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2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列命题中的真命题是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b22．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）3．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．44．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或6．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q 的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|8．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个9．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）10．（5分）已知点P为双曲线﹣=1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，M为△F1F2P的内心，若S△F1MP=S△F2MP+4，则△F1F2M的面积为（）A．5 B．6 C．2 D．1011．（5分）若点P是有共同焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若，则=（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．±C．±1 D．±二．填空（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．14．（5分）若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，则实数m的范围．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．三．解答题（共6个大题）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，过焦点且垂直于y轴的弦长为6，（1）求双曲线方程；（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，求MN的长．19．（12分）某学校校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不管墙高），工程的造价是：（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%；（2）拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%．问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？20．（12分）已知a+b+c=1，且a，b，c是正数，（1）求证：++≥9；（2）若不等式|x﹣2|≤a2+b2+c2对一切满足题设条件的正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．21．（12分）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2=4y上，P在第一象限，如图．F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，|PF|=3，求直线AB的方程．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）下列命题中的真命题是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2【解答】解：A中取a=﹣1，b=﹣1，c=1，d=2可判断A为假命题；取a=1，b=﹣2可判断B、C为假命题；D中由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a2＞b2．故选：D．2．（5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），∴a﹣b=0且a＜0则b＜0，∵，∴（ax+b）（x﹣2）＞0，即a（x+1）（x﹣2）＞0，解得：﹣1＜x＜2，∴不等式的解集为（﹣1，2）故选：B．3．（5分）已知平面区域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my 取得最小值，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：令z=0，可得直线x+my=0的斜率为﹣，结合可行域可知当直线x+my=0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z=x+my取得最小值，而直线AC的斜率为=﹣1，所以﹣=﹣1，解得m=1，故选C．增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：依题意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m解得m∈空集，或m=1，或m∈空集，所以m=1，选C．评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！4．（5分）函数y=x+（x＞1）的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴y=x+=x﹣1++1≥2+1=5当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，∴函数y=x+（x＞1）的最小值是5，故选：C．5．（5分）双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（）A．B．或C．D．或【解答】解：当双曲线焦点在x轴上时，两条渐近线方程为y=±x，又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴=，2b=a∴c=a，离心率e=，当双曲线焦点在y轴上时，两条渐近线方程为y=±x，又∵已知两条渐近线方程为y=±x，∴=，2a=b∴c=a，离心率e=，故选：B．6．（5分）设命题p：ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R；q：0＜a＜1，则p是q 的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：ax2+2ax+＞0的解集是实数集，（1）若a=0，则1＞0恒成立；（2）若a≠0，则，故0＜a＜1．由（1）（2）得0≤a＜1．故选：A．7．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有（）A．|FP1|+|FP2|=|FP3|B．|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C．2|FP2|=|FP1|+|FP3|D．|FP2|2=|FP1|•|FP3|【解答】解：∵2x2=x1+x3，∴，∴由抛物线定义可得2|FP2|=|FP1|+|FP3|故选：C．8．（5分）椭圆上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【解答】解：当∠F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点P有两个；同理当∠F2为直角时，这样的点P有两个；由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大，这里这个角恰好是直角，这时这样的点P也有两个．故符合要求的点P有六个．故选：C．9．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2故选：D．10．（5分）已知点P为双曲线﹣=1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左右焦点，M为△F1F2P的内心，若S△F1MP=S△F2MP+4，则△F1F2M的面积为（）A．5 B．6 C．2 D．10【解答】解：由双曲线方程可得：﹣=1，焦点在x轴上，实轴长为2a=8，虚轴长为2b=6，焦距2c=10，设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=8，|F1F2|=10，S△F1MP=|PF1|•r，S△F2MP=|PF2|•r，=S△F2MP+4，由S△F1MP∴|PF1|•r=|PF2|•r+4，解得：r=1，∴=•2c•r=c•r=5，故选A．11．（5分）若点P是有共同焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又，故∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得a2+m2=2c2，即=2故选：B．12．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．± B．±C．±1 D．±【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．二．填空（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：514．（5分）若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，则实数m的范围（﹣∞，﹣] ．【解答】解：sinx+cosx=2sin（x+），当x∈[，π]时，（x+）∈[，]2sin（x+）=[﹣，1]，若“∃x∈[，π]，sinx+cosx＜m”为假命题，则m∈（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上一个动点．若点P到直线x﹣y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值为．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x或y=﹣xy=x到平行直线x﹣y+2=0的距离d==，则若点P到直线x﹣y+2=0的距离d＞，∵d＞t恒成立，则t≤，即t的最大为，故答案为：三．解答题（共6个大题）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：x2﹣4ax+3a2＜0，即（x﹣a）（x﹣3a）＜0，故a＜x＜3a；对于命题q：．（1）若a=1，则命题p：1＜x＜3∵p∧q为真，∴p真q真．∴，即实数x的取值范围为（1，2）；（2）若┐q是┐p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，故（a，3a）⊊[﹣1，2）又∵a＞0，∴3a≤2，得a≤故a的取值范围为（0，]18．（12分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，过焦点且垂直于y轴的弦长为6，（1）求双曲线方程；（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线交曲线与MN，求MN的长．【解答】解：（1）由题意，=，=6，∴，∴双曲线方程为y2﹣=1；（2）过双曲线的下焦点作倾角为45°的直线方程为y=x﹣2，代入双曲线方程可得2x2﹣12x+9=0∴|MN|==6．19．（12分）某学校校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m2的厂房（不管墙高），工程的造价是：（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%；（2）拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%．问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？【解答】解：设保留旧墙x m，即拆去旧墙（14﹣x）m修新墙，设建1m新墙费用为a元，则修旧墙的费用为y1=25%×ax=ax；拆旧墙建新墙的费用为y2=（14﹣x）×50%a=a（14﹣x）；矩形边长为x，所以另一边长为，矩形总周长即为+2x，因为有14m旧墙拆掉或拆旧建新，所以新墙就是+2x﹣14，新墙的费用为：y3=（+2x ﹣14）a．于是，所需的总费用为：y=y1+y2+y3=[a≥=35a，当且仅当，即x=12时上式的“=”成立；故保留12 m的旧墙时总费用为最低．20．（12分）已知a+b+c=1，且a，b，c是正数，（1）求证：++≥9；（2）若不等式|x﹣2|≤a2+b2+c2对一切满足题设条件的正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【解答】（1）证：∵a+b+c=1，且a，b，c是正数，∴2（++）=（a+b+b+c+c+a）•（++）=6+2+2+2≥6+2×2+2×2+2×2=18，∴++≥9．（当且仅当a=b=c=时取等号）．…（5分）（2）解：∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2，（当且仅当a=b=c=时取等号），由|x﹣2|，可解得x的取值范围是．…（10分）21．（12分）已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2=4y上，P在第一象限，如图．F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，=3，|PF|=3，求直线AB的方程．【解答】解：设P（x，y），由|PF|=3，得y=2，∴x=2，即P（2，2）设M（x0，y0），由=3，得x0=﹣，y0=，即M（﹣，）M为AB的中点，k AB=﹣，∴AB的方程为：3x+9y﹣2=0．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点，离心率等于，∴设椭圆方程为，根据题意得：，解得a2=5，b2=1，所以椭圆C的方程为：．（Ⅱ）证明：椭圆C的右焦点F（2，0），根据题意可设l：y=k（x﹣2），则M（0，﹣2k），令A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，所以，且△＞0，由，得（x1，y1+2k）=λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2，y2+2k）=λ2（2﹣x2，﹣y2），所以，所以．故λ1+λ2为定值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期初数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={x∈N*|x＜9 }，集合∁U（A∪B）={1，3}，A∩∁U B={2，4}，则集合B等于（）A．{1，3，5，6，7，8} B．{2，4，5，6，7，8} C．{5，6，7，8} D．{1，2，3，4}2．直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是（）A．40°B．50°C．130°D．140°3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等比数列．若a1=3，则S4=（）A．7 B．8 C．12 D．164．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m∥n③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知函数，则f（x）（）A．不是周期函数 B．是最小正周期为π的偶函数C．是最小正周期为π的奇函数 D．既不是奇函数也不是偶函数6．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a7．变量x、y满足线性约束条件，则目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣4 B．﹣4＜k＜0＞C．﹣2＜k＜0 D．k＞08．若当x∈R时，y=均有意义，则函数的图象大致是（）A．B． C． D．9．如图示，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为4、3，点B是直线l1上的动点，若，AC与直线l2交于点C，则△ABC面积的最小值为（）A．3 B．6 C．12 D．1810．已知某几何体的三视图都是边长为6的正方形，如图所示，则该几何体的体积是（）A．180 B．144 C．92 D．180或14411．已知函数f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．（，1）12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（）A．函数f（x）的值域为[0，1]B．函数f（x）的图象是一条曲线C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤二、填空题13 .韩国首尔医院近20天每天因患中东呼吸综合征而入院就诊的人数依次构成数列{a n}，己知a1=1，a2=2，且满足a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，n∈N+，则该医院20天内因患中东呼吸综合征就诊的人数共有．14．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为．15．如图所示，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，则S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确序号有①若O为重心，则（+）•=（+）•=（+）•．②若I为内心，则a+b+c=③若O为外心，则++=．④若H为垂心，则•=•=•；⑤若O为外心，H为垂心，则=++．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．选做题：设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．已知向量=（cos，1），=（sin，cos2），f（x）=．（Ⅰ）若f（x）=1，求sin（x﹣）值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，N为线段CD的中点．（1）若线段AB中点为E，试问线段PC上是否存在一点M使得ME∥平面PAD．若存在M点，设CM=kCP，求k的值．若不存在说明理由．（2）求证：BD⊥PN；（3）求三棱锥A﹣PBC的体积．20．在数列{a n}中，已知a n≥1，a1=1，且a n+1﹣a n=（n∈N*）（1）设b n=（a n﹣）2，求数列{b n}及{a n}的通项公式（2）设c n=4b n，Sn=++…+，求证：≤S n＜．21．定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f （x）＞2．（Ⅰ）求证f（x）在R上是单调递增函数；（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t2﹣t|）≤8；（Ⅲ）若f（﹣2）=﹣4，且不等式f（t2+at﹣a）≥﹣7对任意t∈[﹣2，2]恒成立．求实数a的取值范围．22．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n（n≥2，n∈N+）．﹣1（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={x∈N*|x＜9 }，集合∁U（A∪B）={1，3}，A∩∁U B={2，4}，则集合B等于（）A．{1，3，5，6，7，8} B．{2，4，5，6，7，8} C．{5，6，7，8} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由已知可得A∪B={2，4，5，6，7，8}，A∩∁U B={2，4}，可得B中没有元素2，4，A中没有元素5，6，7，8，进而得到集合B．【解答】解：U={x∈N*|x＜9 }={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合∁U（A∪B）={1，3}，∴A∪B={2，4，5，6，7，8}，A∩∁U B={2，4}，∴B={5，6，7，8}，故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，并集运算和补集运算，难度不大，属于基础题．2．直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是（）A．40°B．50°C．130°D．140°【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xcos140°+ysin140°﹣2=0，可得直线的斜率为k==cot40°=tan50°．∴直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是50°．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等比数列．若a1=3，则S4=（）A．7 B．8 C．12 D．16【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由4a1，2a2，a3成等比数列．可得=4a1•a3，可得d=0．即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a1，2a2，a3成等比数列．∴=4a1•a3，化为，化为d=0．若a1=3，则S4=4a1=12．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m∥n③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在①中，n与α相交、平行或n⊂α；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β；在④中，m与α平行或m⊂α．【解答】解：由m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，知：①若m⊥n，m⊥α，则n与α相交、平行或n⊂α，故①错误；②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；③若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若m∥n，n⊂α，则m与α平行或m⊂α，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5．已知函数，则f（x）（）A．不是周期函数 B．是最小正周期为π的偶函数C．是最小正周期为π的奇函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【考点】余弦函数的奇偶性；函数的周期性；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】化简函数表达式，利用周期公式求出函数的周期，利用函数的奇偶性的判断方法判断，即可得到选项．【解答】解：因为函数==sin2x，所以函数周期是T==π，而且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数，故选C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法奇偶性的判断，考查计算能力．6．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】先根据x的范围判定a、b、c、d的符号，然后令x=e2，可比较a与d的大小关系，令x=10，可比较b与c的大小关系，从而得到a、b、c、d的大小关系【解答】解：∵e＜x＜10∴lnx＞1，lgx＜1∴a=ln（lnx）＞0，b=lg（lgx）＜0，c=ln（lgx）＜0，d=lg（lnx）＞0，令x=e2，则a=ln2，d=lg2显然a＞d令x=，则b=lg=﹣lg2，c=ln=﹣ln2，显然b＞c所以c＜b＜d＜a故选C．【点评】本题主要考查了对数值大小的比较，往往可以利用特殊值进行比较，属于基础题．7．变量x、y满足线性约束条件，则目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣4 B．﹣4＜k＜0＞C．﹣2＜k＜0 D．k＞0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=（k+1）x﹣y仅在点（0，2）取得最小值列式求得k值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，∴﹣3＜k+1＜1，即﹣4＜k＜0．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．若当x∈R时，y=均有意义，则函数的图象大致是（）A．B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）由x∈A∪B={﹣4，﹣3，1}时，y=均有意义，则，推出0＜a＜1，再把函数表达式中的绝对值去掉，再讨论函数的单调性．【解答】解：由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）若当x∈A∪B={﹣4，﹣3，1}时，y=均有意义，则，0＜a＜1，又x＞0时，，∵单调递减，y=log a u单调递减，∴由复合函数的单调性知单调递增，∵为偶函数，其图象应关于y轴对称，∴x＜0时，单调递减，综上知，选项B符合，故选：B．【点评】本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，其中还应用了复合函数单调性的判断，较为综合．9．如图示，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为4、3，点B是直线l1上的动点，若，AC与直线l2交于点C，则△ABC面积的最小值为（）A．3 B．6 C．12 D．18【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题．【分析】过A作EF⊥l1，与l1交于E，与l2交于F，设∠EAB=α，则∠FAC=90°﹣α，由A到l1，l2的距离分别为4、3，能够得到AB=，AC=，所以△ABC的面积S=，由此知当α=45°时，sin2α=1，面积S获得最小值．【解答】解：如图，过A作EF⊥l1，与l1交于E，与l2交于F，设∠EAB=α，则∠FAC=90°﹣α，∵A到l1，l2的距离分别为4、3，∴AE=4，AF=3，∴AB=，AC=，∴△ABC的面积S===，当α=45°时，sin2α=1，面积S获得最小值12．故答案为：12．【点评】本题考查向量在几何中的灵活运用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用，恰当地作出图形，运用数形结合思想进行解题，有事半功倍之效．10．已知某几何体的三视图都是边长为6的正方形，如图所示，则该几何体的体积是（）A．180 B．144 C．92 D．180或144【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】把三视图转换成立体图，利用几何体的体积公式求出结果即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体可能有两种情况，如图所示：该几何体为棱长为6的正方体去掉一个三棱锥或去掉两个三棱锥，且三棱锥的体积为××62×6=36，∴几何体的体积为63﹣36=180或63﹣36×2=144．故选：D．【点评】本题考查了三视图和立体图之间的相互转换以及几何体的体积计算问题．也考查了空间想象能力的应用问题．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．（，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，，由此求得a的范围．【解答】解：函数f（x）=是R上的减函数，∴，求得0＜a≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（）A．函数f（x）的值域为[0，1]B．函数f（x）的图象是一条曲线C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（x）=（x＞0）的值域不包含（0，]，由此能判断A的正误；函数f（x）的图象是不连续的线段，由此能判断B和C的正误；在D中：由题意可得方程=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3，分别求出[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．【解答】解：在A中，f（x）=（x＞0）的值域不包含（0，]，故A不正确；在B中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故B不正确；在C中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故C不正确；在D中，∵有且仅有3个零点，∴方程=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，∵x＞0，∴[x]≥0，若[x]=0，则=0；若[x]≥1，∵[x]≤x＜[x]+1，∴，∴，且随[x]的增大而增大，故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3，若[x]=1，则有；若[x]=2，则有；若[x]=3，则有；若[x]=4，则有＜≤1．∴．故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．二、填空题13 .韩国首尔医院近20天每天因患中东呼吸综合征而入院就诊的人数依次构成数列{a n}，己知a1=1，a2=2，且满足a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，n∈N+，则该医院20天内因患中东呼吸综合征就诊的人数共有210．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，可得a n+2﹣a n=，即n为奇数时，a n+2=a n，n为偶数时，a n+2﹣a n=4，即所有的奇数项都相等，所有的偶数项构成一个首项为2，公差为4的等差数列，根据a1=1，a2=2，可得a1=a3=…=a19=1，a2，a4，…，a20利用等差数列的求和公式求和，即可得到答案．【解答】解：a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，可得a n+2﹣a n=，即n为奇数时，a n+2=a n，n为偶数时，a n+2﹣a n=4，∴a1=a3=…=a19，a2，a4，…，a20构成公差为4的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=10+．故答案为：210．【点评】本题的考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列{a n}即不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法，属中档题．14．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0，圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0，综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0，故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．15．如图所示，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，则S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=2015．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所给式子的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，可得B=1，A=﹣1=，周期为T=4=，求得ω=．再把点（0，1）代入，可得sinφ+1=1，可得sinφ=0，故可取φ=0，f（x）=sin（x）+1，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=+1++1=4，S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）=503×4++1+=2015，故答案为：2015．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，函数的周期性的应用，属于中档题．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确序号有②④⑤①若O为重心，则（+）•=（+）•=（+）•．②若I为内心，则a+b+c=③若O为外心，则++=．④若H为垂心，则•=•=•；⑤若O为外心，H为垂心，则=++．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据重心、外心、垂心的定义，两非零向量垂直的充要条件，举反例的方法，向量加法、减法的几何意义，角平分线定理，合分比定理，向量加法的平行四边形法则即可判断每个结论的正误，从而写出结论正确的序号．【解答】解：①如图，等腰△ABC，O是该三角形的重心；∵；∴=；又；∴=0；显然；∴该结论错误；②如图，△ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为I；===；根据角平分线定理：，∴；∴；∴==；∵；∴；∴；∴；∴该结论正确；③如图，设等腰直角三角形ABC，O为其外心；则，而显然；∴该结论错误；④如图，△ABC，H为其垂心，则：；∴；同理可得；∴；∴该结论正确；⑤如图，；∴，；两式相减得；同理；若，则该向量同时垂直于，显然不可能；∴；∴该结论正确；所以结论正确的序号有：②④⑤．故答案为：②④⑤．【点评】考查向量加法、减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，两非零向量垂直的充要条件，以及举反例的方法说明结论不成立，角平分线定理，合分比定理．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．选做题：设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先化简集合A，根据A∩B≠∅，可知方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内，直接求解情况比较多，考虑补集即可．【解答】解：A={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．∵A∩B≠∅，∴方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内直接求解情况比较多，考虑补集设全集U={a|△≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），P={a|方程x2﹣2ax+（a+2）=0的两根都在[1，4]内}记f（x）=x2﹣2ax+（a+2），且f（x）=0的两根都在[1，4]内∴，∴，∴，∴∴实数a的取值范围为．【点评】本题以集合为载体，考查集合之间的关系，考查函数与方程思想，解题的关键是利用补集思想，合理转化．18．已知向量=（cos，1），=（sin，cos2），f（x）=．（Ⅰ）若f（x）=1，求sin（x﹣）值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x）=+．再利用诱导公式可得：sin（x﹣）=﹣cos（x+）=2sin2（+）﹣1，代入计算即可得出．（II）由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式化为cosB=，可得B=．于是，可得＜1．即可得出．【解答】解：（I）f（x）==+=+=+．∵f（x）=1，∴+=1．∴sin（x﹣）=﹣cos（x+）=2sin2（+）﹣1=﹣．（II）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．∴，∴，∴＜1．∴+，∴f（A）=+∈．【点评】本题考查了向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，N为线段CD的中点．（1）若线段AB中点为E，试问线段PC上是否存在一点M使得ME∥平面PAD．若存在M点，设CM=kCP，求k的值．若不存在说明理由．（2）求证：BD⊥PN；（3）求三棱锥A﹣PBC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）取PC的中点M，此时k=，连结M、N、E三点，证明面PAD∥面EMN，可得ME∥平面PAD．（2）连结BD，AC，取AD中点为F，证明BD⊥面PFN，即可证明BD⊥PN；（3）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥A﹣PBC的体积．【解答】（1）解：取PC的中点M，此时k=，连结M、N、E三点，则PD∥MN∵∠ADC=∠BCD=90°且N、E分别为CD、AB的中点∴AD∥BC∥NE∵PD∩AD=D，NE∩MN=N，∴面PAD∥面EMN∵ME⊂面EMN，∴ME∥面PAD …（2）证明：连结BD，AC，取AD中点为F在Rt△BCD和Rt△ACD中，===，∴Rt△BCD∽Rt△ACD，∴∠BDC=∠CAD∵∠BDC+∠BDA=90°，∴∠BDC+∠CAD=90°，∴BD⊥AC∵N、F分别为AD、CD的中点，∴FN∥AC，∴FN⊥BD∵PA=PD，∴PF⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD=AD，PF⊂面PAD，∴PF⊥面ABCD∵BD⊂面ABCD，∴PF⊥BD∴BD⊥面PFN，∵PN⊂面PFN，∴PN⊥BD …（3）解：V=××PF=××=…【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在数列{a n}中，已知a n≥1，a1=1，且a n+1﹣a n=（n∈N*）（1）设b n=（a n﹣）2，求数列{b n}及{a n}的通项公式（2）设c n=4b n，Sn=++…+，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n+1﹣a n=可知﹣﹣a n+1+a n=2，计算可知b n+1﹣b n=2，进而可知数列{b n}是以为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知b n=，裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=（n∈N*），∴﹣﹣a n+1+a n=2，又∵b n={a n﹣}2，∴b n+1﹣b n=﹣=﹣﹣a n+1+a n=2，又∵b1===，∴数列{b n}是以为首项、2为公差的等差数列，∴b n=+2（n﹣1）=，又∵a n≥1，∴数列{a n}的通项公式a n=+=+；（2）证明：由（1）可知b n=，∴c n=4b n=8n﹣7，∴==（﹣），∴S n=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜，∵f（n）=﹣随着n的增大而增大，∴f（n）≥f（1）=﹣=，∴≤S n＜．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．21．定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f （x）＞2．（Ⅰ）求证f（x）在R上是单调递增函数；（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t2﹣t|）≤8；（Ⅲ）若f（﹣2）=﹣4，且不等式f（t2+at﹣a）≥﹣7对任意t∈[﹣2，2]恒成立．求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）结合已知先构造x2﹣x1＞0，可得f（x2﹣x1）＞2，利用函数的单调性的定义作差f（x1）﹣f（x2）变形可证明（Ⅱ）由f（1），及f（2）=f（1）+f（1）﹣2可求f（2），然后结合（I）中的函数的单调性可把已知不等式进行转化，解二次不等式即可（Ⅲ）由f（﹣2）及已知可求f（﹣1），进而可求f（﹣3），由已知不等式及函数的单调性可转化原不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解【解答】证明：（Ⅰ）∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）=f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=2﹣f（x2﹣x1）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是单调递增函数…（Ⅱ）∵f（1）=5，∴f（2）=f（1）+f（1）﹣2=8，由f（|t2﹣t|）≤8得f（|t2﹣t|）≤f（2）∵f（x）在R上是单调递增函数，所以…（Ⅲ）由f（﹣2）=﹣4得﹣4=f（﹣2）=f（﹣1）+f（﹣1）﹣2⇒f（﹣1）=﹣1所以f（﹣3）=f（﹣2）+f（﹣1）=﹣4﹣1﹣2=﹣7，由f（t2+at﹣a）≥﹣7得f（t2+at﹣a）≥f（﹣3）∵f（x）在R上是单调递增函数，所以t2+at﹣a≥﹣3⇒t2+at﹣a+3≥0对任意t∈[﹣2，2]恒成立．记g（t）=t2+at﹣a+3（﹣2≤t≤2）只需g min（t）≥0．对称轴（1）当时，与a≥4矛盾．此时a∈ϕ（2）当时，，又﹣4＜a＜4，所以﹣4＜a≤2（3）当时，g min（t）=g（2）=4+2a﹣a+3≥0⇒a≥﹣7又a≤﹣4∴﹣7≤a≤﹣4综合上述得：a∈[﹣7，2]…【点评】本题主要考查了赋值法在抽象函数的函数值的求解中的应用，抽象函数的单调性的证明及函数的恒成立问题的应用，具有很强的综合性22．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n（n≥2，n∈N+）．﹣1（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．（n≥2，n∈N+）．【解答】证明：（Ⅰ）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1则：a n+1+a n=3（a n+a n）﹣1即：，所以：，数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）（i）由于数列{b n}是等比数列．则：，整理得：所以：则：是以（）为首项，﹣1为公比的等比数列．所以：求得：（ii）由于：，所以：，则：（1）当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以：=…++，所以：n∈k时，对任意的k都有恒成立．【点评】本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．55．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集的含义先求C I A、C I B，再根据并集的意义求（C I A）∪（C I B）．【解答】解：C I A={4}，C I B={0，1}，（C I A）∪（C I B）={0，1，4}，故选C【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0化为（x﹣1）（x﹣2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0可化为（x﹣1）（x﹣2）≤0；解得1≤x≤2，∴不等式的解集是{x|1≤x≤2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题目．3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，满足题意题意条件的集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，则M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，集合{4，5，6}有3个元素，有23﹣2=6个非空真子集；故选C．【点评】本题考查集合间包含关系的判断，关键是根据题意，分析集合M的元素的特点．5．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，由于已知条件中f（）=，给定的是一个复合函数的解析式，故可用换元法或凑配法解答，但由于内函数为分式形式，凑配起来难度较大，故本题采用换元法解题．【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选C【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】先进行配方找出对称轴，判定对称轴是否在定义域内，然后结合二次函数的图象可知函数的单调性，从而求出函数的值域．【解答】解：f（x）=﹣2x2+6x=﹣2（x﹣）2+（﹣2＜x＜2）根据二次函数的开口向下，对称轴为x=在定义域内可知，当x=时，函数取最大值离对称轴较远的点，函数值较小，即当x=﹣2时，函数取最小值﹣20∴函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（﹣20，]故答案为：（﹣20，]【点评】本题主要考查了二次函数的值域，二次函数的最值问题一般考虑开口方向和对称轴以及区间端点，属于基本题．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．【分析】由f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x≤0和x＞0两段，分别解方程f（x）=x即可．【解答】解：由题知，解得b=4，c=2故，当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．故选C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数、及解方程问题，难度不大．9．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知可判断函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，进而函数在（﹣∞，1]上为减函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，∴函数在（﹣∞，1]上为减函数；∴f（1）＜f（0）＜f（﹣1），故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】若A⊆A∩B，则A⊆B．比较两个集合的端点即可得到参数a的不等式，解不等式即可得到参数的取值范围．【解答】解：由于B={x|3≤x≤22}，∵A⊆A∩B，∴A⊆B，∴，解得：{a|1≤a≤9}，又A为非空集合，故有2a+1≤3a﹣5，解得a≥6综上得，使A⊆A∩B成立的a的集合是：{a|6≤a≤9}．故选B．【点评】本题考查集合与集合之间的关系，尤其着重考查了集合的包含关系及此时取值范围的界定，为基础题．解题时须注意：（1）A⊆A∩B⇔A⊆B；（2）此类题目容易出现错误的地方为端点值的取舍．11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关【考点】函数的值．【专题】规律型．【分析】先由函数y=x2+x，确定小于零时的区间为（﹣1，0），区间长为1，而a＞0，则f（x）图象由函数y=x2+x向上平移，则f（x）小于零的区间长会小于1，再由f（m）＜0，得m+1一定跨出了小于零的区间得到结论．【解答】解：函数y=x2+x在x轴以下的部分时﹣1＜x＜0，总共区间只有1的跨度，又∵a＞0∴f（x）图象由函数y=x2+x图象向上平移，所以小于零的区间长会小于1，又∵f（m）＜0∴m+1一定跨出了小于零的区间，所以f（m+1）一定是正数故选B【点评】本题主要考查函数图象的平移变换，这种变换只是改变了图象在坐标系中的位置，没有改变图象的形状．12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2．当x=0时，f（0）=3．由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为0或1．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】讨论a，当a=0时，方程是一次方程，当a≠0时，二次方程只有一个解时，判别式等于零，可求出所求．【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或1【点评】本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，同时考查了转化的思想，属于基础题．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是6．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由根与系数的关系，得﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】先设出函数g（x）的表达式，代入f（g（x）），通过系数相等得到关于a，b的不等式组，解出即可．【解答】解：设g（x）=ax+b，则f（ax+b）=（ax+b）2+1=a2x2+2abx+b2+1=9x2+6x+2，∴，解得：或，∴g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．故答案为：g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，本题是一道基础题．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为（﹣8，0]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当m=0时，不等式可化为﹣2＜0成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，利用对应二次函数的图象与性质列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：当m=0时，不等式可化为﹣2＜0，显然成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2+mx﹣2的图象应开口朝下，且与x轴没有交点，故，解得﹣8＜m＜0综上，实数m的取值范围是（﹣8，0]．故答案为：（﹣8，0]．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可；（2）先得出集合C，再分类讨论即可．【解答】解：（1）∵﹣3∈B，∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3，解得a=0或．当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，而A∩B={﹣3，1}≠{﹣3}，∴a≠0；当时，A={}，B={}，A∩B={﹣3}．综上得．（2）∵C⊆（A∩B），∴C=∅或{﹣3}．①当C=∅时，m=0，满足题意；②当C={﹣3}时，﹣3m=1，解得满足题意．综上可知：m=0或．【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．可得A={1，2}．由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得，此方程组无解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．∴A={1，2}．∵A∪B=A，∴B⊆A．1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜﹣3．2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=﹣3，此时B={﹣2}，不符合题意．3°若B={1，2}，∴，此方程组无解．综上：a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．【解答】解：∵x2﹣（a+）x+1＜0．∴（x﹣a）（x﹣）＜0，当a＞时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得＜x＜a，当a＜时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a＜x＜，当a=时，即a=±1时，不等式的解集为空集．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论的思想，属于基础题．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，分对称在区间[﹣1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（x）在[﹣1，1]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，其最小值为g（a）=f（﹣1）=2a+3；当﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；当a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，其最小值为g（a）=f（1）=3﹣2a．函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）=．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用二次函数的性质，求得实数m的范围．【解答】解：（1）设f（x）=x2+2（m﹣1）x+2m+6，则由题意可得f（2）=6m+6＜0，求得m＜﹣1．（2）由题意可得，求得﹣＜m≤﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；压轴题；函数思想．【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．。
辽宁省葫芦岛市2016届高三上学期期末考试（文） 一、选择题（8道题共40分）1．设i 是虚数单位，复数1i2i+-a 为纯虚数，则实数a 为 （ ） A ．2 B ．-2 C ． 12- D ．122．设有一个回归方程为x y 5.22-=∧，变量增加一个单位时，则（ ） A.平均增加个单位 B.平均增加2个单位C.平均减少个单位D.平均减少2个单位3.如图，P A 、PB 为⊙O 的切线，∠D ＝100°，∠CBE ＝40°，则∠P ＝( )A ．60°B ．40°C ．80°D ．70°4. 凡自然数都是整数，而4是自然数 所以，4是整数, 以上三段论推理（ ） A.正确 B.推理形式不正确 C.两个“自然数”概念不一致 D.两个“整数”概念不一致5. 用反证法证明命题“已知R ∈x ，21a x =-，22b x =+，则,a b 中至少有一个不小于0”反设正确的是（ ） A.假设,a b 都不大于0 B.假设,a b 至多有一个大于0 C.假设,a b 都大于0 D.假设,a b 都小于06. 下面使用类比推理，得到正确结论的是（ ）A ．“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+（c ≠0）” D ．“=n n ab a b n （）” 类推出“+=+n n na b a b （）”x y 2.5y y 2.5y7. 如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ， AD =2，AB =6，则AC 的长为（ ）A.2B.C.3D.48.已知数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，121+=-n n a a ，则=n a （ ）A ．12-nB ．222+-n n C ．12-n D ．121+-n一、填空题（6道题共30分） 9．设1i =+z （i 是虚数单位），则22z z+= . 10.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程 是 .11.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。
葫芦岛市八高中201 5–2016学年度上学期高一期中考试试题（科目：数学 命题人：） 答题时间：120分钟 总分数：150分一．选择题（每小题5分，共12小题，总共60分）1．设A={(x,y)|y=－x+1}，B={(x,y)|y=x －1}，则A ∩B= （ ） A.{1,0} B.{(1,0)} C.{x=1,y=0} D.(1,0) 2．设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,3}，N={2,3,5}，则 ()()N C M C U U =（ ）A.ΦB.{2,3}C.{4}D.{1,5}3.已知()2f x x=则函数)(x f 的定义域为( )A.[-1,1]B.(-1,1)C.(1,0)(0,1)- D.[1,0)(0,1]-4.函数y= ）A.[0,1]B.[-1,0]C.[1,)+∞D.(,1]-∞5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A. xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 B.x y 1= C.y=－x 3 D.)(log 3x y -= 6．已知函数()f x 满足(1)21f x x +=+，则(1)f 等于（ ） A.3 B.－3 C.1 D.-1 7．把函数22-=x y 的图象经过下面一种变换可以得到函数xy 2=的图象，则这种变换是将22-=x y 的图象上的所有的点 （ ）A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位装订线内禁止答题级名号8. 已知()xf x a = )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A.0>aB.1>aC.1<aD.10<<a9. 函数9()lg f x x x =-的零点大致所在区间是（）A ．（6,7）B ．（7,8）C ．（8,9）D ．（9,10）10.212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是 （ ） A.()+∞,0 B. 1,82⎛⎫⎪⎝⎭C. ](16,0D. ](0,111.已知函数21()1x f x x +=-，函数)(x g 的图像与()1y f x -=的图像关于y=x 对称，则)1(-g 的值是 （ ）A.21- B.1- C.0 D.-312．方程log 2(01)ax x a =+<<的解的个数（ ）A.0B.1C.2D.3 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.{}{}|||1,|,A x x B x x a A B =<=>=∅且，则a 的取值范围 .14.函数y=)23(log 13-x 的定义域是 。
2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣15．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．49．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是．15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由题意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故C U A={y|y≤1}∴（C U A）∩B={x|0＜x＜1}故选：D．2．（5分）设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）A．B．i C．D．i【解答】解：复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=．复数z+的虚部是：．故选：A．3．（5分）设a=2﹣0.5，b=log20152016，c=sin1830°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵1＞a=2﹣0.5=，b=log20152016＞1，c=sin1830°=sin30°=，∴b＞a＞c，故选：D．4．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．6．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7=9a3，则=（）A．9 B．5 C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}，a7=9a3，∴a1+6d=9（a1+2d），∴a1=﹣d，∴==9，7．（5分）将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．9．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选：A．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c＞b＞a，若向量=（a﹣b，1），=（b﹣c，1）平行，且sinB=，则当△ABC的面积为时，B=（）A．B．2 C．4 D．2+【解答】解：由向量和共线知a+c=2b①，由②，由c＞b＞a知角B为锐角，③，联立①②③得b=2．故选：B．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x 4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B．12．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）A．（0.1，0.2）B．（0.2，0.3）C．（0.3，0.4）D．（0.4，0.5）【解答】解：根据题意可得∴构造函数﹣1∵，∴x所在区间为（0.3，0.4）即cos72°的值所在区间为（0.3，0.4）故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα的值是﹣．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知变量x，y满足，则的取值范围是[，] ．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]15．（5分）如图数表，为一组等式：某学生根据上表猜测S2n﹣1=（2n﹣1）（an2+bn+c），老师回答正确，则a﹣b+c=5．【解答】解：由题意，，∴，∴a﹣b+c=5，故答案为：516．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F （1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x ﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，x∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，x∈Z，则函数f（x）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x∈Z；（2）∵f（B）=sin（B﹣）=﹣，∴sin（B﹣）=﹣，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（12分）因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（14分）19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n•a n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）（I）解：由题意，当n=1时，得2a1=a1+3，解得a1=3．当n=2时，得2a2=（a1+a2）+5，解得a2=8．当n=3时，得2a3=（a1+a2+a3）+7，解得a3=18．所以a1=3，a2=8，a3=18为所求．…（3分）（Ⅱ）证明：因为2a n=S n+2n+1，所以有2a n+1=S n+1+2n+3成立．两式相减得：2a n﹣2a n=a n+1+2．+1=2a n+2（n∈N*），即a n+1+2=2（a n+2）．…（5分）所以a n+1所以数列{a n+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得：a n+2=5×2n﹣1，即a n=5×2n﹣1﹣2（n∈N*）．则na n=5n•2n﹣1﹣2n（n∈N*）．…（8分）设数列{5n•2n﹣1}的前n项和为P n，则P n=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×（n﹣1）•2n﹣2+5×n•2n﹣1，所以2P n=5×1×21+5×2×22+5×3×23+…+5（n﹣1）•2n﹣1+5n•2n，所以﹣P n=5（1+21+22+…+2n﹣1）﹣5n•2n，即P n=（5n﹣5）•2n+5（n∈N*）．…（11分）所以数列{n•a n}的前n项和T n=，整理得，T n=（5n﹣5）•2n﹣n2﹣n+5（n∈N*）．…（13分）20．（12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．（Ⅰ）试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；（Ⅱ）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元（2分）∵C（0）==4，∴k=1000；（3分）∴y=0.2x+×4=0.2x+，x≥0﹒（6分）（Ⅱ）y=0.2（x+5+）﹣1≥0.2×40﹣1=7当x+5=，即x=15时，y min=7∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元（12分）21．（12分）设函数的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（﹣1）=0；②对一切实数x，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax2+bx+c．…（1分）由为偶函数，得为偶函数，显然有．…（2分）又k（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即．…（3分）又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立．…（4分）显然，当时，不符合题意．…（5分）当时，应满足，注意到，解得．…（7分）所以．…（8分）（Ⅱ）证明：因为，所以．…（9分）要证不等式成立，即证．…（10分）因为，…（12分）所以=．所以成立．…（14分）22．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点，又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共12小题，总共60分）1．（5分）设A={（x，y）|y=﹣x+1}，B={（x，y）|y=x﹣1}，则A∩B=（）A．{1，0}B．{（1，0）}C．{x=1，y=0}D．（1，0）2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={2，3，5}，则（∁U M）∩（∁U N）=（）A．∅B．{2，3}C．{4}D．{1，5}3．（5分）已知，则函数f（x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．[﹣1，0）∪（0，1]4．（5分）函数y=的单调增区间是（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]5．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+1，则f（1）等于（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣17．（5分）把函数y=2x﹣2的图象经过下面一种变换可以得到函数y=2x的图象，则这种变换是将y=2x﹣2的图象上的所有的点（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位8．（5分）已知f（x）=a x（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜19．（5分）函数的零点大致所在区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）10．（5分）函数的值域是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）11．（5分）已知函数，函数g（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于y=x对称，则g（﹣1）的值是（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣312．（5分）方程log a x=x+2（0＜a＜1）的解的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）A={x||x|＜1}，B={x|x＞a}，且A∩B=∅，则a的取值范围．14．（5分）函数y=的定义域是．15．（5分）函数f（x）=是函数．（填“奇”、“偶”）16．（5分）计算（lg2）2+（lg5）2+2lg2•lg5=．三.解答题：（总共70分）17．（10分）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，U=R，求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．18．（12分）函数f（x）=﹣x3+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．（12分）设二次函数f（x）满足：①f（x﹣2）=f（﹣x﹣2）；②它的图象在y 轴上的截距为1；③它的图象在x轴上截得的线段长为2．试求f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在x∈[﹣2，2]上恒有f（x）＜2，求实数a的取值范围．21．（12分）已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．22．（12分）幂函数f（x）的图象经过点（，2），点（﹣2，）在幂函数g （x）的图象上，（1）求f（x），g（x）的解析式．（2）x为何值时f（x）＞g（x）？x为何值时f（x）＜g（x）？2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分，共12小题，总共60分）1．（5分）设A={（x，y）|y=﹣x+1}，B={（x，y）|y=x﹣1}，则A∩B=（）A．{1，0}B．{（1，0）}C．{x=1，y=0}D．（1，0）【解答】解：联立得：，消去y得：﹣x+1=x﹣1，解得：x=1，把x=1代入得：y=0，则A∩B={（1，0）}，故选：B．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={2，3，5}，则（∁U M）∩（∁U N）=（）A．∅B．{2，3}C．{4}D．{1，5}【解答】解：根据题意，M={1，2，3}，则∁U M={4，5}；N={2，3，5}，则∁U N={1，5}；则（∁U M）∪（∁U N）={4}故选：C．3．（5分）已知，则函数f（x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．[﹣1，0）∪（0，1]【解答】解：由，解得﹣1≤x≤1且x≠0．∴函数f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]．故选：D．4．（5分）函数y=的单调增区间是（）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：先确定函数y=的定义域，由1﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，1]，记u（x）=1﹣x2，该函数有如下性质：u（x）为二次函数，且开口向下，对称轴x=0，因此，当x∈[﹣1，0]时，u（x）单调递增，当x∈[0，1]时，u（x）单调递减，所以，函数y=的单调增区间为[﹣1，0]，故选：B．5．（5分）下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=log3（﹣x）【解答】解：A中的函数是指数函数，不符合题意；B中的函数在定义域内不具有单调性，故不对；C中的函数是奇函数，且在定义域内是减函数，是正确选项；D中的函数定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+1，则f（1）等于（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=2x+1，∴f（1）=f（0+1）=2×0+1=1．故选：C．7．（5分）把函数y=2x﹣2的图象经过下面一种变换可以得到函数y=2x的图象，则这种变换是将y=2x﹣2的图象上的所有的点（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位【解答】解：根据函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则设函数y=2x﹣2的图象左移a个单位，再上移b个单位可得函数y=2x的图象则2x﹣2+a+b=2x，解得a=2，b=0故函数y=2x﹣2的图象左移2单位可得函数y=2x的图象故选：A．8．（5分）已知f（x）=a x（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1【解答】解：∵f（x）=a x（a＞0且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），∴f（x）在R上是增函数，∴a＞1故选：B．9．（5分）函数的零点大致所在区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）【解答】解：由于函数在它的定义域内是增函数，且是连续函数，∵f（9）=lg9﹣1＜lg10﹣1=0，f（10）=lg10﹣=1﹣＞0，∴f（9）•f（10）＜0，故函数f（x）的零点所在的大致区间是（9，10），故选：D．10．（5分）函数的值域是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，1）【解答】解：设t=x2，则t≥0，由指数函数的图象得：y=（）t（t≥0）的值域为（0，1]∴函数的值域是（0，1]故选：C．11．（5分）已知函数，函数g（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于y=x对称，则g（﹣1）的值是（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣3【解答】解：∵y=f﹣1（x）与y=f（x）互为反函数，∴y=f﹣1（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x轴对称，又∵函数g（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于y=x对称，∴g（x）=，因此，g（﹣1）=f（﹣1）==，故选：A．12．（5分）方程log a x=x+2（0＜a＜1）的解的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）=log a x﹣x﹣2，易知f（x）=log a x﹣x﹣2在其定义域上连续单调递减，f（a3）=3﹣a3﹣2=1﹣a3＞0，f（1）=0﹣1﹣2=﹣3＜0，故f（a3）f（1）＜0，故方程log a x=x+2（0＜a＜1）的解的个数为1，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）A={x||x|＜1}，B={x|x＞a}，且A∩B=∅，则a的取值范围a≥1．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=∅，∴a的取值范围是a≥1，故答案为：a≥1．14．（5分）函数y=的定义域是．【解答】解：要使函数y=有意义，则3x﹣2＞0，且log3（3x﹣2）≠0，即x＞且3x﹣2≠1，即x＞且x≠1．则定义域为．故答案为：．15．（5分）函数f（x）=是奇函数．（填“奇”、“偶”）【解答】解：∵函数f（x）=，∴定义域为（﹣1，0）∪（0，1）∴f（x）=，∵f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）为奇函数故答案为：奇16．（5分）计算（lg2）2+（lg5）2+2lg2•lg5=1．【解答】解：（lg2）2+（lg5）2+2lg2•lg5=（lg2+lg5）2=1．故答案为：1．三.解答题：（总共70分）17．（10分）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣3x+2＜0}，U=R，求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．【解答】解：集合A={x|≤0}={x|﹣5＜x≤}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，U=R，（Ⅰ）A∩B={x|﹣5＜x≤}∩{x|1＜x＜2}={x|1＜x≤}；（Ⅱ）A∪B={x|﹣5＜x≤}∪{x|1＜x＜2}={x|﹣5＜x＜2}；（Ⅲ）∵∁U A={x|x≤﹣5或x＞}，∴（∁U A）∩B={x|x≤﹣5或x＞}∩{x|1＜x＜2}={x|＜x＜2}．18．（12分）函数f（x）=﹣x3+1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．【解答】解：函数f（x）=﹣x3+1在R上为单调递减函数，证明如下：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣x13+1）﹣（﹣x23+1）=x23﹣x13=（x2﹣x1）（x22+x1x2+x12）=（x2﹣x1）[（x2+x1）2+x12）]，其中，x2﹣x1＞0，（x2+x1）2+x12＞0恒成立，所以，f（x1）＞f（x2）恒成立，故f（x）为R上的单调递减函数，证毕．19．（12分）设二次函数f（x）满足：①f（x﹣2）=f（﹣x﹣2）；②它的图象在y 轴上的截距为1；③它的图象在x轴上截得的线段长为2．试求f（x）的解析式．【解答】解：∵①f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），∴函数f（x）图象关于x=﹣2 对称，设二次函数f（x）=ax2+bx+c，则﹣=﹣2，②它的图象在y轴上的截距为1，∴c=1，∵③它的图象在x轴上截得的线段长为2，∴|x1﹣x2|====2，∴a=，b=2，∴f（x）=x2+2x+1．20．（12分）已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在x∈[﹣2，2]上恒有f（x）＜2，求实数a的取值范围．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x 在x∈[﹣2，2]上单调递增，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（2）＜2，即a2＜2，解得1＜a＜．当0＜a＜1时，函数f（x）=a x 在x∈[﹣2，2]上单调递减，要使f（x）＜2，必须使函数的最大值f（﹣2）＜2，即a﹣2＜2，a2＞，由此解得＜a＜1．综上可得，a的范围为（1，）∪（，1）．21．（12分）已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）=f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）=1+log2x（1≤x≤4），∴，即1≤x≤2，∵f（x）=1+log2x（1≤x≤4），g（x）=f2（x）+f（x2）=（1+log2x）2+1+2log2x，∴g（x）=（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2设t=log2x，则h（t）=t2+4t+2，0≤t≤1，∵对称轴t=﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，则g（x）的最小值为h（0）=2，最大值为h（1）=7．22．（12分）幂函数f（x）的图象经过点（，2），点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，（1）求f（x），g（x）的解析式．（2）x为何值时f（x）＞g（x）？x为何值时f（x）＜g（x）？【解答】解：（1）因为f（x），g（x）均为幂函数，所以，设f（x）=x a，g（x）=x b，再将（，2），（﹣2，）分别代入f（x），g（x）得，=2，（﹣2）b=，解得a=2，b=﹣2，所以，f（x）=x2，g（x）=x﹣2；（2）在同一坐标系中，画出f（x），g（x）的图象，如右图，当f（x）=g（x）时，解得x=1或x=﹣1，由图可知，①当x∈（﹣1，0）∪（0，1）时，f（x）＜g（x）；②当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f（x）＞g（x）．。
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞02．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p25．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n 的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=011．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞0【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞1，x2﹣x+1≤0，故选：C．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵当“a＞|b|”成立时，a＞|b|≥0，∴“a2＞b2”成立，即“a＞|b|”⇒“a2＞b2”为真命题；是必要条件；而当“a2＞b2”成立时，a＞|b|≥0，或a＜﹣|b|≤0，∴a＞|b|≥0不一定成立，即“a2＞b2”⇒“a＞|b|”为假命题；不是充分条件；故“a2＞b2”是“a＞|b|”的必要非充分条件；故选：B．4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p2【解答】解：对于不等式，判别式△=1﹣4＜0，所以该不等式无解；∴命题p1是假命题；函数f（x）=x2﹣1在[1，2]上单调递增，∴对于任意x∈[1，2]，f（x）≥f（1）=0，即x2﹣1≥0；∴命题p2是真命题；∴￢p1是真命题，￢p2是假命题；∴￢p1∧￢p2是假命题，p1∨￢p2为假命题，￢p1∧p2为真命题，p1∧p2为假命题．故选：C．5．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）[4（n﹣1）2﹣1]≥0，化为：4n2﹣8n+3≤4m2，由于对于任意的实数m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范围是．故选：A．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；若A，B∈（0，]，∵正弦函数y=sinx在（0，]上是增函数，∴sinA≤sinB 可得到A≤B；若A∈（0，]，B∈（，π），sinA＜sinB能得到A＜B；若A∈（，π），B∈（0，]，则由sinA≤sinB，得到sin（π﹣A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；法二：∵=，∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；法二：p是q的必要不充分条件⇔￢q是￢p的必要不充分条件，而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，则￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；③由x2+x+1=+＞0，故不存在实数x0，使x02+x0+1＜0；③错误；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有实根，则m≤1”，由△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故④错误；故选：C．9．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=﹣，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣=故选：B．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．11．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选：A．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为若x∉A∩B，则x∉A 且x∉B．【解答】解：同时否定条件和结论，得到否命题，所以命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题是：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．故答案为：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【解答】解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为﹣=1．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=2．【解答】解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=3，∴AM=3，故|AC|=3|AM|=9，从而|BF|=1.5，|CB|=4.5．CF=6，CA=9故，即p=4，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴．当a∈[1，2]时，的最小值为3．要使|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只需||m﹣4|≤3，即1≤m≤7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由已知，得的判别式：，得m＜﹣1或m＞4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得实数m的取值范围是：（4，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、所以a=c，e==．（2）由题知A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，c=，设B（x，y）．由=2⇔（c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x=，y=﹣，即B（，﹣）．将B点坐标代入=1，得+=1，即+=1，解得a2=3c2．①又由•=（﹣c，﹣b）•（，﹣）=⇒b2﹣c2=1，即有a2﹣2c2=1．②由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．所以椭圆方程为+=1．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．【解答】解：（1）x2=2py，，，p=2，∴x2=4y…（4分）（2），∴k2=t+①，△=16（k2+t）＞0②由①②可知，t∈（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）…（6分）设C（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，∴．∴，代入x2=4y得16k2λ2=4λ（4k2+2t）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵t＞0或t＜﹣8，∴或∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．【解答】解：（1）双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又＜1，∴∠POx=30°，∴=tan 30°=，∴a=b．又a2+b2=22，∴3b2+b2=4，∴b2=1，a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，∴离心率e==．（2）由已知，l：y=（x﹣c）与y=x联立，解方程组得P（，）．设=λ，则=λ，∵F（c，0），设A（x0，y0），则（x0﹣c，y0）=λ，∴x0=，y0=．即A（，）．将A点坐标代入椭圆方程，得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2，等式两边同除以a4，（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），∴λ2=+3≤﹣2 +3=3﹣2=（﹣1）2，∴当2﹣e2=，即e2=2﹣时，λ有最大值﹣1，即的最大值为﹣1．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解（1）∵QC2的垂直平分线交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2＞|C1C2|=2，∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．设这个椭圆的标准方程是，∵2a=2，2c=2，∴b2=1，∴椭圆的标准方程是．（Ⅱ）设M（a1，b1），N（a2，b2），则a12+2b12=2，a22+2b22=2．∵，则a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，∴，，∴直线MN的斜率为．（Ⅲ）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（k2+1）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2++，=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设命题p ：∃1>x ,012>+-x x ，则p ⌝为( )A ．∀1≤x ,012≤+-x xB ．∃1>x ，012≤+-x xC ．∀1>x ，012≤+-x xD ．∃1≤x ，012>+-x x 3 【答案】C .考点：１、特称命题的否定.2.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．34m <<B ．72m >C ．732m <<D ．742m << 【答案】D . 【解析】试题分析：因为方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，所以30m ->且40m ->且34m m ->-，所以742m <<，故应选D .考点：1、椭圆的标准方程.3.已知,a b ∈R ,那么“22a b >”是“||a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】B . 【解析】试题分析：因为a b >，且0b ≥，所以22a b >，即22a b >，所以“22a b >”是“||a b >”的必要条件；反过来，若“22a b >”，则“a b >”，不能推出||a b >，所以“22a b >”是“||a b >”的非充分条件，所以“22a b >”是“||a b >”的必要非充分条件，故应选B . 考点：1、充分条件；2、必要条件.4.已知命题1:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++<成立；2:p 对任意的[]1,2x ∈，210.x -≥以下命题为真命题的是（ ）A. 12p p ⌝∧⌝B. 12p p ∨⌝C. 12p p ⌝∧D. 12p p ∧ 【答案】C .考点：1、特称量词；2、全称量词；3、命题的真假判断. 5.抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．12x =-B ．12x =C ．18y = D ．18y =- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为抛物线22y x =，所以212x y =，所以122p =，即14p =，所以其准线方程为18y =-， 故应选D .考点：1、抛物线的标准方程.6.对任意的实数m ，直线1y mx n =+-与椭圆2241x y +=恒有公共点，则n 的取值范围是（ ）A ．13[,]22B ．13(,)22C ．[D ．⎛ ⎝【答案】A . 【解析】试题分析：因为对任意的实数m ，直线1y mx n =+-恒过定点01(,n )-，因为直线1y mx n =+-与椭圆2241x y +=恒有公共点，所以定点01(,n )-必在该椭圆的内部或椭圆上，即24(1)1n -≤，所以1322n ≤≤， 故应选A .考点：1、直线与椭圆相交的综合问题. 7.已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】B .考点：1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式. 8.下列命题正确的个数是 （ ）①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是真命题； ②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要不充分条件； ③存在实数0x ，使20010x x ++<；④命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题是真命题. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项①，因为“在三角形ABC 中，若sin sin A B >,则A B >”的否命题是：在三角形ABC 中， 若sin sin A B ≤,则A B ≤；因为在三角形ABC 中，应用正弦定理可得，sin sin a b A B =，所以sin sin A aB b=，所以sin 1sin A aB b=≤，所以a b ≤，因为大边对大角，所以A B ≤，所以①是正确的；对于选项②，命题:5q x y +≠ 可推出命题:2p x ≠或3y ≠，即若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠，因为其逆否命题为：若2x =且3y =，则 5x y +=，显然是真命题，所以命题:5q x y +≠可推出命题:2p x ≠或3y ≠，即命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠则p 是q 的必要条件；而命题p 不能推出命题q ，因为当1,4x y ==时，5x y +=，所以p 是 q 的非充分条件；即②是正确的；对于选项③，因为140∆=-<，所以不存在实数0x ，使20010x x ++<，即选项③是错误的；对于选项④，因为022=+-m x x 有实根需满足：440m ∆=-≥，即1m ≤，所以 命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”是假命题，所以命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的 逆否命题是假命题，即选项④是错误的.故应选C .考点：1、命题及其真假判断；2、特称命题；3、全称命题；4、四种命题及其关系. 9.已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ） A.8 B.219 C.10 D.221 【答案】B .考点：1、抛物线的简单几何性质.【思路点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，考查了学生分析问题的能力和数学结合的思想在实际问题中的运用，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据抛物线的方程求得其焦点坐标和准线方程，然后延长PM 交准线于H 点，则PF PH =，进而表示出PM ，于是问题转化为求PF PA +的最小值，再由三角形的两边之和大于第三边可得PF PA FA +≥，最后分析可得当直线FA 与抛物线交于0P 与P 重合时，其取得最小值，进而得出所求的结果.10.设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．430x y ±=【答案】D .考点：1、双曲线的几何性质.11.已知椭圆1C :22221(0)x y a b a b+=>>与圆2C ：222x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A. B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ⎫⎪⎪⎭D. 1,⎫⎪⎪⎭ 【答案】C . 【解析】试题分析：由题意知，如图所示，若在椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则045APO ∠≤，即045sin APO sin ∠≤，即b a ≤，所以c e a =≥，而01e <<，所以椭圆1C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭，故应选C .考点：1、椭圆的简单几何性质.【思路点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆相交的位置关系，渗透着数形结合的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先作出椭圆与直线的草图，然后结合已知条件从图形上找出满足题设所满足的条件即045APO ∠≤，再由三角函数的性质可得出a,b,c 之间的不等式关系，最后由222b a c =-即可得出所求的结果.12.已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．2【答案】A .考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质；3、基本不等式的应用.【思路点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式的应用，考查学生综合运用知识的能力和计算能力，属中高档题.其解题的一般思路为：首先假设出点,,,M N A B 的坐标，然后表示出两直线的斜率及其关系，再由基本不等式并结合椭圆的离心率可得出||||21k k +取得最小值时等号成立的条件，进而得出关于,,a b c 的关系，进而得出所求的结果.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若B A x ∈，则A x ∈或B x ∈”的否命题为_____________________________. 【答案】若,B A x ∉则A x ∉且B x ∉.考点：1、否命题.14.已知命题:p 不等式m x x >-+|1|||的解集为R ”命题:q “x m x f )25()(--=是减函数.”若“p 或q ”为真命题,同时p 且q ”为假命题,则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[)2,1. 【解析】试题分析：对于命题p ，因为不等式|||1|(1)1x x x x +-≥--=，所以1m <；对于命题q ，因为 x m x f )25()(--=是减函数，所以521m ->，即2m <. 又因为“p 或q ”为真命题,同时p 且q ”为假命题， 所以p 、q 为一真一假，所以实数m 的取值范围为[)2,1，故应填[)2,1. 考点：1、逻辑连接词；2、含绝对值不等式的最值；3、指数函数.15.已知双曲线E 的中心为原点, (3,0)F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的 中点为(12,15)N --,则E 的方程为_________________.【答案】22145x y -=.【解析】试题分析：由题意，不妨设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则由(3,0)F 是E 的焦点，所以3c =，所以229a b +=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，所以两式子相减可得：2121221212()()y y b x x x x a y y -+=-+. 因为AB 的中点为(12,15)N --，所以21221245y y b x x a -=-.又因为AB 的斜率为1501123--=--，所以22415b a =，即2245b a =. 将2245b a =代入229a b +=可得，224,5a b ==，所以双曲线的标准方程为22145x y -=，故应填22145x y -=.考点：1、双曲线的标准方程；2、点差法.【思路点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和点差法解决弦的中点问题，考查了学生的计算能力，属 中档题.其解题的一般思路为：首先利用点差法求出直线AB 的斜率，再根据(3,0)F 是E 的焦点，过F 的 直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的中点为(12,15)N --,可建立方程组，解之即可得出所求的双曲线的方 程.其解题的关键是利用点差法求出直线AB 的斜率. 16.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点，已知3=AF ，3CB BF =，则p =___________.【答案】2.考点：1、抛物线的定义；2、相似三角形的性质.【思路点睛】本题主要考查了抛物线的定义和相似三角形的性质，考查了学生综合运用能力和计算能力，属中档题.其解题的一般思路为：首先过,A B 分别作准线的垂线交准线于,E D ，然后由抛物线的定义并结合已知条件3=AF ，3CB BF =可得，3AE =，3CB BF =，且BF BD =，再根据三角形的相似可得所求的答案.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)设命题:p 1x 和2x 是方程220x ax --=的两个根，不等式124m x x -≤-对任意实数[]1,2a ∈恒成立；命题Q ：函数()24323f x x mx m =+++有两个不同的零点.求使“P 且Q ”为真命题的实数m 的取值范围. 【答案】(]47,.考点：1、命题的真假判断与应用；2、二次函数的性质. 18.(本小题满分12分)如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若︒=∠901AB F ，求椭圆的离心率； （2）若B F AF 222=，231=⋅AF ，求椭圆的方程．【答案】（1）c e a ==（2）22132x y +=.考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的简单几何性质.【易错点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，涉及平面向量的基本性质的应用，注意挖掘题意中的条件，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是未能充分运用椭圆的平面几何性质挖掘隐藏条件，即第一问不能有效地将平面几何知识与椭圆的简单几何性质相结合；其二是未能正确地使用平面向量的基本性质对其进行求解. 19.(本小题满分12分)已知“()1,1-∈∃x ，使等式02=--m x x 成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()()02<-+-a x a x 解集为N ，若N x ∈是M x ∈的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-=241m m M ；（2）4149-<>a a 或．考点：1、特称命题；2、二次为函数的值域；3、集合间的基本关系.【方法点睛】本题主要考查了特称命题、二次为函数的值域和集合间的基本关系，考查学生综合运用知识的能力和计算能力，属中档题.对于第一问，其实质上是一个一元二次方程在某个区间上有解的问题，通常有两种方法，其一是考察相应的二次函数的图像零点的分布，其二是运用分离参数转化为求函数的值域问题，由于本题容易分离参数，所以采用的是第二种方法；对于第二问，其实质上就是集合间的基本关系的问题，运用分类讨论的思想进行求解即可.20.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离 为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆()2224x y ++=相切的直线:l y kx t =+交抛物线于不同的两点M N 、，若抛物线上一点C 满足()(0)OC OM ON λλ=+>，求λ的取值范围。
