北京海淀北方交大附2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题(原卷版)

2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．（4分）方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），43．（4分）若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣14．（4分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，2，﹣3）D．（1，2，3）5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（4分）实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）双曲线=1的渐近线方程是．10．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为．11．（4分）已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是（真命题/假命题）．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为．13．（4分）已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为．14．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l 的方程．16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率==1．故选：A．【点评】本题考查了直线斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故选：C．【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程．3．（4分）若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，∴=﹣1，解得a=4．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（﹣1，2，﹣3）D．（1，2，3）【分析】点（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c）．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）．故选：D．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．5．（4分）已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C 中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．（4分）“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题．7．（4分）一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD 是矩形．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（a﹣1，a），化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ，由图可知，当直线y=2x﹣μ过A时，直线在y轴上的截距最大，μ有最小值为：2（a﹣1）﹣a=﹣4，即a=﹣2．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．10．（4分）已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为6．【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得△PF1F2的周长．【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．11．（4分）已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是假命题（真命题/假命题）．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，写出原命题的否定，进而可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，∴￢p：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1时，恒成立，故￢p为假命题，故答案为：假命题【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全称命题，难度不大，属于基础题．12．（4分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为﹣1．【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性质能求出a．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查空数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．13．（4分）已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为1．【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．14．（4分）如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面ABC的线段m，故线段m过△ABC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，求圆M的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用|DE|=2，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=2，E=0，F=﹣3…（3分）故圆M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=…（5分）此时|MN|==1．…（6分）当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意…（7分）当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，…（8分）解得：k=，…（9分）故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…（10分）综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）AB的斜率为1时，l：y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0，求出|AB|，点M到直线AB的距离，即可求△ABM的面积；（Ⅱ）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，由MA⊥MB，求得k值，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意F（1，0），当AB的斜率为1时，l：y=x﹣1 …（1分）代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8，…（3分）点M到直线AB的距离d==2…（4分）∴△ABM的面积S==8；…（5分）（Ⅱ）易知直线l⊥x时不符合题意．可设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4∵MA⊥MB，=（x1﹣5，y1），=（x2﹣5，y2），∴=x1x2﹣5（x1+x2）+25+y1y2=22﹣5×（2+）=0，∴k=．…（9分）故L的方程为y=（x﹣1）…（10分）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB ﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（3分）（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…（4分）∴D（），=（﹣）．…（5分）平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）．…（11分）记二面角D﹣AB﹣C的大小为α，则cosα==，∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，e==，即可求得椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，由向量的共线定理求得y2=﹣2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…（3分）椭圆的离心率e==；…（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…（5分）整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1•y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1•y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0 …（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…（5分）可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1•x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．。

对外经贸大学附中2016-2017学年二年级第一学期期试卷理科数学一、选择题：（每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的选项，请把正确的选项填在题后的括号内．1. 圆的圆心坐标和半径分别是（）．A. ，B. ，C. ，D. ，2. 命题，的否定为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，3. 若命题“且”为假，且“”为假，则（）．A. 或为假B. 为假C. 为真D. 为假4. 下列命题中，正确的个数是（）．①梯形的四个顶点在一个平面内；②四条线段首尾相连构成平面图形；③一条直线和一个点确定一个平面；④两个不重合的平面若有公共点，则这些公共点都在一条直线上．A. B. C. D.5. 直线与圆的位置关系是（）．A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定6. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）．A. ，，则B. ，，，，则C. ，，则D. 当，且时，若，则7. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可以为（）．A. B. C. D.8. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（）．A. B. C. D.9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）．......A. 与是异面直线B. 平面C. D. 平面10. 在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（）．A. 个B. 个C. 个D. 无数个二、填空题：（每小题5分，共30分）把正确答案填写在题中的横线上．11. 已知直线，，平面，且，则是的__________条件．12. 命题“若或，则”的否命题为__________．13. 一个四棱锥的底面为矩形，其正视图和俯视图如图所示，则其体积是__________；侧俯视图的面积是__________．14. 点是圆的弦的中点，则直线的方程是__________．15. 已知圆的方程，点，则圆上所有点中到点的最远距离是__________．16. 已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，为切点，若四边形的最小面积为则此时线段的长为__________；实数的值是__________．三、解答题（共40分）要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分．17. 如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：（I）平面．（II）平面．18. 已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19. 正方体的棱长为，是与的交点，为的中点．（I）求证：直线平面．（II）求证：平面．（III）二面角的余弦值．20. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，且，，点是中点．（I）证明：平面．（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．（III）判断线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。

北医附中2016-2017学年高二年级第一学期期中练习数学（文）1. 已知圆锥曲线的方程为．（）在所给坐标系中画出圆锥曲线．（）圆锥曲线的离心率__________．（）如果顶点在原点的抛物线与圆锥曲线有一个公共焦点，且过第一象限，则（i）交点的坐标为__________．（ii）抛物线的方程为__________．（iii）在图中画出抛物线的准线．（）已知矩形各顶点都在圆锥曲线上，则矩形面积的最大值为__________．【答案】（）见解析（）（）（i）（ii）（iii）见解析（4）面积最大值【解析】（）将变形为，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标，然后进行描点作图，再利用对称性画出整个椭圆（2）∵∴∴∴∴圆锥曲线的离心率是（3）（i）由（2）得椭圆的焦点在轴上，且∵顶点在原点的抛物线与圆锥曲线有一个公共焦点，且过第一象限∴（ii）由（i）得抛物线的焦点为，且过第一象限，所以抛物线的方程为（iii）由（ii）得抛物线的准线方程为（）∵圆锥曲线为，，，，∴离心率，公共焦点，对于抛物线：，∴，∴方程为，准线为，设矩形上点，∴，当时，即时为面积最大值．2. 已知方程．（）若已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________．（）语句“”是语句“方程”表示双曲线的（_____________）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充在条件D．既不充分也不必要条件（）根据（）的结论，以“如果那么”的形式写出一个正确命题，记作命题，则命题：__________．（）套用量词命题的格式：“，”或“，”，改写（）中命题，表述形式为：__________．（）写出（）中命题的逆命题，记作命题，则命题：__________．（）判断（）中命题的真假．．，并陈述判断理由．命题为__________命题，因为__________．（）若已知方程表示椭圆，则该椭圆两个焦点的坐标分别为__________．【答案】(1). (1)(2). (2)A(3). (3)如果，那么方程表示双曲线(4). (4)如果，那么方程表示双曲线(5). (5)如果方程表示双曲线，那么(6). (6)假；(7). 当取时，方程也能表示双曲线，但(8). (7)【解析】（）若方程表示椭圆，则有，，解得．（）若该方程表示双曲线，则，解得，∵集合集合，故“”是方程“表示双曲线”的充分不必要条件．（）若已知方程代表椭圆，则有，，，∴该椭圆两个焦点为，，焦点在轴上．3. 已知，如图，，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径依次为，，，按“加”依次递增，点是某两圆的一个交点，设：以，为焦点，且过点的椭圆为；以，为焦点，且过点的双曲线为，则（）双曲线离心率__________．（）若以为轴正方向，线段中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为__________．（3）双曲线渐近线方程为__________．（4）在两组同心圆的交点中，在椭圆上的点共__________个．【答案】(1). （1）(2). （2）(3). （3）(4). （4）【解析】（1）由图可知，在双曲线中，其离心率，（2）（i）在椭圆中，，∴，∴椭圆的方程为，（ii）∵双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，（3）∵椭圆上的各点到、的距离之和为定理．由图可知共个点满足题意．4. 完成下列有关导数基本运算及应用问题（）函数在处的导数__________．（）曲线在处的切线方程为__________．（）函数的导函数为__________．（）函数，的导函数为__________．（5）函数的单调递增区间为__________．（6）三次函数在内是减函数，则实数的取值范围是__________．【答案】(1). （1）(2). （2）(3). （3）(4). （4）(5). （5）(6). （6）【解析】（），．..................（），令，，切点为，∴切线方程为．（），．（），令，∴，解是．（），在恒成立，∴．5. 已知函数，则（）函数定义域为__________．（）函数导函数为__________．（）对函数单调研究如下____（）设函数则函数的最大值为__________．（5）函数极值点共__________个，（6）其中极小值点有__________个．（7）若关于的方程恰有三个不相同的实数解，则的取值范围为__________．【答案】(1). （1）(2). （2）(3). （3）极小值极小值(4). （4）(5). （5）4(6). （6）2(7). （7）【解析】（1）由题意得，所以函数的定义域是（2）∵∴（3）由（2）得令，即，解得或1令，解得或令，解得所以有极小值（4）∵，令，解得或，令解得或，在和单调递增，令解得，在单调递减，当时，极大值，当时，极小值，又∵图象如图，由图可知，当时，，且共有个极值点，其中有个极小值点，关于的方程恰有个不同的解．6. 已知函数在与时都取得极值．（）求，的值及函数的单调区间．（）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（）或．【解析】试题分析：（1）由题已知与时都取得极值可得从而获得两个方程，可求出的值，再由导数可求出函数的单调区间；（2）由（1）且，求恒成立问题，可运用导数求出函数的最值，即：，可解出的取值范围。

北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、<b >填空题：</b>9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、<b >解答题：</b>15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。

2017北京二中高二（上）期中数 学（理）一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1．抛物线216y x =的焦点坐标为（ ）．A ．(8,0)B ．(4,0)C ．(0,8)D ．(0,4)2．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②m m αββα⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；③m m ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥∥；④m n m n αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥． 其中正确的命题是（ ）．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④3．若方程2214x y m m+=−表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．02m <<C ．24m <<D ．2m >4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）．A ．10πB ．7πC ．13π3D ．7π3俯视图侧左()视图正主()视图22235．椭圆22:416C x y +=的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（ ）．A ．8，4，(23,0)±B ．8，4，(0,23)±C ．4，2，(23,0)±D ．4，2，(0,23)± 6．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）．A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．180︒7．抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ）． A ．3B ．33C ．27D ．32 8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．63π++B ．623π++C ．1834π++D ．1823π++正视图侧视图俯视图22221359．双曲线2212x y m m−=的一个焦点坐标为(3,0)，则双曲线的实轴长为（ ）． A ．3 B ．23 C ．26 D ．610．已知椭圆C 的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的2倍，抛物线28y x =−的焦点与椭圆C 的一个顶点重合，则椭圆C 的标准方程为（ ）． A ．2214x y +=B ．221416x y +=C ．221164x y +=或2214y x +=D ．2214x y +=或221416x y += 11．点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>渐近线的距离为1，则双曲线的离心率等于（ ）．A ．2B ．43C ．233D ．412．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α与β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α与β都平行于γ； ③存在直线l α⊂，直线m β⊂，使得l m ∥． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．2222左视图()主视图()4214．已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y −+=，当实数m 在闭区间[3,3]−内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（ ）．A ．1，2，1，0，1，2，1B ．2，1，0，1，2C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，1二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）15．双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(2,0)−和(2,0)，且经过点(2,3)P −，则双曲线的标准方程是__________．16．如图在正三角形ABC △中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC △沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的大小为__________．JIF E C BA HG D17．从正方体1111ABCD A B C D −的8个顶点中任意选择3个点，记这3个点确定的平面为α，则垂直于直线1AC 的平面α的个数为__________． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2．18．已知椭圆222:1(40)16x y C b b +=>>的左右焦点为1F ，2F ，离心率为32，若P 为椭圆C 上一点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于__________．19．抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 20．如图，正方体1111ABCD A B C D −中，N 为面1111A B C D （包括边界）内一动点，当点N 与1B 重合时，异面直线AN 与1BC 所成的角的大小为__________；当点N 在运动过程中始终保持AN ∥平面1BDC ，则点N 的轨迹是__________．CN D 1C 1B 1A 1三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD −的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．FECBAP D22．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =． （1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P −−的余弦值．D PABC M23．（本题13分）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到其准线的距离为4． （1）求抛物线的方程．（2）直线:l y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值．24．（本题13分）已知点(0,2)A ，椭圆2222:=1(0)x y E a b a b +>>的离心率32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233−，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程．（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程．25．（本题13分）对于正整数集合{}12,,,(*,3)n A a a a n n ∈N ≥，如果去掉其中任意一个元素(1,2,,)i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”． （1）判断集合{}1,2,3,4,5是否是“和谐集”（不必写过程）．（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”． （3）当5n =时，集合{}12345,,,,A a a a a a ，求证：集合A 不是“和谐集”．数学试题答案一、选择题（共14小题，每小题4分，共56分．每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的．．．．．．．．．．．．） 1． 【答案】B【解析】解：由216y x =，得216P =，则8P =，42P=， 所以抛物线216y x =的焦点坐标是(4,0)． 故选B ． 2． 【答案】B【解析】解：①．由面面平行的性质可知，αβ∥，αγ∥，则βγ∥，故①正确； ②．若αβ⊥，m α∥，则m β∥或m 与β相交，故②错误； ③．若m β∥，则存在m β'⊂，且m m '∥，又m α⊥，得m α'⊥， 所以αβ⊥，故③正确；④．若m n ∥，n α∥，则m α⊂或m α∥，故④错误． 故选B ． 3． 【答案】B【解析】解：若方程2214x y m m +=−表示焦点在y 轴上的椭圆，则0404m m m m>⎧⎪−>⎨⎪−>⎩，解得02m <<． 故选B ． 4． 【答案】C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是1，高是3，上面是一个球，球的半径是1，所以该几何体的体积2344π13ππ13π13π333V =⨯⨯+⨯=+=．故选C ．5． 【答案】C【解析】解：椭圆22:416C x y +=化为标准方程为：221164y x +=，可得4a =，2b =，23c =，所以椭圆22416x y +=的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为：8，4，(0,23)±． 故选B ． 6． 【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R =，故选D ． 7． 【答案】B【解析】解：∵抛物线26y x =上一点11(,)M x y 到其焦点的距离为92， ∴211163922y x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得13x =，132y =±， ∴点M 到坐标原点的距离为22(30)(320)33−+±−=． 故选B ． 8． 【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为12的球体，故其表面积为π，下部为一直三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且由三视图知此三角形的高为3，故三棱柱的侧面积为3(222)18⨯++=，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为：12332⨯⨯=，故组合体的表面积为1823π++．故选D ． 9． 【答案】C【解析】解：∵双曲线2212x y m m−=的一个焦点坐标为(3,0)， ∴29m m +=，得3m =，∴双曲线的实轴长为2226m =． 故选C ．10． 【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有2a b =，又抛物线28y x =−的焦点(2,0)−与椭圆C 的一个顶点重合，得椭圆经过点(2,0)−，若焦点在x 轴上，则2a =，1b =，椭圆方程为2214x y +=，若焦点在y 轴上，则2b =，4a =，椭圆方程为221164y x +=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=或221416x y +=． 故选D ．11． 【答案】C【解析】解：∵点(2,0)M 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的渐近线0bx ay ±=的距离为1，∴22|2|21b bca b ==+， ∴2c b =，3a b =， ∴双曲线的离心率22333c b e a b===． 故选C ． 12． 【答案】A【解析】解：①项、存在平面γ，使得α，β都垂直于γ，则α，β不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故①错误；②项、若αγ∥，βγ∥，则由面面平行的性质可得αβ∥，故②正确； ③项、若直线l α⊂，m β⊂，l m ∥，α与β可能相交，故③错误． 故选A ． 13． 【答案】A 【解析】解：CBAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴222222PB =+=，222222PD =+=，22CD =，2242026PC PA AC =+=+=， ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．14． 【答案】A【解析】解：椭圆22:143x y E +=的顶点坐标为(2,0)−，(2,0)，(0,3)，(0,3)−，圆22:()1C x m y −+=，表示以(,0)m 为圆心，1为半径的圆，当3m =−时，椭圆E 与圆C 只有一个焦点(2,0)−， 当31m −<<−时，圆C 向右平移，与椭圆E 有两个交点， 当1m =−时，圆C 与椭圆E 只有1个交点，当11m −<<时，圆C 椭圆在E 内部，此时椭圆E 与圆C 无公共点，∴当m 在闭区间[3,3]−从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是1，2，1，0，1，2，1． 故选A ．15．【答案】2213y x −= 【解析】解：由题意，2c =，2222|2(22)(03)(22)(03)|2a =−++−−++−=， ∴1a =，3b =，2c =，故双曲线的标准方程是2213y x −=． 16．【答案】60︒ 【解析】解：IJD GHEFM将ABC △沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，点A ，B ，C 重合为点M ，得到三棱锥M DEF −， ∵I ，J 分别为BE ，DE 的中点， ∴IJ ∥侧棱MD ，∴MD 与GH 所成的角即是GH 与IJ 所成的角， ∵60AHG ∠=︒，∴GH 与IJ 所成角的大小为60︒． 17． 【答案】2 【解析】解：DA BCA 1D 1B 1C 1与直线1AC 垂直的平面有平面1A BD 和平面11CB D ，故与直线1AC 垂直的平面α的个数为2． 18． 【答案】4【解析】解：由题意4a =，32c e a ==，得4a =，2b =，23c =，∴12||||28PF PF a +==，22212||||448PF PF c +==，∴2122(||||)2||||48PF PF PF PF +−⋅=，即12642||||48PF PF −⋅=，得12||||8PF PF ⋅=， 故12F PF △的面积1211||||8422S PF PF =⋅=⨯=． 19．【答案】(4,0)【解析】解：设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b −−=, 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y b =−， ∴1212()()OA OB ty b ty b y y ⋅=+++ 22121212()t y y bt y y b y y =++++222444bt bt b b =−++−24b b =−=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点(4,0)． 20．DABCN D 1C 1B 1A 1【答案】60︒；线段11B D【解析】解：当点N 与1B 重合时，AN 即1AB , ∵11AB DC ∥,∴1DC B ∠即直线AN 与1BC 所成的角， ∵1BD DC BC ==， ∴1BDC △是等边三角形， ∴160DC B ∠=︒，故异面直线AN 与1BC 所成的夹角是60︒，∵平面11AB D ∥平面1BDC ，AN ∥平面1BDC ，且N 在平面1111A B C D 内， ∴点N 在平面11AB D 与平面1111A B C D 的交线11B D 上， 故点N 的轨迹是线段11B D ．三、解答题（共5小题，满分64分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 21．【答案】见解析． 【解析】解：D PA B CE FGO（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，又∵底面ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =，∴四边形BEFG 是平行四边形，∴EF BG ∥，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．（2）证明：设AC BD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵PB PD =，O 是BD 中点，∴BD PO ⊥，又AC PO O =，∴BD ⊥平面PAC ．22．【答案】见解析．【解析】解：M CBAPD x yz（1）∵ABCD 是矩形，∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ， 则(2,0,4)AP =−，(2,0,0)BC =−，(1,4,2)MB =−，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z −=⎧⎨+−=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴1(0,1,2)n =， ∴11184cos ,5||||255AP n AP n AP n ⋅<>===⋅⋅， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =−，设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z −=⎧⎨−=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴2(0,1,1)n =， ∴123310cos ,1052n n <>==⋅， 故二面角M CB P −−的余弦值为31010．23．【答案】见解析． 【解析】解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且点A 到准线的距离为4，则242p +=， ∴4p =，故抛物线的方程为：28y x =．（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +−+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1282x y m +=−，212x x m =，121228y y x x m +=++=，212121212()()()8y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，∵OP OQ ⊥，∴2121280x x y y m m +=+=，∴0m =或8m =−，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意， 当8m =−时，2=244640∆−⨯>，符合题意，综上，实数m 的值为8−．24．【答案】见解析．【解析】解：（1）设(,0)F c ，由直线AF 的斜率为233−得2233c −−=−，解得3c =， 又离心率32c e a ==，得2a =， ∴221b a c =−=，故椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）当直线l x ⊥轴时，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)16120k x kx +++=， 由2=1643)0k ∆−>（，得234k >，即32k <−或32k >， 1221641k x x k −+=+，1221241x x k =+， ∴221212||(1)[()4]PQ k x x x x =++−22221612=1)44141k k k k ⎡⎤⎛⎫+−⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦（ 222414341k k k +⋅−=+， 又点D 到直线PQ 的距离221d k =+，∴OPQ △的面积221443||241k S PQ d k −=⋅⋅=+， 设243k t −=，则0t >， ∴24441414t S t t t ===++≤，当且仅当2t =，即72k =±时，等号成立，且0∆>， ∴直线l 的方程为：722y x =+或722y x =−+．25．【答案】见解析． 【解析】解：（1）集合{}1,2,3,4,5不是“和谐集”．（2）集合{}1,3,5,7,9,11,13，证明：∵35791113+++=+，19135711++=++，91313711+=+++，13511713+++=+，19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，∴集合{}1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”．（3）证明：不妨设12345a a a a a <<<<，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+①，或者5134a a a a =++②，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+③，或者5234a a a a =++④，由①③得12a a =，矛盾，由①④得12a a =−，矛盾，由②③得12a a =−矛盾，由②④得12a a =矛盾， 故当=5n 时，集合A 一定不是“和谐集”．word 下载地址。

北京交大附中2017－2018学年第一学期期中练习卷高二数学一、选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2+-=x y 的斜角是 （ ）2. 以点（2，-1）为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ）（A)3)1()2(22=++-y x （B ）3)1()2(22=-++y x（C ）9)1()2(22=++-y x （D)(9)1()222=-++y x3. 圆0222=-+x y x 与圆0422=++y y x 的位置关系是（ ）A.相离B.外切C.相交D.内切4.已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ） A.21 B.23+ C.22+ D.6主视图 左视图俯视图第4题图5. 已知直线01=-+ay x 和直线024=++y ax 互相平行，则a 的值是（ ）A. 2B. 2±C. -2D. 06. 已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为 （ ）A. 若b a ⊥且b ∥α,且α⊥aB.若b a ⊥且α⊥b ，则a ∥αC. 若α⊥a 且b ∥α，则b a ⊥D.若α⊥a 且βα⊥，则a ∥β7. 四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱（ ）的长度是A. 13B.22C.5D.29正（主）视图 侧（左）视图俯视图第7题图8. 四棱柱1111D C B A ABCD -的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点P 是侧棱1DD 的中点，21=AA ，1=AB ，若点Q 在侧面11B BCC （包括其边界）上运动，且总保持BP AQ ⊥，则动点Q 的轨迹是（ ）A. B. C. D.二. 填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上。

9. 已知三点)1,1(-A ，)3,(x B ，)5,4(C 共线，则实数=x .10. 直线023=+-y x 被圆422=+y x 截得的弦长为 。

明目标、知重点　1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来．2．三段论一般模式常用格式大前提一般性道理M是P小前提研究对象的特殊情况S是M结论由大前提和小前提作出的判断S是P探究点一　演绎推理与三段论思考1　分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.答　问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．思考2　演绎推理有什么特点？答　演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．思考3　演绎推理的结论一定正确吗？答　在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考4　演绎推理一般是怎样的模式？答　“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——一般性道理；(2)小前提——研究对象的特殊情况；(3)结论——由大前提和小前提作出的判断．例1　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解　(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟　用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1　把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形；(2)函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线；(3)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．解　(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC 三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形．结论(2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是一条直线，大前提函数y ＝2x ＋5是一次函数，小前提函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，小前提y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论 探究点二　三段论的错误探究例2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常函数的导函数为0，大前提函数f (x )的导函数为0，小前提f (x )为常函数．结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提13是无理数．结论13解　(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数．13反思与感悟　演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．跟踪训练2　指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论解　(1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．探究点三　三段论的应用例3　如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明　(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，小前提所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形。

2016北师大附中高二（上）期中数学（理）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对2．（5分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能3．（5分）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内4．（5分）若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：25．（5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=06．（5分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行7．（5分）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A． B． C． D．8．（5分）下列命题中错误的是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．（5分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10．（5分）以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是．11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为．12．（5分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．13．（5分）如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．（5分）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．①若AC=BD，则四边形EFGH是；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是．三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．（10分）求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．16．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.18．（5分）正六棱台的两底面边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为．19．（5分）二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．20．（5分）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．21．（5分）直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为．22．（5分）圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）23．（5分）在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．（10分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．25．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．数学试题答案一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．【解答】∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．2．【解答】分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D3．【解答】假设过点P且平行于l的直线有两条m与n∴m∥l且n∥l由平行公理4得m∥n这与两条直线m与n相交与点P相矛盾又因为点P在平面内所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内所以假设错误．故选B．4．【解答】设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，则球的体积V球=圆柱的体积V圆柱=2πR3圆锥的体积V圆锥=故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2故选D5．【解答】由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．6．【解答】当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选 B．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C．当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选 D．7．【解答】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．8．【解答】对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为，∴截面三角形SAB的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故B错误．对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9．【解答】长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．10．【解答】直线AB的斜率 k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，故答案为x﹣y﹣2=0．11．【解答】∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=AC1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D故答案为：平行．12．【解答】由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC ⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：413．【解答】由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．14．【解答】如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形三．解答题：（本大题共3小题，共30分）15．【解答】设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故 2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．16．【解答】（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．17．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．四．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）. 18．【解答】如图所示，是正六棱台的一部分侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A1B1=2cm．取AB和A1B1的中点C，C1，连接OC，CC1，O1C1，则C1C为正六棱台的斜高，且四边形OO1C1C为直角梯形．根据正六棱台的性质得OC=，O1C1==，∴CC1==．又知上、下底面周长分别为c=6AB=6cm，c′=6A1B1=12cm．∴正六棱台的侧面积：S=．==（cm2）故答案为：cm2．19．【解答】点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=60°，∴∠ACB=90°．故答案为：90．20．【解答】在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．21．【解答】∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为=，∴由斜截式可得直线l的方程为，故答案为．22．【解答】作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为：10．23．【解答】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有 V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．五．解答题：（本大题共2小题，共20分）.24．【解答】如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在Rt△EOF中，，∴，∴依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}25．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．（1分）又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC．（4分）（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，所以得：则有：．（6分）设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，令y=1，得所以．（7分）．（9分）因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（10分）（Ⅲ）设，（11分）即，得所以，得，（12分）令OE∥平面A1AB，得，（13分）即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，即存在这样的点E，E为BC1的中点．（14分）。