC 于点 F，交 DE 于点 G，则AG=_________. GF方案 1方案2师生活动：在生成方案过程中，教师追问学生判定三角形相似的理由，引导学生自主梳理相似三角形的判定方法．学生可能会遗漏其中一些方法（如平行相似预备定理），教师适时点拨，结合问题本身的特殊性，让学生感受每一种方法都可用来解释．借助生成方案的结果，教师再追问小问题串，引导学生自主梳理相似三角形的性质．学生通过独立思考，积极举手回答．设计意图：通过“追问”与设计“题组”，让学生自主梳理相似三角形的判定方法与性质，体验选择性使用知识的过程，让知识从问题中激发而来，又回到问题中去，达到核心知识的梳理复习功效．【活动 4】课堂学习——提炼模型问题：（1）变式：如图，已知△ABC，D是直线AB上一点，AB=10，AD=5，AC=8，试在直线AC上确定一点 E，使得△ADE 与△ABC 相似．师生活动：教师对原问题进行变式，引导学生画出新的方案，并启发学生从“图形变换”的角度理解这几个相似图形之间的关系．方案 1方案2方案3方案4设计意图：通过问题变式，继续体验分类讨论思想，并生成最基本的 8 字型相似.同时让学生体会从“旋转”角度理解 A 字型与 8 字型的联系，为后续的“模型变换联系”埋下伏笔．（2）当△ADE∽△ABC时，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接CE，BD，则△ADB与△AEC相似吗？请说明理由.师生活动：教师借机生成一个旋转一般角度的问题，学生思考并证明．设计意图：通过借机巧设问题，训练学生综合运用相似三角形的性质与判定解决问题，同时感知“旋转相似”特性．（3）将方案 2 图形依次按照平移、特殊化、翻折、一般化等过程，会得到哪些常见的相似模型？这些模型有哪些具体特征？师生活动：师生一起从图形变换角度，结合“特殊化”、“一般化”处理，将已有基本图形进行变化，生成其它常见相似模型，学生归纳概括这些模型的基本特征．设计意图：通过图形变换，“特殊化”、“一般化”处理，生成相似三角形的常见模型，进一步从模型角度丰富学生对相似三角形的认识，为后续学练打下坚实基础．【活动 5】课堂学习——典例学练问题：（1）你是怎样分析并解答热身训练题的，从中吸取了哪些经验？若将第 1 道中考题变式如下，你又如何证明？已知如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BD 上，且 DF = 14 BD ．求证：△ACE ∽△EDF ．师生活动：教师引导学生从模型角度分析问题，学生口述解答过程．对问题进行变式，引导学生审清条件，找准思路．而后小结方法得失.设计意图：通过对热身训练题（重点 2 道中考题）的解析，反馈学生的训练成果，解答学生的训练疑惑，总结方法得失．同时突出模型的认识．通过问题变式，回归知识本质，体现灵活运用．（2）如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F ．①求证：AF ·CF =DF ·EF ．②若已知 AB =9，BD =3，试求 CF 的长．师生活动：学生分析题意并作答，学生代表上台板书展示，师生共同评判并小结方法得失.设计意图：通过本题训练，继续巩固模型思想，体会等积式证明的方向与思路．（3）如图 D 、E 分别为△ABC 中 BC 、AC 边上的点，且BD = 1 ， AE = 1，AD 与 BE 相交于点 F ， DC 3 EC 2AF则值为（ ）FD3 4A ．2B ．3C ．D ．2 3师生活动：学生可能难以找到突破口，教师引导学生寻找比例线段与相似三角形的联系，构建平行相似解决问题，并总结方法经验.设计意图：通过此题让学生感知“比例线段”与“相似”的联系，并体会“作平行构相似”的方法．（4）如图，点 A 是反比例函数 y = 3x （x ＞0）图象上的一个动点，连接 AO ，OB ⊥OA 交反比例函数 y = -1x（x ＜0）图象于点 B ． ①当点 A 的横坐标为 1 时，试求点 B 的坐标；②连接 AB ，随着点 A 的运动，∠OAB 的大小是否变化？若不变，请求出 tan ∠OAB 的值，若变化，请说明理由．师生活动：师生共同分析问题，结合条件和所求问题，自然构建出“一线三直角”相似模型．第二个问题引导学生从画图操作验证猜想，并综合运用相似三角形与反比例函数的知识解决问题设计意图：此题难度加大，面向尖优生，体现分层．从问题解决上体现“综合运用”，同时继续巩固相似“模型”．【活动 6】课堂学习——反思小结问题：（1）谈谈你的复习收获；（2）你对相似三角形的模型还有哪些认识？请补充完善.师生活动：教师引导学生从知识技能、思想方法、活动经验等方面小结复习收获，学生畅所欲言．教师从“模型思想”对学生提出寄语．设计意图：通过反思小结，让学生进一步体会“模型”思想的重要性，深化认识．体现画龙点睛的效果．【活动 7】课后训练问题：见学案，学生课后完成，并分享交流.设计意图：布置针对性的作业，巩固所复习知识及思想方法，将复习与能力发展延伸到课外．。

全等三角形复习〔第1课时〕泰安六中苏晓林一、教材分析：本节课是全等三角形全章复习课，首先帮助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形概念，理解性质、判定与运用；其次对学生所学全等三角形知识进展查缺补漏，再次通过拓展延伸以习题训练，提高学生综合运用全等三角形解决问题能力，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步感知，为以后复习指明方向。

在练习过程中，要注意强调知识之间相互联系，使学生养成以联系与开展观点学习数学习惯.二、学情分析在知识上，学生经历全等三角形全章学习，对全等三角形性质、判定以及应用根本掌握，初步具有整体认识，但由于间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何根底与工具也是中考必考内容。

对全等三角形综合应用以及全章知识脉络形成正是以上各种能力综合表达，教学中要充分发挥学生主体作用，通过复习学生在全等三角形计算、证明对学生推理能力、发散思维能力与概括归纳能力将有所提高.三、教学目标1.进一步了解全等三角形概念，掌握三角形全等条件与性质；会应用全等三角形性质与判定解决有关问题.2.在题组训练过程中，引导学生总结出全等三角形解题模型，培养学生归纳总结能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中作用.3.培养学生把已有知识建立在联系思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。

四、教学重难点重点：全等三角形性质与判定应用.难点：能理解运用三角形全等解题根本过程。

五、教法与学法以“自助探究〞为主，以小组合作、练习法为辅；在具体教学活动中，要给予学生充足时间让学生自主学习，先形成自己全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课教学目.六、教具准备多媒体课件，七、课时安排2课时八、教学过程本节课是全等三角形全章复习课，本节课我主要采用学生“练后思〞模式，帮助学生搜整?全等三角形?全章知识脉络，建构知识网络，通过根底训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动进展查缺补漏与拓展延伸；借助“根底了题目-变式题目-典型题目-拓展题目〞五个梯次递进教学活动达成教学目标，使用多媒体课件展示教学思路，引导学生思维方向，实现课堂教学最优化。

《三角形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度数.【思路点拨】由三角形的内角和，建立方程解决.【答案与解析】∵∠C＝∠B－10°＝∠A+10°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+20°+∠A+10°＝180°，∴∠A＝50°.【总结升华】本题根据三角形的内角和定理列出以∠A为未知数的方程，解方程即可求得∠A.建立方程求解，是本章求解角度数的常用方法.举一反三【变式】若∠C=50°，∠B-∠A=10°，那么∠A=________，∠B=_______【答案】60°，70°.类型二、三角形的三边关系及分类2.一个若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.【思路点拨】三角形的两边a、b，那么第三边c的取值范围是│a-b│＜c＜a+b.【答案与解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c的取值范围是│2-7│＜c＜2+7,即5＜c＜9．【总结升华】三角形任意两边之差小于第三边，若这两边之差是负数时需加绝对值．举一反三（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）【变式】A．11 B．5C．2D．1【答案】B．解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5.3.一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A 锐角三角形B 等腰三角形C 等腰锐角三角形【答案】C举一反三【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A 锐角B 直角C 钝角 D无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.类型三、三角形的重要线段4.（2015•常德）如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．【思路点拨】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【答案】70°．【解析】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【总结升华】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．举一反三【变式】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.【答案】10°.类型四、全等三角形的性质和判定5.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DC⊥BE .【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE ≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过倒角可证垂直.【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD证明：∠BAC＝∠EAD＝90°∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE即∠BAE＝∠CAD又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA，又∠COE＝∠AOD∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三【变式】如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （ASA）∴BD＝CE.6.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜()12AB AC+【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD在△ADC与△EDB中DC DBADC BDEAD ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜()12AB AC+.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三【变式】若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜ 6B.5 ＜x＜ 7C.2 ＜x＜ 12D.无法确定【答案】A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.类型五、全等三角形判定的实际应用7.如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案与解析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离．解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．在△ABC和△ECD中B DCD CBACB ECD∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．由已知易证△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以测得DE的长也就知道两家的距离是多少．类型六、用尺规作三角形8.作图：请你作出一个以线段a为底边，以∠α为底角的等腰三角形（要求：用尺规作图，并写出已知，求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）已知：求作：【思路点拨】可先画线段BC=a，进而在BC的同侧作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，MB，CN交于点A，△ABC就是所求的三角形．【答案与解析】解：已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC，∠ABC=∠α．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】考查等腰三角形的画法；会作一个角等于已知角是解决本题的突破点；注意画图的顺序为边，角，角．举一反三【变式】作图题：（要求：用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．）已知：线段a与线段b．求作：线段AB，使AB=2a﹣b．【答案】解：如图所示：作线段AB即为所求．。

“3,4,5”直角三角形的奇思妙想提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为“3,4,5”的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.其实，我们对“3,4,5” 直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论. 一、基础准备如图1 , Rt ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，5AB =，CAB α∠=，CBA β∠=，显然90αβ+=︒.延长CA 至点D ，使得5AD AB ==，连结BD ，则ABD V 是等腰三角形，2D α∠=.在Rt BCD V 中，31tan tan2453BC D DC α∠====+ 同样方法，可求得41tan tan2352AC E EC β∠====+同时90452222αβαβ+︒+===︒提炼如下：1tan23α=, 1tan 22β=,90αβ+=︒,4522αβ+==︒.用文字语言表述为:如果两个锐角的正切值分别为13，12，那么这两个锐角的和为45︒. 我们不妨用约定符号将上述结果简记为“13”+“12”=45︒.(其中“13”，“12”分别表示正切值为13，12的锐角) 下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.二、运用策略例1 如图2，在33⨯的格中标出了1∠和2∠，则1+2=∠∠ .解法1 构造三角形，从而发现1∠和2∠间的关系.如图3，显然1=3∠∠，2=4∠∠， 并且90ABC ∠=︒，AB BC =,1+23445∴∠∠=∠+∠=︒.解法2 利用“13”+“12”=45︒的结论解决问题.图2中，1tan 13∠=，1tan 22∠=.根据结论“如果两个锐角的正切值分别为13，12，那么这两个锐角的和为45︒，得1+245∠∠=︒.例2 如图4，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若3BE =，且45ECF ∠=︒，则CF 的长为( )(A)解法1 通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系式，最终求出CF 的长.解 如图5，延长FD 到G ，使DG BE =，连结CG 、EF .∵四边形ABCD 为正方形，CD CB =，90B CDG ∠=∠=︒, BCE DCG ∴≅V V ,CG CE ∴=，DCG BCE ∠=∠,45GCF DCG DCF BCE DCF ECF ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠, GCF ECF ∴≅V V ,GF EF ∴=.设DF x =,则6AF x =-，3EF GF GD DF x ==+=+. 在Rt AEF V 中,222AE AF EF +=, 2223(6)(3)x x ∴+-=+.解得2x =，则4DF =.CF ∴==故选A解法2 利用“13”+“12”=45︒的结论求解. 易见图4中，45DCF ECB ∠+∠=︒, 且31tan 62BE ECB BC ∠===.根据“13”+“12”=45︒，得1tan 3DCF ∠=,123DF CD ∴==.在Rt DCF V 中，求得CF ==. 故选A.点评 比较两种做法，我们发现利用“13”+“12”=45︒解决问题更加方便快捷. 再来一题试试看吧!例3 如图6，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，3BD =，2DC =则AD 的长为 .解法一 构造正方形，利用勾股定理求AD 长.如图7，分别以AB 、AC 为对称轴，画出ABD V 、ACD V 的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边形AEGF 是正方形.根据对称的性质，可得2BE BD ==，3CF CD ==.设AD x =，则正方形AEGF 的边长是x ,2BG EG BE x ∴=-=-,3CG FG CF x =-=-.在Rt BCG V 中，根据勾股定理，可得222(2)(3)5x x -+-=,解得:6x =或1-(舍去). 故边长是6.解法2 构造全等三角形，利用相似求解.如图8，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，交AD 于点F .45BAC ∠=︒Q ，BE AE ∴=.90C EBC ∠+∠=︒Q ,90C EAF ∠+∠=︒ EAF EBC ∴∠=∠,AFE BCE ∴≅V V .5AF BC BD DC ∴==+=，FBD DAC ∠=∠.又90BDF ADC ∠=∠=︒Q ,BDF ADC ∴V :V , FD BDDC AD∴=. 设FD 长为x ，即325x x=+解得1x =,即1FD =,516AD AF FD ∴=+=+=.故答案为6解法3 凭借直觉经验，利用“13”+“12”=45︒求解. 图6中，45BAC BAD DAC ∠=∠+∠=︒，联想到“13”+“12”=45︒，发现当6AD =时，恰好有1tan 2BAD ∠=，1tan 3DAC ∠=,从而知6AD =.点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。

相似三角形复习课启东市继述初中施峰艳学习目标：1掌握相似三角形的判定和性质，位似的性质2、掌握用相似三角形的判定和性质证明角相等，线段成比例(或等积式)3、体验用相似三角形的判定和性质求线段的长4、能运用相似三角形解决一些不能直接测量的物体的长度或高度学习重点：灵活运用相似三角形的判定和性质解题学习难点：探索用相似三角形知识解决有关函数、运动类问题学习过程：【知识梳理】活动1：相似三角形基本图形的回顾问题：请同学们根据下列图形给出一个判断厶ADE与厶ABC相似的条件，并说明理由.活动2：如图1中厶ADEABC，相似比为2:3(1) _________________________________ △ ADE和厶ABC对应中线的比_________________________________________ ，对应角平分线的比________ ，对应高的比____(2)若它们的周长差为10,则厶ADE和厶ABC的周长分别是 _________ 和_______ .(3) _________________________________________________________ 若它们的面积和为19.5，则△ ADE和厶ABC的面积分别是_______________________________ 和_______ .总结：相似三角形的性质(1)相似三角形的对应中线比，对应角平分线比，对应高比都等于(2)相似三角形周长的比等于__________ ;(3)相似三角形面积的比等于_________________ .总结：相似三角形的判定方法活动3：相似在日常生活中应用举例(山东济宁中考题)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上•若光源到幻灯片的距离为20 cm,到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为 6 cm,则屏幕上图形的高度为________ cm.总结：本题是相似变换中的特例一一位似变换(1)位似定义：对于两个多边形不仅,如果它们的对应顶点的连线么这两个多边形就是__________________ ，这点叫做___________ .［典例精析】例1 :女口图，下列条件①/ B=Z ACD ;②/ ADC = / ACB ;AC AB③；④AC 2二AB • AD其中能判定△ ABCACDCD BC的是______________ .变式1: (2016杭州)如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC上，/ AED = Z B,线段AG分别交线段DE、BC于点F、G 且AD DFAC _ CG(1)求证：△ ADF ACG ;AD 1 AF砧/古(2 )若，求的值.AC 2 FG变式2 (山东泰安中考题)如图四边形ABCD 中，AC平分/ DAB,/ ADC= / ACB=90°, E 为AB 的中点.(1)求证：AC2=AB?AD;(2)求证：CE// AD ;AC(3 )若AD=4, AB=6，求的值.AF例2:如图，正方形ABCD的边长为4, M, N分别是BC, CD上的两个动点，且始终保持AM丄MN .当BM= ________________ 时，四边形ABCN的面积最大.GC DDNCIVIS A BDE - S A CDE =1:4，则 S ^BDE - S ^ADC -()D.-变式1: （2015岳阳）如图，在正方形 ABCD 中，M 是BC 上一点，F 是AM 的中点，EF 丄AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点 E ,交DC 于点N （1）求证：△ ABM EFA ;（2 ）若 AB=12, BM=5，求 DE 的长.变式2 :（扬州市中考题）已知矩形 ABCD 的一边 AD=8，将矩形 落在CD 边上的P 点处.（1）如图1,已知折痕与边 BC 交于点O ,连接AP 、OP 、OA . ① 求证：△ OCPPDA ;② 若△ OCP 与厶PDA 的面积比为1:4，求边AB 的长.【课堂总结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑?【当堂检测】1. （ 2016 湘西）如图，在△ ABC 中，DE // BC , DB=2AD , △ ADE DBCE 的面积为2.（山东省莱芜市）如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是AB 、 BC 上的点，且 DE // AC ,若A. 1:16B. 1:18C. 1:20D. 1:24AD3.如图，已知等腰厶ABC 中，顶角/ A=36 ° BD 为/ ABC 的平分线，贝U的值等于（）C.1MABCD 折叠，使得顶点4.(甘肃省陇南市)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F, AF=x( 0.2奚w 0.8, EC=y.则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( )B.AB是直径，且CD丄AB,垂足为P ,求证:【分层作业】1.必做题：书本复习题27第3、7题2•选做题：(湖南永州中考题)如图，已知AB丄BD , CD丄BD .(1 )若AB=9, CD=4, BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9, CD=4, BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9 , CD=4 , BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m, CD=n, BD=|，请问在m、n、|满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？。

三角形复习导学案一、学习目标1、掌握三角形的基本概念，包括三角形的定义、分类、内角和定理等。

2、熟练运用三角形的边和角的关系解决相关问题。

3、理解并掌握三角形全等的判定定理，能够证明两个三角形全等。

4、掌握特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形）的性质和判定。

二、知识梳理1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的分类（1）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（2）按边分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。

3、三角形的内角和定理三角形的内角和等于 180°。

4、三角形的边和角的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

5、三角形全等的判定定理（1）“SSS”（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

（2）“SAS”（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）“ASA”（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（4）“AAS”（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（5）“HL”（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

6、等腰三角形（1）性质：两腰相等；两底角相等；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。

（2）判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形。

7、等边三角形（1）性质：三边相等；三个角都等于 60°；每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（三线合一）。

（2）判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

8、直角三角形（1）性质：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中，两锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。