二次函数与二次方程、二次不等式的关系(推荐文档)

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。

bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？ 不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解 不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=， 当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解 对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解 原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解 原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】 课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六 课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。

初中数学知识归纳二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程是数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。

在初中数学的学习中，掌握二次函数与二次方程的关系对于解题和理解数学概念都是至关重要的。

本文将从不同角度归纳分析二次函数与二次方程之间的关系。

一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a≠0。

而二次方程是指具有形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

可以看出，二次函数与二次方程都包含了二次项。

二、图象特点1. 对称性：二次函数的图象是关于抛物线的对称轴对称的。

对于二次方程，其图象是经过顶点的抛物线，也是关于对称轴对称的。

2. 开口方向：若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

对于二次方程来说，若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。

3. 零点：二次函数的零点即为二次方程的解。

三、求解方法1. 根的性质：二次函数的零点对应二次方程的解。

通过二次方程求解，可以得到函数的零点。

2. 相关性质：由二次函数的图象特点可知，若抛物线与x轴有两个交点，则二次方程有两个解；若抛物线与x轴有一个交点，则二次方程有一个解（重根）；若抛物线与x轴无交点，则二次方程无解。

四、应用示例1. 已知二次函数f(x)=2x^2+3x+1，求解f(x)的零点（即求解二次方程）。

解：将f(x)设为0，得2x^2+3x+1=0，通过求解二次方程可以得到x 的值。

2. 已知二次方程x^2-4x+3=0，求解方程的解，并将解代入二次函数y=x^2-4x+7中求函数值。

解：通过求解二次方程可得到x的解为x=1和x=3，将这两个解代入二次函数中可得到对应的函数值。

通过以上归纳分析可以看出，二次函数与二次方程之间有着密切的关系。

通过解析几何和代数解方程两个角度来分析二次函数与二次方程的关系，可以帮助学生更好地理解这两个概念，并且在解题时也能够灵活运用相关性质和求解方法。

二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。

本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。

一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。

二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。

二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。

要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。

二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。

1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。

在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。

2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。

解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。

三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。

1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。

而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。

一元二次方程、二次不等式与二次函数的关系
其实，一元二次方程、二次不等式与二次函数是存在有着密切联系的。

他们之
间互相建立起一种相互联系的关系，联系紧密。

首先，要了解一元二次方程、二次不等式与二次函数的定义，才能更好地了解
它们之间的关系。

一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，一般表示为
ax²+bx+c=0 (a≠0)。

二次不等式是指一个不等于0的二次方程和一个零点的方程
组合出的不等式表达式。

而二次函数是指常数项的系数均为0的二次多项式，表示一般形式为y=ax²+bx+c (a≠0)，可以以y为自变量、x为因变量，在平面直角坐
标系上表示成曲线。

接下来，从数学的角度来考虑一元二次方程、二次不等式与二次函数三者之间
的联系。

一元二次方程可以构成一个二次不等式系统，而二次不等式反过来也可以构成一个一元二次方程系统，由此可见，它们之间是相互转化关系。

二次函数则可以用来描述一元二次方程与二次不等式，得出它们之间是图形联系的。

就如，
y=ax²+bx+c这样的一次函数，可以用来描绘ax²+bx+c=0这一个元二次方程的解，
前者生成的关系图像就是后者的解的图象。

综上所述，一元二次方程、二次不等式与二次函数之间存在着相互联系的关系。

它们彼此可以相互转化，可以印证彼此，也可以从图形上看出关系并求出结果。

只有了解并运用好这些数学概念，我们才能学好数学，更好地把握思维去解决现实生活中的问题。

二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。

(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。

5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。

1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。

二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。