[应用]条件极值与隐函数习题课

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第十四、十五章 条件极值与隐函数习题课

一、重要内容

1、极值

1)、无条件极值的计算和判断

主要步骤:

i)、计算可疑点:驻点，偏导数不存在的点。

Ii)、判断

A)、判断可疑点为极值点，常用方法: p0

a)、定义法:计算，若存在某个，使,,,ffpfp()()Up()00

得在上恒成立，则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000

，使得在上恒成立，则为极大值点。Up()Up()p,,f0000

b)、利用题意和问题的实际背景判断，此时，可疑点通常是唯一的。即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值，则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值，则唯一的可疑点必是极小值点。

c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。

pp 通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性00质。

pB)、判断可疑点不是极值点，常用方法有:0

Up()ppUp,(),a)、定义法:对任意的，确定一对点，0120使得

,,,,fpfp()()0 12

则，不是极值点。 p0

b)、二阶导数法:H为不定矩阵时，不是极值点。p0 2)、条件极值的计算与判断

主要步骤:

i)、构造L-函数;

ii)、计算L-函数的驻点;

iii)、判断，常用方法为二阶微分法。

3)、隐函数极值的计算

4)、极值的应用

主要有 计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。

2、隐函数存在定理

要求:熟练掌握极值和条件极值的计算和应用，了解隐函数

存在定理。

二、典型例题

22例1、讨论的极值。进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()(2)

沿任意直线在p(0,0)的极值性质。 0

解、先计算驻点。求解

2,fxyx,,，68,x ,2fyx,,23,y,

p(0,0)得唯一驻点。 0

fpfpfp()0, ()0, ()2,,,判断。计算得，H=0，故xxxyyy000

22dzdy|2,二阶导数法失效。(同样，，因而不能确定对任意的p0

22dzdy|2,(dx，dy),(0,0)，都成立>0,二阶微分法同样失效。)p0

用定义判断。注意到

22 ,,,,,,zfpfpyxyx()()()(2)0

92因而，对任意,取r充分小满足，则 ,，,,01rr,,04

,32且，故不是,pprrUp(0,),(,)(,),,,zpzp()()0p(0,0),12012022 极值点。

再考虑沿直线y=kx在的极值性质。转化为无条件极p(0,0)0

值讨论。

4当k=0时，沿直线y=0, 函数z转化为一元函数，因zx,2而为其极小值点，故对应的为函数z沿直线y=0的x,0p(0,0)00

极小值点。

2234k,0zkxkxx,,，32当时，沿直线y=kx，则，为x,00驻点，进一步判断为极小值点，因而，对应的为原函数zp(0,0)0沿直线y=kx的极小值点。

注、事实上，在原点的任意邻域内，通过曲线p0

222将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线yxyx,,和2yx,

2之间的部分和曲线上面的部分，函数z在上下两部分上取yx,2

pp值为正，在曲线间的部分取值为负，而正取自使函数不同号1,2

的部分里。当沿直线y=kx考虑时，由于当x充分小时，直线y=kx

2p总在曲线的上方，因而，取不到使函数z取负值的点如，yx,22

p故是极值点。 0

p注、结论表明:设为函数z的定义域内某一点，沿任一过0

直线，为函数z极值点，并不一定表明点就是函数z在ppp000

其定义域内的极值点。

2例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、yxyxy(4),,

轴所围成的闭区域D上的极值和最值。

解、先计算D内的极值点。求解

fxyxy,,,,(832)0,x ,2fxxy,,,,(4)0y,

的D内驻点。 p(2,1)0

(注、(0,y)、(4,0)也是驻点，但不在D内，而在D的边界上。) 判断。计算得

，H=32，AfpBfpCfp,,,,,,,,,()6,()4,()8xxxyyy000

故，为极大值点且对应的极大值为。p(2,1)fp()4,00

其次，计算边界上的最值。

记D的边界为 lxx,,,{(,0):06}、1

lxyxyxy,,,，,{(,):0,0,6}、 2

2gxzxx()|2(6),,,zz|0,|0,,lyy,,,{(0,):06}。则，，lll3132计算得

ggxggx(0)max()0,(4)min()64,,,,, [0,6][0,6]

最后，对内部极值和边界值进行比较。比较内部极值和边界

fp()4,值可知:函数z在D的内部有极大值，而在整个闭区域0

fp()4,D上，函数的最大值为，最小值为f(4,2)=-64.0

AB,,例3、设为正定矩阵，计算H,,,BC,,

2222在上的最值。zfxyAxBxyCy,,，，(,)2xy，,1

22解、在有界闭集 上连续，因而存在fDxyxy,，,{(,):1}

最大值点

和最小值点，故，最小值pp(x,y)(x,y)211122

22，又由正定性得。进f(x,y),0fxyAxBxyCy(,)2,，，22222222

一步计算如下:构造

2222，LAxBxyCyxy,，，,，,2(1),

得驻点方程组:

,(A,)x，By,0(1),

,,Bx，(C,)y,0 ，(2),

22,x，y,1(3),

由于在D上必能达到最大值和最小值，故上述方程组必有解。f pp和就是其两个解。由(3)知:其解必为非零(x,y)(x,y)211122

解，因而对(1)、(2)，必有

,AB,,0 BC,,

122,,，,，,,[()()4()]ACACACB解得 ，12

122,,，，，,,[()()4()]ACACACB。22

设为其一组解，则代入方程组且由 得 (,,)xy,(1)(2)，，，xy00000

2222，AxBxycyxy，，,，,2()0,0000000

2222因而， 。即对应fxy(,),AxBxycyxy，，,，,2(),,0000000000

的一组解必满足，因此，必有(,,)xy,fxy(,),,000000

，。fxy(,),,fxy(,),,111222

mnp例4、计算在下的最大值。xyza++=fxyzxyz(,,)=

其中 amnpxyz>>>>>>>0,0,0,0,0,0,0.

解、显然，函数f>0，此时，f(x,y,z)与具有相同的ln(,,)fxyz单调性，故可以采用对数法。

记，构造L-函gxyzfxyzmxnypz(,,)ln(,,)lnlnln==++

数

Lxyzfxyza(,,)ln()=-++-l

则，求解如下驻点方程组

m0L=-=l xx

m0L=-=l xx

m0L=-=l xx

mnpmanapa++l====,,,xyz得。0000amnpmnpmnp++++++

又，计算得 mnp2222 (,,,)|0dLxyzdxdydzl=---

。 fp()0>0

又，沿边界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值fxyz(,,)0=为。 fp()0

注、注意掌握上述求极值的对数法。

n2例5、计算在条件xxxc+++=Lfxxxax(,,,)L=å12n12nii=1i

下的最小值。

其中。 acin>>=L0,0,1,2,,i

nn2解、构造L,函数，Lxxxaxxc(,,,)()Lll=+-邋1,21nii==11ii求解方程组

Lax=+=20l x111

Lax=+=20,lx222

LLL

Lax=+=20l ， xnnn

n

Lxc=-=0åli1=i

lll2c000---=-Lp(,,,),l得唯一驻点。00n1222aaa12nåa=i1i

由题意和驻点的唯一性，则在处达到最小值fxxx(,,,)Lp12n0

2c。 ()=fp0n1

åa=i1i

n2特别，当时，在ain==L1,1,2,,fxxxx(,,,)L=åi12ni=1i

2ccccp(,,,)L下在处达到最小值，因而，xxxc+++=L012nnnnn成立不等式

22()xxx+++Lc222n12 。xxx+++?Ln12nn

注、利用题意和驻点的唯一性，不需进一步的判断，可以直接给出唯一的驻点处的极值性质，这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。 ststtte,,，ln例7、证明:时成立不等式 。ts,,1,0

s证明、用极值理论证明不等式。记，,(,)lnsttttets,,，,

，只需证明在D上成立 ，因而，只D,，,，，,[0,)[1,),(,)0st,需证明,(,)st在区域D上的最小值为0。

求解

s,,,,,et0s ,,,,ln0ts,t,

ss,0得函数的驻点为曲线，上的所有点且lte:,,(,)st

。 ,(,)|0st,l

(进一步验证，在这些驻点处都有H=0，因而，二阶导数法失效，

且在无界区域D上，函数最值存在性也是未知的，为此，,(,)st

采用逼进法，转化为在有界闭区域的最值的讨论。)

记，则，曲线l在内的点仍是的驻DRR,，[0,][1,]D,(,)stRR点，为计算在上的最值，只需讨论边界最值。简单计算D,(,)stR

可知:

s 在s=0处取到最小值0;hsses()(,1)1,,,,,1

s 在s=lnR处取到最小值0;hssRRRReRs()(,)ln,,,，,,2

gttttt()(0,)ln1,,,，,在t=1处取到最小值0;1

RRte,在处取到最小值0;gtRtttteRt()(,)ln,,,，,,2

,0DD因而，函数在上的最小值为0，即在，;,(,)st,(,)stRR

,0由R的任意性，得到 ,(,)st，(,)stD,。

tt,注、沿任一条直线，可以发现，函数在曲线l上达到最0

小值0，但，由例1知道，这还不能说明函数的最小值为0。

例8、设z=z(x,y)是由

222 Fxyzxxyyyzz(,,)6102180,,，,,，,