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多元函数极值及其应用

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` Word文档 学士学位论文 论文题目——多元函数极值及其应用

姓 名： 王一

指导教师： 海明

系 别： 数学系

年 级： 08级一班

专 业： 数学与应用数学 `

Word文档 目 录 1函数极值理论 …………………………………………………………………1

2 多元函数极值的应用…………………………………………………………13 3多元函数极值的奇异性……………………………………………………… 参考文献…………………………………………………………………………… 致…………………………………………………………………………… `

Word文档 多元函数极值及应用 摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application

Abstract：This article is about the function extreme solution by a function

extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords：Function extreme: function extend application

一函数极值理论 定义2.1.1[3]设n(2)n元函数12(,,)nzfxxx在点00012(,,,)nxxx的某个邻

域有定义,如果对该邻域任一异于00012(,,,)nxxx的点12(,,)nxxx都有

0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx(或0001212(,,)(,,,)nnfxxxfxxx)，则称函数在

点00012(,,,)nxxx有极大值(或极小值)00012(,,,)nfxxx.极大值、极小值统称为极 ` Word文档 值，使函数取得极值的点称为极值点. 定义2.2.1[3]函数12(,,,)nzfxxx在m个约束条件12(,,,)0inxxx

(1,2,,;)immn下的极值称为条件极值. 3. 多元函数普通极值存在的条件 定理3.1（必要条件）若n(2)n元函数12(,,,)nzfxxx在点

000

12(,,,)nxxx

存在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,,,)0ixnfxxx (1,2,,)in

备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 定理3.2[3]（充分条件）设n(2)n元函数12(,,,)nfxxx在00012(,,,)nxxx附

近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)nxxx为12(,,,)nzfxxx的驻点.那么当二次

型 00012,1()(,,,)ijnxxnijijgfxxx



正定时，00012(,,,)nfxxx为极小值；当()g负定时，00012(,,,)nfxxx为极大值；

当()g不定时，00012(,,,)nfxxx不是极值.

记00012(,,,)ijijxxnafxxx，并记

111213212223

12kkkkk

aaaaaaAaaa



，

它称为f的k阶Hesse矩阵.对于二次型()g正负定的判断有如下定理： 定理3.3[3]若det0kA (1,2,,)kn，则二次型()g是正定的，此时

00012(,,,)nfxxx为极小值；若(1)det0kkA (1,2,,)kn，则二次型()g是负

定的，此时00012(,,,)nfxxx为极大值.

特殊地，当2n时，有如下推论： ` Word文档 推论3.1若二元函数00(,)(,)zfxyxy在点的某领域具有一阶和二阶连续偏导

数，且 0000(,)0,(,)0xyfxyfxy

令 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy

则 ①当20ACB时，0,0,AA取极大值取极小值. ②当20ACB时，没有极值.

③当20ACB时，不能确定，需另行讨论.

4．介绍多元函数条件极值的若干解法 4.1代入消元法 通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决. 例4.1.1求函数(,,)fxyzxyz在0xyz条件下的极值. 解 由0xyz 解得，2zxy 将上式代入函数(,,)fxyz，得 g(x,y)=xy(2-x+y)

解方程组 22'2y20220xygxyygxxyx 得驻点 12

22PP=33（0，0），（，-）

2xxyg，222xygxy，2yygx

在点1P处，0,2,0ABC

22=0240ACB，所以1P不是极值点

从而函数(,,)fxyz在相应点(0,0,2)处无极值； 在点2P处，44,2,33ABC ` Word文档 224424()03333ACB，

又403A，所以2P为极小值点

因而，函数(,,)fxyz在相应点222(,,)333处有极小值

极小值为2228(,,)33327f.

4.2拉格朗日乘数法[3] 拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用. 求目标函数12(,,)nfxxx在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)knxxxkmmn组

限制下的极值，若12(,,)nfxxx及12(,,)knxxx有连续的偏导数，且Jacobi矩阵

111122221212n

nmmmn

xxxxxxJxxx











的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值.

首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mnmnkknkLxxxfxxxxxx



然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLinxLkim 从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)inPxxx (1,2,,)ik，所得驻点是函数极

值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值. 定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)nxxxx及m个常数12,,,m ` Word文档 满足方程组 100miiikkklLfxxx (1,2,,;1,2,,)knlm， 则当方阵 20,12(,,,)mklnnLxxx 为正定（负定）矩阵时，0x为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()fx为

满足约束条件的条件极小（大）值.

例4.2.1求椭球2222221xyzabc在第一卦限的切平面与三坐标面所围成的四面体的

最小体积. 解 此椭球在点000(,,)Pxyz处的切平面为

000000222

222()()()0xyzxxyyzzabc

化简,得 0002221xyzxyzabc

此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,abcxyz 则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006abcVxyz

由题意可知，体积存在最小值，要使V最小，则需000xyz最大；

即求目标函数(,,)fxyzxyz在条件2222221xyzabc下的最大值，

其中0,0,0xyz，拉格朗日函数为 222222(,,,)(1)xyzLxyzxyzabc

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多元函数极值

多元函数极值


提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值问题

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题多元函数极值问题是数学中常见的一类问题，一般来说，我们希望在给定的变量限制条件下找到使得多元函数取得最大值或者最小值的变量值，这样的问题被称为多元函数的极值问题。

由于多元函数在不同的情况下可能存在很多局部最大值和局部最小值，因此我们需要在一定条件下，确保找到的最优解是全局最优解。

一阶必要条件根据微积分的一阶必要条件，我们可以求解多元函数的偏导数，寻找使偏导数等于零的点。

对于一个二元函数$f(x,y)$，偏导数为：$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。

而对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们需要找到使得所有偏导数为零的点，即：$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=0,\frac{\partial f}{\partialx_2}=0,...,\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。

需要注意的是，这些点仅仅是可能的极值点，并不能确定是否为极大值或极小值点。

二阶必要条件在一阶必要条件得到的极值点处，我们希望进一步判断是极大值还是极小值。

此时，就需要使用微积分的二阶必要条件来判定。

对于二元函数$f(x,y)$，我们可以得到一个Hessian矩阵：$$H=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} &\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2f}{\partialy\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ \end{bmatrix}$$对于任意一个方向$\vec{v}=[x_1,y_1]$，我们可以得到一个二次型：$$Q(x_1,y_1)=\begin{bmatrix} x_1&y_1\\ \end{bmatrix} H\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\ \end{bmatrix}$$二阶必要条件就是，如果Hessian矩阵在极值点处是正定的，则这个点是极小值点；如果是负定的，则是极大值点；如果是奇异的，则是鞍点；如果是不定的，则无法确定。

多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值


转 化
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数
z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
- 14 -
方法2 拉格朗
日乘数法.
例如,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值.
如方法 1 所述 ,
设 ( x, y) 0 可确定隐函数
y (x),
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
令 Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2(cos2 sin2 ) 0
sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
- 10 -
4. 某厂要用铁板做一个体积为2
箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
的有盖长方体水
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则水箱所用材料的面积为
但在该点不取极值.
-3-
定理2 (充 分条件) 若函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 )
解得:
60, x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,
高等数学《多元函数的极值》

高等数学《多元函数的极值》


1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
z2 6,
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
0 0
,
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
6 x0 y0z0
a2
y02 b2
z02 c2
1下的最小值,
即求u
x0
y0
z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下的最大值,
令
G( x0 ,
y0 , z0 )
x0
y0 z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
Gx0 0,
由
x02 a2
讨论．
例4 求f (x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
[解] fx (x, y) 3x2 6x 9 0, 解得 x 1 或 x 3,
fy (x, y) 3 y2 6 y 0,
y0或 y2
得到驻点为 (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2).
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广：如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为