1二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。

⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x =2ab-,。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。

当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。

2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。

Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。

④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。

二次函数与一元二次方程的联系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系。

本文将从几何关系和代数关系两个方面来探讨二次函数与一元二次方程之间的联系。

一、几何关系1. 二次函数的几何意义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

对称轴为x = -b/2a，顶点的纵坐标为c - b^2/4a。

抛物线在对称轴上下方呈现关于对称轴对称的特点。

2. 一元二次方程的几何意义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

它表示抛物线与x轴的交点位置，也就是方程的解。

如果方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个交点；如果方程有一个实数根，则抛物线与x轴有一个切点；如果方程没有实数根，则抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数与一元二次方程的联系：二次函数的图像与一元二次方程的解之间存在着密切的联系。

通过解一元二次方程可以确定二次函数的图像与x轴的交点位置，而通过分析二次函数的图像可以得到一元二次方程的解的情况。

二次函数与一元二次方程的解是一一对应的关系。

二、代数关系1. 二次函数的表达式与一元二次方程：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，将其与y = f(x)进行等价转化，可以得到一元二次方程ax^2 + bx + c = y。

这意味着，我们可以通过二次函数的表达式来推导出一元二次方程。

反过来，已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，将其与y = 0进行等价转化，可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这意味着，我们可以通过一元二次方程来确定二次函数的表达式。

2. 二次函数的性质与一元二次方程的解：二次函数的性质可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。

比如，当二次函数开口向上且顶点在x轴上方时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数开口向下且顶点在x轴下方时，一元二次方程无实数根；当二次函数开口向上且顶点在x轴上时，一元二次方程有一个实数根。

主备:丁玉波审核:姜瑞凤时间: 编号:2209课题22.2.1二次函数与一元二次方程的关系课型自学互学展示课学习目标1、知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.重点二次函数与一元二次方程的关系难点二次函数与一元二次方程的关系一、前置作业问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行______s;（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行______s;（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？二、学一学观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝____0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△______0．三、理一理（1）．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程______________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数的函数值为3的自变量x的值．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；小结：一般地，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y ＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．（2）．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：①当△＝b2－4ac＞0时________________;②当△＝b2－4ac＝0时________________;③当△＝b2－4ac＜0时________________;三、尝试应用1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝____；当y＝0时，x＝_____．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝_____时，y ＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________4．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________。

二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。

前 言一元二次函数是初中数学的重要内容，是初中过渡到高中的衔接点，则它在高中数学中也具有一定地位。

那如何将知识之间的联系与认识上的转变结合起来呢？在学生理解一元二次函数与一元二次方程的联系基础上，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际生活中的一些问题，进一步培养学生综合解题的能力;初步了解运用二分法求一元二次函数与x 轴交点的近似值思想；认识一个新的自变量取值范围,复数域;培养读者自主学习能力和创新能力。

一 一元二次函数与一元二次方程一元二次函数是初中数学的重要内容 ,是初中、高中数学知识的衔接点,是中考中数学的重点考察内容之一,要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质,并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题,合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的[1]。

首先，从其形式上来看：一元二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一元二次方程()002≠++=a c bx ax (其中a 、b 、c 为常数):① 它们都是关于x 的二次式，从上面我们可以看出，0=y 时，便是一个一元二次方 程。

所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式,这是用函数的观点看一元二次方程。

② 条件上，都是在保证0≠a 的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程。

如果 0=a 时,再谈便无意义。

③ 从其表达式上可知道，无论是一元二次函数y 的值，还是一元二次方程的解x 应该都与系数a 、b 、c 有关。

其次，我们还可以从其内涵上来看：① 一元二次方程是求02=++c bx ax 时x 的某确定值，即方程的根。

实质是用a 、b 、 c 来表示x ,如将x 反代入表达式，则c bx ax ++2值为0.② 一元二次函数c bx ax y ++=2是研究变量y 随自变量x 的变化情况，反应的是y 的变化规律。

当x 变化时，y 也随着x 以c bx ax ++2变化。

而当0=y 时，求出方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 。

一元二次方程和一元二次函数的关系
一元二次方程和一元二次函数有着密切的关系。

一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

而一元二次函数的一般形式是y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

可以发现，一元二次函数的方程形式与一元二次方程的形式非常相似，只是将未知数x换成了因变量y。

通过解一元二次方程，可以得到其对应的一元二次函数的图像的特征。

当方程有解时，一元二次函数的图像与x轴有两个交点，即存在两个实数解。

当方程没有实数解时，一元二次函数的图像与x轴没有交点，但是在复数域上有两个解。

此外，一元二次方程的系数a也能反映出一元二次函数的开口方向。

如果a>0，则函数图像开口向上；如果a<0，则函数图像开口向下。

这也可以通过求一元二次函数的导数来得到。

因此，一元二次方程和一元二次函数之间的关系是十分紧密的，二者可以互相转化，通过解方程可以得到函数的图像特征，通过函数的系数可以得到方程的解的情况。

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第7讲 二次函数与一元二次方程【板块一】二次函数与一元二次方程的关系方法技巧(1)二次函数的图象与x 轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根； (2)二次函数的图象与x 轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况．题型一：二次函数的图象与a ，b ，c 之间的联系例1：如图是y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a (c －n )；①一元ニ次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】∵抛物线与x 轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(－2，0)和(－1，0)之间，当x ＝－1时，y ＞0，a －b ＋c ＞0，故①正确；由对称轴12=-ab，b ＝－2a ，3a ＋b ＝3a －2a ＝a ＜0故②不正确：顶点(1，n )，∴n ＝ab ac 442-，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (－m )故③正确；∵抛物线与直线y ＝n只有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n ＝1有两个交点，∴一元二次方程a 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，故④正确，选C ．题型二：方程的解与交点横坐标的对应【例2】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋m 交于A ，B 两点．(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝kx ＋m 的解为 ；(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤kx ＋m 的解集为 ．【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即x 1＝－1，x 2＝2； 结合图象，根据增减性可知，解集为≤－1或x ≥2．题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件【例3】无论x 为何值，二次三项式a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21的値恒为负数，则a 的取值范固是( ) A ．32<<0a B ．0<<32a - C ． 32<-a D ．32-≤a【解析】设y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21，值恒为负，则⎩⎨⎧0<0<△a ，即()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+0<214140<2a a a a ，解得32<-a ，选C ．针对练习11．二次函数y ＝a 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋21(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0．其中正确结论有( B ）A ．①②③B ．①②①C ．①③①D ．②③④ 答案：B第2题图2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋n 的图象如图所示：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝mx ＋n 的解为： ．(2)不等式ax 2＋(b －m )x ＋c －n ＜0的解集为： ． 答案：（1）x 1＝－2，x 2＝1 （2） －2＜x ＜13．二次函数y ＝(m －1)x 2＋2mx －1的图象都在x 轴的下方，求m 的取值范围． 答案：解：⎩⎨⎧0<0<1-△m ，()⎩⎨⎧-+0<1440<1-2m m m 解得251<<251+-+-m 4．无论x 为何值，二次根式()3212++-+m mx x m 恒有意义，求m 的取值范围．答案：解：设y ＝(m ＋1)x 2－2mx ＋m ＋3，则y 恒为非负数，∴⎩⎨⎧≤+00>1△m ，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤++---031421>2m m m m 解得m ≥43-板块二：函数图象的交点与解方程 方法技巧联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关． 少题型一二次函数的图象与x 轴的交点【例1】已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C ．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠3【解析】当k －3＝0时，该函数为一次函数y ＝2x ＋1，其图象与x 轴有交点，当k －3≠0时，该函数为二次函数，△≥0．22－4(k －3)＝0，即k ≤4且k ≠3，综上，当k ≤4时，函数图象与x 轴有交点，故选B ．题型二：二次函数的图象与直线y ＝k (k ≠0)的交点 例2：已知一元二次方程1－(x －3)(x ＋2)＝0有两个实数根x 1，x 2，(x 1＜x 2)，则下列判断正确的是( ) A ．－2＜x 1＜x 2＜3 D ．x 1＜－2＜3＜x 2 C ．－2＜x 1＜3＜x 2 D ．x 1＜－2＜x 2＜3【解析】画出直线y ＝1与ニ次函教y ＝(x －3)(x ＋2)的图象，由图象可知：x 1＜－2＜3＜x 2，故选B ．【注】方程ax 2＋bx ＋c －k ＝0的解，即函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与函数y ＝k 的图象的交点的横坐标．题型三：二次函数的图象与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)的交点【例3】直线AB :y ＝x ＋4与抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m ＋4交于A ，B 两点，试判断AB 的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围．【解析】联立⎩⎨⎧+++-=+=42422m m mx x y x y ，∴x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0． ∴(x －m )(x －m －1)＝0，∴x A ＝m ，x B ＝m ＋1∴BH ＝x A －x B ＝1，AH ＝y B － y A ＝(x B ＋4)－(x A ＋4)＝1在R △AHB 中，AB ＝22BH AH +＝2，即AB 的长不发生支化，其长为2．题型四：分段函数与交点【例4】若函数y ＝b 的图象与函数y ＝x 2－31-x －4x －3的图象恰有三个交点，则b 的值是6或425． 【解析】当x ≥1时，y ＝x 2－7x ，当x ＜1时，y ＝x 2－x －6，结合图象知b ＝一6或425-．题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点【例5】已知抛物线y ＝x 2－mx －3与直线y ＝2x ＋3m 在一2＜x ＜2之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是 ．【解析】∵x 2－mx －3＝2x ＋3m ，，x 2－2x －3＝m (x ＋3)，即直线y ＝m (x ＋3)与抛物线y ＝x 2－2x －3，在一2＜x ＜2有唯一公共点，把(一2，5)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝5，把(2，－3)代入y ＝m (x ＋3)，得m ＝53-，∴53-≤m ＜5，x 2－(m ＋2)x －3－3m ＝0，△＝(m ＋2)2＋12＋12m ＝0，解得m ＝－8－34(舍去)，m ＝－8＋34，综上，53-≤m ＜5或m ＝－8＋34．针对练习21．已知抛物线y ＝(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1(m ＞1)． (1)求抛物线与x 轴的交点坐标；(2)若一次函数y ＝kx －k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式． 答案：(1)y ＝0时，(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0，∴(x －1)[(m －1)x －(m ＋1)]＝0，∴x 1＝1，x 2＝11-+m m ，∴抛物线与x 轴的交点空为(1，0)，(11-+m m ，0)． (2) 联立()⎩⎨⎧++--=-=1212m mx x m y k kx y ，∴(m －1)x 2－(2m ＋k )x ＋m ＋1＋k ＝0， △＝(2m ＋k )2－4(m －1)(m ＋1＋k )＝k 2＋4k ＋4＝(k ＋2)2＝0，∴ k ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋2．2．将二次函邮y ＝2x 2＋4x －6的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y ＝21x ＋b 与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围． 答案：解:A (3，0)，B (1，0)，当直线过A 点时，b ＝23，1322b -<<当直线经过B 点时，b ＝21-． ∴1322b -<<，联立224612y x x y x b ⎧=--+⎪⎨=+⎪⎩得292602x x b ++-= 29=()8(3)02b ∆--=，273=32b ，综上，1322b -<<或27332b >，有两个公共点．3．若直线y ＝2x －5m 与抛物线y ＝x 2－mx －3在0≤x ≤4之间有且只有一个公共点，求m 的取值范围． 答案：联立2253y x m y x mx =-⎧⎨=--⎩得2235x x mx m --=-，即223y x x =--与直线(5)y m x =-在0≤x ≤4有唯一公共点．①把（0，－3）代入(5)y m x =-得35m =，把（4，5）代入(5)y m x =-得m ＝－5， ∴－5≤m ＜35．②当直线与抛物线“相切”时，2(2)530x m x m -++-=，0∆=，∴2(2)4(53)0m m +--=，得8m =-8m =+（舍），综上，－5≤m ＜35或8m =-4．已知关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的图象与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），若2＜m ＜3，则a 的取值范围是____ ___． 答案：当y ＝0时，22(1)=0ax a x a +--，∴（ax －1）（x ＋a ）＝0，∴11x a =，2x a =-，当123a <<时，1132a <<，当2＜－a ＜3时，－3＜a ＜－2，即1132a <<或－3＜a ＜－2．【板块三】二次函数与根与系数的关系方法技巧（1）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于（x 1，0），（x 2，0），则1212,b c x x x x a a+=-=．（2）12||x x -=． 题型一 抛物线截水平线段的长【例1】若点P （1x ，c ），点Q （2x ，c ）在函数243y x x =-+的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，则21261x ax a -++的值为（ C ）A ．－2B ．3C ．5D ．6【解析】∵对称轴为x ＝2，P （1x ，c ），Q （2x ，c ）关于直线x ＝2对称，PQ ＝2a ，∴12x a =-，22x a =+，∴221261(2)(2)615x ax a a a a a -++=--+++=，故选C ．yx【例2】抛物线1121()()4y x x x x =--交x 轴于两点A （1x ，0）B （2x ，0）两点（x 1＜x 2），直线22y x t=+经过点A ，若函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴有且只有一个公共点，则线段AB 的长为（ B ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【解析】22y x t =+经过点A （1x ，0），∴012x t =+，12t x =-，121211211()()22()(8)44y y y x x x x x x x x x x =+=--+-=--+．∵与x 轴有且只有一个公共点，∴有等根，∴128x x =-，∴218x x -=，∴AB ＝8，选B ． 题型二 抛物线斜线段【例3】抛物线21344y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，直线34y kx k =-+与抛物线交于C ，D 两点，求△BCD 面积的最小值．【解析】直线34(3)4y kx k k x =-+=-+，经过定点E （3，4），又B （3，0），∴E B x x =，∴BE ∥y 轴，∴1||2||2BCD BCE BDED C D C S S S BE x x x x =+=-=-△△△，联立2341344y kx k y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得2(44)12130x k x k -++-=，∴44C D x x k +=+，1213C D x x k =-，∴22221()()416166816()642D C D C C D x x x x x x k k k -=+-=-+=-+≥64，∴||D C x x -的最小值为8，∴BCD S △的最小值为16．。