二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。

首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。

与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。

但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。

其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。

一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。

与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。

最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。

一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。

与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。

综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。

深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。

- 1 -。

bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？ 不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解 不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=， 当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解 对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解 原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解 原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】 课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六 课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。

二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数和不等式都是非常重要的知识点。

二次函数是一种数学函数，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

不等式是数学中关系的一种表达方式，用于描述两个数或两个算式之间的大小关系。

本文将对二次函数与不等式的相关知识点进行总结。

1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

其中，a决定了二次函数的开口方向以及抛物线的开口程度，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b和c分别决定了函数图像在x轴和y轴上的平移。

2. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在数轴上表示为(x,y)。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。

3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点并垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/(2a)。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

4. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数值为0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

其中，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。

5. 不等式的基本性质不等式中的关系符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)以及不等于(≠)。

不等式的解是满足不等式的数值范围，可以是实数或整数。

6. 不等式的解集表示不等式的解集可以用区间表示，常见的有开区间、闭区间和半开半闭区间。

例如，表示不等式x>1的解集可以表示为(1, +∞)，表示不等式x≥-2的解集可以表示为[-2, +∞)。

7. 一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有二次项及其系数的一元不等式。

常用的解法包括关于不等式的变形、利用不等式的性质以及绘制函数图像等方法。

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

二次函数与一元二次方程、不等式
1．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或2
0(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，
相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20
(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集
)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集
)0(0
2><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅。

二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数与不等式是非常重要的知识点，它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也常常能帮助我们解决各种问题。

下面就来对二次函数与不等式的相关知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的基本概念二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。

＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。

当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。

＄｜a|＄越大，开口越小。

＄b$和$a$一起决定了对称轴的位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

＄c$是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝ c$。

二、二次函数的图象和性质1、图象二次函数的图象是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，有最高点。

2、顶点坐标顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。

3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄，其中$x_1$和$x_2$是二次函数与$x$轴交点的横坐标四、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）表示两个数或表达式之间关系的式子。

五、一元二次不等式形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$（或< 0、≥ 0、≤ 0）（＄a ＼neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。

《二次函数与一元二次方程、不等式》讲义一、二次函数的基本概念在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。

形如\（y ＝ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ＼neq 0\））的函数就被称为二次函数。

其中，＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a\）被称为二次项系数，＼（b\）是一次项系数，＼（c\）是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线。

当\（a ＞0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴为\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼），顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。

二、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式是\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a ＼neq0\））。

其中，＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）同样是常数。

解一元二次方程的方法有很多种，常见的有配方法、公式法和因式分解法。

配方法是通过配方将方程转化为完全平方式来求解。

公式法则是利用求根公式\（x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼）来计算方程的根。

而因式分解法是将方程左边因式分解为两个一次式的乘积，从而得到方程的解。

三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）与一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋c ＝ 0\）有着密切的联系。

当二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像与\（x\）轴相交时，此时对应的\（y\）值为\（0\），即\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\），交点的横坐标就是一元二次方程的根。

如果抛物线与\（x\）轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不同的实数根；如果抛物线与\（x\）轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程有两个相同的实数根（也称为一个实数根）；如果抛物线与\（x\）轴没有交点，那么对应的一元二次方程没有实数根。

课题二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系教课知识目标理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系，能利用二次函数图像求对应一元二次不等式的解集 .目标能力目标培育学生的识图、画图、用图能力，领会数形联合思想 .感情目标培育学生的勇于研究的精神，体验事物广泛联系的辩证观.教课正确理解三个二次之间的关教课研究三个二次之间关系的过程 .系.要点难点教法讲解法、议论法 .学法课后反应教课环节及内容设计思路一、知识回首复习一元二次不等一般地，我们把含有一个未知数，而且未知数的最高次式的定义，教师发问，学数为二次的整式不等式叫做一元二次不等式．生回想口答 .其一般形式为ax2 bx c 0 或 ax 2 bx c 0此中 a, b,c 为实数，且 a 0.能使一元二次不等式成立的未知数x 值的会合叫作一元二次不等式的解集．二、研究新知1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系察看二次函数 y x22x 3 的图像(如图).当x 1或 x 3 时，函数图像在x轴上方， y 0 ；当x1 或 x 3 时，函数图像在x轴上， y 0；从一个详细的二次函数下手，用“五点法”画出二次函数的草图，经过察看图像，成立相应的一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，进而解决相应的一元二次方程的根和一元二次不等式的解集 .师生合作，以问题串的方式层层解决 .当 1 x 3 时，函数的图像都在x 轴下方，y0.(1)方程x22x 3 0 的解是二次函数y x22x 3 的图像与 x 轴交点的横坐标，即x1 1 ， x2 3 .(2)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3的图像位于x 轴上方部分的点的横坐标x 值的范围，即, 1 U 3,.(3)不等式x22x 3 0 的解集是二次函数y x22x 3 的图像位于x 轴下方部分的点的横坐标x 值的范围，即1,3 .一般地，当 a 0 时，函数 y ax 2bx c ，方程ax 2bx c 0 ，不等式 ax2bx c 0 ， ax2bx c0 之间的关系如表所示 .000学生经过小组合作剖析、沟通，以表格的形式梳理概括三个两次之间的关系，有助于学生的理解 .二次函数y ax2 bx c 的图像( a 0 )一元二次方程ax2bx c0 的根( a 0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c ⋯0的解的会合( a0 )一元二次不等式ax2bx c , 0的解的会合有两个实根有两个相等x x1或 x x2实根无实根( x1x2)x x1x2( , x1 ) U ( , x1) U ( , )( x2 , ) (x1, )(x1, x2 )例 1 是依据一元二次不等式的定义判断一元( , x1 ] U ( , ) 二次不等式 .教师采纳抢[ x2 , ) ( , ) 答的形式来调换学生学习的踊跃性 .[ x1, x2 ] x1( a0 )若a 0 ，将一元二次不等式两边同时乘以 1，进而转变成a 0 的状况解决，但注意不等号要改变方向 .2.例题剖析例 1判断以下式子哪些是一元二次不等式：(1) 2x2 3x 4 0 ；(2) x 3 2 ；x(3) x2 5x 0 ；(4) 2x 2 3x 2 ；(5)x22x 5 0 ；(6) 2x2x 10 .解(1)不是 .(2)不是 .(3)是 .(4)是 .(5)是 .(6)不是 .例 2 写出以下一元二次不等式对应的一元二次方程和二次函数，作出对应二次函数的图像，察看二次函数图像，例 2 和例 3 是在研究写出一元二次不等式的解集．三个二次之间关系的基(1) x2 3x 0 ；(2) x2 2x 1 0 .础上，对详细问题的应用 .解 (1)对应的一元二次方程为x2 3x 0 . 教师指引对二次函数图对应的二次函数为 y x2 3x . 像的察看，要点是依据图像解决不等式的解集，学函数 y x2 3x 的图像如图(1)所示.生议论操作，师生一同总能够看出，二次函数图像在x 轴下方的点的横坐标的范结解题的思路和书写格围为 0 x 3 ，因此一元二次不等式 x2 3x 0 解集为0,3 .式.(1) (2)(2)对应的一元二次方程为x2 2x 1 0 .对应的二次函数为y x2 2x 1.(2)所示．函数y x2 2x 1的图像如图能够看出，二次函数的图像在x 轴上方的点的横坐标的1 ，因此一元二次不等式x2 2x 1 0 的解范围为x 1或x集为,1 U 1, .例 3 写出不等式x2 13x 30 ,0 对应的一元二次方程，作出对应的二次函数的图像，并写出不等式的解集．解对应的一元二次方程为x213x 300 .2对应的二次函数y x 13x30 .函数 y x213x 30 图像如下图.察看图像知不等式的解集为3,10 .三、稳固练习1.判断题(1)二次函数就是一元二次不等式.()(2)假如二次函数y3x22x 5 的图像与x轴没有交点，那么方程 3x22x 5 0 无解.()(3) 如果方程3x2 2x 5 0 无解，那么不等式3x2 2x 5 0 无解. ()(4)不等式x2 4x 5 0 能够转变为 x2 4x 5 0 .()2.写出以下不等式对应的二次函数，作出对应函数的图像，察看函数图像，并写出不等式的解集．(1)x2 2x 3 ⋯0 ；(2)x2 3x 4 0 .练习由学生自行达成，判断由学生口答，解答题请学生板演解题过程，请其余学生增补评论 .经过概括本节所学知识，帮助学生梳理三个二次之间的关系 .学生总结，教师增补 .四、概括小结二次函数的图像分为作图、识图、用图三个层面的要求，而作二次函数的图像又是联系与解决一元二次方程及一元二次不等式问题的“纽带” ，是“数形联合”数学思想方法的重要“载体” .经过本节课能掌握用二次函数的图像解决一元二次方程及一元二次不等式问题 .五、课后作业1.阅读教材章节练习册。

02.二次函数、二次方程与二次不等式教学目标:熟练掌握不含参数的三种“二次”基本题型的解法;通过含参二次不等式的求解讨论,提升思维的严谨性,并强化数形结合意识;通过三种“二次”之间关系的梳理,提升数学抽象素养,逐步形成联系的观点。

教学重点:三种“二次”之间关系的本质认识;含参二次不等式的求解讨论。

一.知识框架二.典型例题【题型一】解不含参数的一元二次不等式例1．解下列不等式:(1)02322>--x x ; (2)0132>++-x x ; (3)01692>++x x ;答案:(1)),2()21,(+∞⋃--∞; (2))6131,6131(+-; (3)}31{-≠x x ; (4)0542>+-x x ; (5)0122≤++x x ; (6)0442≤+-x x 。

答案:(4)R; (5)Φ; (6)}2{=x x 。

【题型二】解一元二次不等式的逆运算例2．(1)写出一个一元二次不等式,使它的解集是(1,3);(2)若不等式0)3()1(222>++--a x a x 的解集是R,求实数a 的取值范围;(3)若不等式052>++b x ax 的解集是}2131{<<x x,解不等式052<-+a x bx 。

答案:(1)0342<+-x x ; (2)(-1,5); (3)}1,6{-<>x x x 或。

【题型三】解含参数的一元二次不等式例3．解下列不等式:(1)05422>--a ax x )0(<a ; (2)0)1(2>--+a x a x ; (3)0222>++ax x ; 答案:(1)),()5,(+∞-⋃-∞a a ;(2)1->a 时,}1,{-<>x a x x 或;1-=a 时,}1{-≠x x ;1-<a 时,}1,{-><x a x x 或;(3)4>a 或4-<a 时,}4,4{∆--<∆+->a x a x x 或; 4±=a 时,}4{a x x -≠; 44<<-a 时,R x ∈。

一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。

本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。

例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。

3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。

其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。

这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。

二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。