二次函数与二次方程二次不等式的关系

泰州二中高中数学二轮复习讲义9. 二次函数、二次方程及二次不等式的关系（教案）一.重难点归纳1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ) 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－a b2)=m ,f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m2 二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r abac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)()(q f a p f a3 二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+a b 2|>|β+ab 2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 二．课前预习：1 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A (－∞,2] B [－2,2] C (－2,2] D (－∞,－2)2 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能3 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________4 二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________5 已知实数t 满足关系式33log log aya t a a = (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值1 解析 当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2 答案 C2解析∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0答案A3 解析 只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1∴p ∈(－3,23) 答案 (－3，23） 4 解析 由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0答案－2＜x ＜05 解 (1）由log a33log a ya t t=得log a t －3=log t y －3log t a 由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x (x ≠0)(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43(x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值 ②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16∴所求a =16,x 23 三.典型题例例1已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R )(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法 利用方程思想巧妙转化(1)证明由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2c |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 22222224444()4()b c b ac a c ac a a a a ----=--==22134[()1]4[()]24c c c a a a =++=++∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a cac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)例2已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)例3已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围 解由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2425∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425∴49≤x 25 (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12综上所述,49≤x ≤12四．学生巩固练习1 如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围2 二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证 (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解3 一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案1 解 ∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}2 证明 (1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m pm pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0 (2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解②当p ＜0时同理可证3 解 (1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元(2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+16125 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元同步作业——9. 二次函数、二次方程及二次不等式的关系一、1.D 2.B 3.C 二 、4. 6 5.(－∞,21］ 三、6.(－1,0)7.g (t )=⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≤≤-->+）（2)2()12(0)1()1(22t t t t t g (t )的最小值为0.提示：讨论对称轴x =－1与区间端点t ,t +1的关系. 8.［49,18］。

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1， 或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一 一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52， 则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。

△=0 x1=x2=1
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。