2017-2018学年高中数学选修4-4阶段质量检测二 B卷 含答案 精品

第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在. 跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个.答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值. 解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2， 令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系. 水平方向s相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A 2.已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥2 B.a ＞3 C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).答案 (－1，1)，(1，1) 7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cosθ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________. 解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ，故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0). 设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －a t ＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________. 解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数)要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2)3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1) 4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.答案π6或5π610.在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a ＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .)[预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. 其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角. 2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ. 4.抛物线y 2＝2px的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sinα2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。

章末综合检测(二)1.当k >0时，你能猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k 表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】 猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 表示的变换是将平面图形作沿y 轴方向伸长(k >1)或压缩(0<k <1)或恒等(k ＝1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P (x ，y )，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 的作用下，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ， 横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍.2.若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1，0)，求α的值.【导学号：30650022】【解】由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z ).3.已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程.【解】 由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′).则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0， 得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0. 4.求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式. 【解】 设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎨⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0. 5.切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？ 【解】 设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎨⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把直线x ＋y ＝1变成与y 轴平行的直线x ＝1.6.若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换成曲线x 2－2y 2＝1，求a ，b 的值.【解】 设(x ，y )为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上的任意一点，其在矩阵M 的作用下变换成点(x ′，y ′)，则(x ′，y ′)在曲线x 2－2y 2＝1上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ，即⎩⎨⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，将其代入x 2－2y 2＝1，并整理，得(1－2b 2)x 2＋(2a －4b )·xy ＋(a 2－2)y 2＝1，比较系数得⎩⎨⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0.7.点(2，2x )在旋转变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 的作用下得到点(y ，4)，求x ，y ，m ，n .【导学号：30650023】【解】因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 是旋转变换矩阵，所以m ＝－32，n ＝12.由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 4， 所以⎩⎨⎧1－3x ＝y ，3＋x ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4－3，y ＝4－4 3 . 8.二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M ；(2)直线l ：2x ＋3y ＋1＝0在变换T 作用下得到什么图形？说明理由. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则由题设得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎨⎧a －b ＝1，c －d ＝1，－2a ＋b ＝1，－2c ＋d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，c ＝－2，d ＝－3.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3.(2)设P (x ，y )是l ：2x ＋3y ＋1＝0上任一点P ′(x ′，y ′)是对应的点，则由 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －3y －2x －3y ， 得⎩⎨⎧x ′＝－2x －3y ，y ′＝－2x －3y ，即2x ＋3y ＝－x ′＝－y ′. 又2x ＋3y ＋1＝0，所以x ′＝y ′＝1. 故在l 在变换T 作用下变为点(1，1).9.求直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【解】⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222.设直线y ＝－2x ＋1上任意一点为(x 0，y 0)，其在旋转变换作用下得到点(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝22（x 0－y 0），y ′0＝22（x 0＋y 0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22（x ′0＋y ′0），y 0＝－22（x ′0－y ′0）.因为点(x 0，y 0)在直线y ＝－2x ＋1上，所以2x 0＋y 0－1＝0，所以2×22(x ′0＋y ′0)－22(x ′0－y ′0)－1＝0，整理得22x ′0＋322y ′0－1＝0.所以直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是22x ＋322y －1＝0.10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD ，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M .该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【导学号：30650024】图1【解】 由题设知AC ∶BD ＝3∶1.若只变换A ，C 两个顶点，则应把A ，C 两个顶点的横坐标压缩为原来的33，纵坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 0 0 1；若只变换B ，D 两个顶点，则应把B ，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.所以满足条件的变换矩阵M 为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003.。

阶段质量检测(四) 模块综合检测 (时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b2．t ，s ∈R ＋，A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t 7＋t ，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定3．已知函数f (x )、g (x )，设不等式|f (x )|＋|g (x )|<a (a >0)的解集是M ，不等式|f (x )＋g (x )|<a (a >0)的解集为N ，则集合M 与N 的关系是( )A ．N MB ．M ＝NC ．M ⊆ND ．M N4．已知θ∈R ，则42＋sin 2θ＋2cos θ的最大值是( ) A ．23 B ．3 6 C.63D. 65．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)6．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．则下列不等式成立的是( ) A ．(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θB ．(a ＋b )2≥a 2cos 2θ＋b 2sin 2θC ．a 2＋b 2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θD ．(a ＋b )2<a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ7．(安徽高考)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或88．当x >1时，不等式a ≤x ＋1x －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]9．若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋22B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值610．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________． 12．(广东高考)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________________．13．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________________．14．设正数a ，b ，c 的乘积abc ＝1，1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知a ，b 是不相等的正实数． 求证：(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．(本小题满分12分)若a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n ，求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n ·b 1＋b 2＋…＋b n n.17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．18.(本小题满分14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．答 案1．选C A 项中a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )， 由a <b 知a －b <0.但a ＋b 的符号不确定，故A 项错误． B 项中，ab 2－a 2b ＝ab (b －a )， 由a <b 知b －a >0，但ab 的符号不确定，故B 项错误． C 项中，1ab 2－1a 2b ＝1ab ⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝a －ba 2b 2，由a <b 知a －b <0，又已知a ，b 为非零实数， ∴1ab 2－1a 2b <0，即1ab 2<1a 2b. D 项中，b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，由于a ＋bab的符号不确定，故D 项错误．2．选B B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t ＝A .3．选C 由绝对值不等式的性质知|f (x )＋g (x )|≤|f (x )|＋|g (x )|， ∴集合N 与集合M 成M ⊆N 关系．4．选B 由42＋sin 2θ＋2cos θ≤42＋(2)2·()2＋sin 2θ2＋cos 2θ＝3 6.当且仅当4cos θ＝2(2＋sin 2θ)，即sin θ＝±63，cos θ＝33时，等号成立，故选B.5．选D 由题意不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．选A 设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ≤⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， 所以(a ＋b )2≤a 2cos 2＋b 2sin 2.7．选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1 ＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a 2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.8．选D a ≤x ＋1x －1，由x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥3，即x ＋1x －1的最小值为3.9．选B 由题知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x 2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立．10．选B y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x ≥216＝8，当且仅当x ＝2＋3时等号成立．11．解析：(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. 答案：212．解析：当x <－2时，原不等式即1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式即x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x ≤－3或x ≥2}．答案：{x |x ≤－3或x ≥2}13．解析：由题得|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|，∴|a －2|≥1，解得a ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)14．解析：设a ＝1x ，b ＝1y ，c ＝1z ，则xyz ＝1，则1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )可化为xy ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ，不妨设x ≥y ≥z ，则1y ＋z ≥1z ＋x ≥1x ＋y ， 据排序不等式得x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥z ·1y ＋z ＋x ·1z ＋x ＋y ·1x ＋y ， x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥y ·1y ＋z ＋z ·1z ＋x ＋x ·1x ＋y ， 两式相加并化简可得2⎝⎛⎭⎫x y ＋z ＋y z ＋x ＋zx ＋y ≥3.即x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ≥32. 即1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )≥32.所以1a 2(b ＋c )＋1b 2(c ＋a )＋1c 2(a ＋b )的最小值为32.答案：3215．证明：因为a ，b 是正实数， 所以a 2b ＋a ＋b 2≥33a 2b ·a ·b 2＝3ab >0，当且仅当a 2b ＝a ＝b 2，即a ＝b ＝1时，等号成立；同理：ab 2＋a 2＋b ≥33ab 2·a 2·b ＝3ab >0， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )≥9a 2b 2， 当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．因为a ≠b ，所以(a 2b ＋a ＋b 2)(ab 2＋a 2＋b )>9a 2b 2.16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n 组式子成立： a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ， a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1， ……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≥a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个不等式叠加后，两边同除以n 2，即得欲证的不等式．17．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，所以a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，所以a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，所以a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， 所以a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．(2)当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1. 所以2a k ＋1＝2＋a k ，所以a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上可得a n ＝2n －12n －1(n ∈N ＋)．。

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.2．函数y ＝11－cos x的导数是________．3．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f xex＞2的解集为________．7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.8．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.11．对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)a t－(t－1)a s＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是：____________________________________.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由．答 案1．解析：2－2i1＋i ＝－2＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i 2．解析：y ′＝－cos x －－cos x－cos x2＝－sin x －cos x2.答案：y ′＝－sin x －cos x23．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1) 6．解析：令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝fx －f xex＞0，∴g (x )为增函数．由f xex＞2得f xex＞fe，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0.答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b－＝－a ＋b ＋，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tt t －1s＝112．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.答案：42713．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1－x 2d x 22＝834＝23. 答案：2315．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.当a <－1时，列表：⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.18．解：推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)f b －f a b －a ＝ln b －ln a b －a ＝lnb a b －a ，要比较lnba b －a 与2a ＋b的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较ln b a 与b －a a ＋b 的大小．∵ln ba－b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫ba －1ba＋1，构造函数φ(x )＝ln x －x －x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x－4x ＋2＝x －2x x ＋2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －x －x ＋1＞0.则有ln b a ＞b －a b ＋a成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b成立．即得f b －f a b －a ＞2a ＋b .∴f b －f a 2＞b －ab ＋a.。

阶段质量检测(二) A卷（本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为错误!(t为参数）,则下列点中在曲线上的是（)A．(1，1) B．（2，2)C．(0,0）D．(1,2）解析:选C 当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0，0)在曲线上．2．（北京高考）曲线错误!（θ为参数)的对称中心（)A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上解析:选B 曲线错误!（θ为参数）的普通方程为（x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心（－1,2）为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.3．直线l的参数方程为错误!(t为参数），l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b）之间的距离是（)A．｜t1| B．2｜t1|C.错误!｜t1｜D。

错误!|t1|解析：选C ∵P1（a＋t1，b＋t1），P（a,b），∴|P1P｜＝错误!＝错误!＝错误!|t1｜。

4．已知三个方程:①错误!②错误!③错误!（都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ）A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：选B ①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.5．参数方程错误!(t为参数）所表示的曲线是( ）A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线解析:选B 因为x＝t＋错误!∈(－∞,－2]∪［2,＋∞)，即x≤－2或x≥2，故是两条射线．6．已知曲线C的参数方程为错误!(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M（14，a)在曲线C上,则a＝( ）A．－3－5错误!B．－3＋5错误!C．－3＋错误!错误!D．－3－错误!错误!解析：选A ∵（14，a)在曲线C上，∴错误!由①得：cos θ＝错误!,又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－错误!＝－错误!，∴tan θ＝－错误!.∴a＝5·(－错误!)－3＝－3－5错误!.7．直线错误!(t为参数)上与点P（－2，3）的距离等于错误!的点的坐标是( )A．(－4,5）B．（－3，4)C．（－3，4）或(－1，2) D．（－4,5)或（0,1）解析:选C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得错误!·|t|＝错误!,解得t＝±错误!，将t代入原方程，得错误!或错误!所以所求点的坐标为（－3，4）或（－1，2)．8．若圆的参数方程为错误!（θ为参数），直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( ）A．过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析:选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上．9．设F1和F2是双曲线错误!（θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上,且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是( )A ．1B.错误! C ．2 D ．5解析：选A 方程化为普通方程是错误!－y 2＝1，∴b ＝1。

课时跟踪检测(四) 直线的极坐标方程一、选择题1．在极坐标系中,过点（1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（）A．ρ＝cos θB．ρ＝sin θC．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1解析：选C 设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1,即为此直线的极坐标方程．2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( ）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析:选A 两边同乘ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0。

即7x＋2y＝0，表示直线．3．(陕西高考）在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A．θ＝0（ρ∈R）和ρcos θ＝2B．θ＝错误!(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝错误!(ρ∈R）和ρcos θ＝1D．θ＝0（ρ∈R）和ρcos θ＝1解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1）2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝错误!(ρ∈R ）和ρcos θ＝2.4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin （）θ－π4＝2，点A 的极坐标为A 错误!，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．2B 。

错误! C.错误!D.错误!解析：选D 由2ρsin 错误!＝错误!,得2ρ错误!＝错误!，∴y －x ＝1.由点A 的极坐标为错误!得点A 的直角坐标为（2，－2)，∴d ＝错误!＝错误!.二、填空题5．把极坐标方程ρcos 错误!＝1化为直角坐标方程是________________________．解析:将极坐标方程变为错误!ρcos θ＋错误!ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为错误!x ＋错误!y ＝1， 即3x ＋y －2＝0。

答案:错误!x＋y－2＝06．在极坐标系中，过点错误!作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是________．解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程,得x2＋y2＝4y,即x2＋（y－2）2＝4，将点的极坐标错误!化为直角坐标为（2，2),由于22＋(2－2）2＝4，点(2,2）与圆心的连线的斜率k＝错误!＝0,故所求的切线方程为y＝2，故切线的极坐标方程为ρsin θ＝2。

第二章参数方程复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．参数方程化为普通方程的易错点将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致．2．圆锥曲线中的三点注意事项(1)注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆．(2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x(或y)的变化．(3)利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值．3．关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式．4．圆的渐开线和摆线的两个易错点(1)对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误．(2)弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误.专题一求曲线的参数方程用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．[例1] 过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，设A 、B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．解：设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1，消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0. 所以y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，得y ＝2t 1＋t 2.x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0，得t 2>3.所以M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数且t 2>3)．归纳升华求曲线参数方程的五步1．建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； 2．写出适合条件的点M 的集合；3．选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程； 4．将方程化为最简形式；要注O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32(t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0，4)，圆C 的半径为4， 所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，所以直线l 与圆C 相离． 专题二 参数方程及其应用(1)求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．(2)能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．[例2] 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．(1)若α＝π4，求曲线C 2的普通方程，并说明它表示什么曲线；(2)曲线C 1和曲线C 2的交点分别记为M ，N ，求|MN |的最小值． 解：(1)因为α＝π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，所以x －1＝y ＋1，所以曲线C 2的普通方程是y ＝x －2，它表示过点(1，－1)，倾斜角为π4的直线．(2)曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)代入x 2＋y 2＝4中得(1＋t cos α)2＋(－1＋t cos α)2＝4，所以t 2＋2(cos α－sin α)t －2＝0，设t 1，t 2为方程的两个根，则有 |MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝ 4（cos α－sin α）2＋8＝12－4sin 2α， 所以当sin 2α＝1时，|MN |的最小值为2 2.归纳升华1．曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参，可以通过加减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的等价性．2．把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想．3．求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时，使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题．4．直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的几何意义．[变式训练] 直线l 过点P 0(－4，0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， 所以切线长|P 0T |＝3.专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化．一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题．在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现．[例3] 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.归纳升华1．先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论．2．参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．3．解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决．[变式训练] (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时点P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因为曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， 又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 专题四 数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较强的综合性．加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节．[例4] 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝y 2＝2px ，则抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为直如图，不妨令M 的坐标为(3，6p )，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，6p . 因为|EF |＝|MF |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋（－6p ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－32＋（－6p ）2，化简得p 2＋4p －12＝0，因为p >0，所以p ＝2. 答案：2归纳升华1．化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程．2．根据两点距离的定义，得关于p 的方程，从而求得p 值，再结合抛物线的图象，确定p 的范围，体现了转化与数形结合思想的应用．[变式训练] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)， 设点P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. 又由(1)中，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.从而点P 的轨迹为圆心在原点、半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为22.。

课时跟踪检测(六) 球坐标系一、选择题1．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π6，π3，则它的方位角为( ) A.π3 B.3π4 C.π2D.π6解析：选A 由球坐标的定义可知选A.2．设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π，2，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5 π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5 π4，π4D.⎝⎛⎭⎪⎫2，3 π4，π4 解析：选B 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos5 π4，y ＝2sin 5 π4，z ＝2，故⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝ 2.设点M 的球坐标为(ρ，φ，θ)．则ρ＝－2＋－2＋22＝2，由2＝2cos φ知φ＝π4.又tan θ＝－1－1＝1，故θ＝5 π4，故点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5 π4. 3．点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π，则它的直角坐标为( ) A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0) 解析：选D x ＝r sin φcos θ＝1·sinπ2·cos π＝－1， y ＝r sin φsin θ＝1·sin π2·sin π＝0， z ＝r cos φ＝1·cos π2＝0.∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4C.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析：选B 由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4. ∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝5π4.∴M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4. 二、填空题5．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标． 答案：(－2,2,22) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 6．在球坐标系中，方程r ＝1表示________． 解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状． 答案：球心在原点，半径为1的球面 7．在球坐标系中A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________． 解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1,1，2)，B (－1,1，－2)． ∴|AB |＝[1－－2＋－2＋[2－－22＝2 3.答案：2 3三、解答题8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3；(2)⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，π. 解：(1)x ＝4sinπ2cos 5π3＝2，y ＝4sin π2sin 5π3＝－23， z ＝4cos π2＝0，∴它的直角坐标为(2，－23，0)． (2)x ＝8sin3π4cos π＝－42， y ＝8sin3π4sin π＝0，z ＝8cos 3π4＝－42， ∴它的直角坐标为(－42，0，－42)． 9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM |＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ，设M 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，φ，θ)表示．∴点M 的球坐标为：M (R ，φ，θ)．10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0.。

学业分层测评(四) (建议用时：45分钟)一、选择题1.在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρsin θ＝－2B.ρcos θ＝－2C.ρsin θ＝2D.ρcos θ＝2【解析】 过点⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2与极轴平行的直线为y ＝－2，即ρsin θ＝－2. 【答案】 A2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C.(1,0)D.(1，π)【解析】 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.【答案】 B3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )【导学号：12990013】A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【解析】 ∵方程(ρ－1)(θ－π)＝0， ∴ρ＝1或θ＝π，ρ＝1为半径是1的圆，θ＝π是一条射线. 【答案】 C4.曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋(y ＋2)2＝4 B.x 2＋(y －2)2＝4 C.(x －2)2＋y 2＝4D.(x ＋2)2＋y 2＝4【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4y ， ∴x 2＋(y －2)2＝4. 【答案】 B5.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1. 故左切线为θ＝π2或3π2.右切线满足cos θ＝2ρ⇒ρcos θ＝2，即切线方程为θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.【答案】 B 二、填空题6.圆ρ＝2cos θ的半径是________.【解析】 ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ， (x －1)2＋y 2＝1， ∴r ＝1. 【答案】 17.在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________. 【解析】 ∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 又θ＝π6，∴直线方程y ＝33x . 由点到直线的距离公式有d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1＝ 3. 【答案】 38.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 【答案】22三、解答题9.在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值.【解】 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.10.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.【解】 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)， 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ 2 2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1.在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )【导学号：12990014】A.4B.7C.2 2D.2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得，切线长为 23 2＋ 2－2 2－22＝22，故选C. 【答案】 C2.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l 的距离为( )A. 2B.22C.2－22D.2＋22【解析】 由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－2，y ＝ρsin θ＝2sin3π4＝ 2.即直角坐标为(－2，2).所以点到直线的距离为|－2＋2－1|2＝22，选B.【答案】 B3.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.【解析】 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.【答案】 34.在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求|PQ |的最大值.【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.。

阶段质量检测（二）(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：选C 当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上．2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：选B 圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0)C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ参数θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则曲线C ( )A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝12y －1，∴x 24＋14(y －1)2＝1，整理得x 2＋(y －1)2＝4，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得0≤x 2≤1，－1≤12(y －1)≤1，∴0≤x ≤2，－1≤y ≤3，∴曲线C 表示半个圆，故选D.5．将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝16 B ．x 2＋y 2＝16(x ≥4) C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝16(x ≥4)解析：选D 在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)中，分别将x 及y 平方作差，得x2－y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫4t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －1t 2＝16t ＋8t ×1t ＋1t －⎝⎛⎭⎪⎫16t －8t ×1t＋1t ＝16，由x ＝4t ＋1t≥24t ×1t＝4，得x ≥4，故曲线的参数方程化成普通方程为x 2－y 2＝16(x ≥4)．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：选D 由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－22＝2 2.7．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，消去参数θ，得x ＝2(1－y )，即x ＋2y －2＝0， 由x ＝2cos 2θ得0≤x ≤2，∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．8．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为( )A ．(1,0)，(0，－2)B ．(－1,0)，(0,1)C ．(0，－1)，(1,0)D ．(－3,0)，(0,3)解析：选D 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)消去参数t ，得x －y ＋3＝0，令x ＝0，得y ＝3；令y ＝0，得x ＝－3. ∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．9．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φ＋φsin φ，y ＝rsin φ－φcos φ(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：选 D 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝rcos φ＋φsin φ，①0＝r sin φ－φcos φ，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.10．已知点(x ，y )满足曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)，则y x的最小值是( )A.32B.32C. 3D ．1解析：选D 曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以2为半径的圆，∴y x表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，yx取最小值， 设过原点的切线方程为y ＝kx ， 则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离d ＝|4k －6|k 2＋1＝2，即7k 2－24k ＋17＝0， 解得k ＝1或k ＝177，∴yx的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程． 答案：y ＝±2x12．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4t ，y ＝－2＋3t (t ∈R ，t 为参数)，则直线l 在y 轴上的截距是________．解析：令x ＝0，可得t ＝1，y ＝1，∴直线l 在y 轴上的截距是1. 答案：113．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)化成普通方程为x －3y＋1＝0，ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，也即(x ＋2)2＋y 2＝4，表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆．∴圆C 的圆心到直线l 的距离为|－2＋1|1＋3＝12.答案：1214．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，设点P 是曲线C 上的一个动点，则P 到直线l 的距离d 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，则d ＝|32＋cos θ－sin θ＋23|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋432，因为θ∈R ，所以d 的取值范围是[23－1,23＋1]．答案：[23－1,23＋1]三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.所以实数a 的取值范围为[－25，25]．16．(本小题满分12分)已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求AB 的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离．解：(1)把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)代入曲线方程并化简得7t 2＋6t－2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27.|AB |＝32＋－42|t 1－t 2|＝5t 1＋t 22－4t 1t 2＝10237.(2)根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37.所以点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离为32＋－42·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－37＝157. 17．(本小题满分12分)设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过定点P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y＋4－3k ＝0，因为直线l 与圆C 交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，即ρ(sin θ＋3cos θ)＝3 3. 设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2sin θ2＋3cos θ2＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.又θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2.。