二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系
1、 一元二次方程ax 2
＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交
点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2
＋bx ＋c =0（a ≠0）的根；
2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）
与x 轴交点个数情况：①判别式∆②直接看方程③平移
例1：抛物线y=ax 2
＋bx ＋c 图像如下， 则
① ax 2
＋bx ＋c =0的根有 （ ）个
②ax 2
＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个
③ax 2
＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个
x 3-≥a
例
2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2
-x ＋4
1与X
x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717
)
83(2
-=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个；
例4：二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1） 写出方程ax 2
＋bx ＋c =0的两个根；
（2） 写出不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集；
（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；
（4） 若方程ax 2
＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。
3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（
a c
a b x x x x =-=+2121，）
① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x
+-=
22
与X 轴的一个交点是
（－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212
421)
(-=+
例6：若抛物线32
-+=
ax y x
与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a
③ 利用韦达定理求面积：
例7：抛物线m x y x
++=
-22
与X 轴的一个交点是A(3，0）
，另一个交点是B ，且与y 轴交于点C ，
（1）求m 的值；
（2）求点B 的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x>0，y>0），使
s s
ABC ABD
∆∆=，求
点D 的坐标。
例5：已知如图，二次函数2)2(22
++++-=m x m y x
与x 轴于A,B 两点，若
OA:OB=3:1，求m 例6：已知二次函数m x m y x
++-=
)1(2
的图像交x 轴于A(
1，0)、B （2，0）两点，
交y 轴正半轴于点C ，且
10212
2=+x x 。
（1） 求此二次函数的解析式； （） （2） 是否存在过点D(0，2
5
-
)的直线与抛物线交于点M 、N,与x 轴交于E 点，使得M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。
4、 抛物线ax2＋bx ＋c =0与x 轴交点及对称轴之间的关系；
设抛物线与x 轴的交点为A(
x
1
，0)和B （x
2
，0）则对称轴为直线2
2
1
x
x x +=，抛物
线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有
）
，（，，k N k x x M 2
1
)(，则则对称轴为直线2
2
1
x
x x +=
。
例10：已知二次函数m x y x
++-
=22
的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方
程022
=++-
m x x
的解是（ ）
x
5.若二次函数y=(a-2)x^2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴共有两个交点，则a可取( )
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b=-2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、
A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2．
以上说法正确的有（）
A．①②③④B．②③④ C．①②④D．①②③
解析：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N （1，-2），
∴
2＝
a−b+c
−2＝a+b+c
解得b=-2．故该选项正确．
②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴直线MN的解析式为y=-2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当-1＜x＜1时，二次函数图象在y=-2x 的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a=1时，c=-1，∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1
当y=0时，0=x2-2x+c，利用根与系数的关系可得x
1•x
2
=c，
即OA•OB=|c|，
当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，
∴若a=1，则OA•OB=OC2，
故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y
1
=kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝m/x(m＜0)交于A（-2，n）及另一点B，与两坐标轴分别交
