当前位置：文档之家 › 1.3.2函数的单调性.奇偶性的综合问题

1.3.2函数的单调性.奇偶性的综合问题

  • 格式：doc
  • 大小：143.87 KB
  • 文档页数：3

函数的单调性．奇偶性的综合问题

【学习目标】

1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；

2．熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；

3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．

【课前导学】

1．函数单调性．奇偶性的定义；

2．练习：

（1）若xf为,上的减函数，Ra则12af与af的大小关系是 ．

（2）判断函数0320203222xxxxxxxxf的奇偶性为____________提示：可用图像法．

【课堂活动】

一．建构数学：

1．函数奇偶性的判定方法有几种？

答案：三种；定义法、图像法、等价形式法．

2．与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考？（数与形）

二．应用数学：

例1 已知函数2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，求实数m的值．

变式练习： 若函数)0()(2acbxaxxf是偶函数，则cxbxaxxg23)(是（ ）

A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

例2 已知函数53()8fxxaxbx，若(2)10f，求(2)f的值．

例3已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在，0是增函数．

求证：y=f(x)在0，上也是增函数．

证明：任取x1-x2>0.

【变式】已知函数y=f(x)在R上是偶函数，而且在，0是增函数．试探求并证明y=f(x)

在0，上的单调性．

【推广】（1）奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；

（2）偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的．

练习1、函数)(xf是R上的偶函数，且在),0[上单调递增，则下列各式成立的是

（ ）

A．)1()0()2(fff B. )0()1()2(fff

C.)2()0()1(fff D.)0()2()1(fff

2。如果奇函数)(xf在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么)(xf在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.

例4 定义在（－2，2）上的奇函数)(xf在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，

求实数m的取值范围．

【解后反思】此类问题既要运用函数的奇偶性，又要运用函数的单调性，同时还要优先考虑函数定义域的制约作用．

【当堂练习】

1．下列结论正确的是 ．

(1)偶函数的图象一定与y轴相交；

(2)奇函数的图象一定过原点；

(3)偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数；

(4)定义在R上的增函数一定是奇函数．

2．设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．

①y=－| f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y= f（x）－f（－x）．

中必为奇函数的有______________________（要求填写正确答案的序号）．

3. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5] ．若当x∈[0,5]时, f（x）的图象如下图,则不等式()0fx的解是_________________________

4. 设xf为定义在,上的偶函数，且xf在,0上为增函数，则2f，f，3f的大小顺序是_____________________________________

【课后提升】

1．已知()yfx是偶函数，其图象与x轴共有四个交点，则方程()0fx的所有实数解的和是 ．

2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上单调递增，则不等式f(a)

3. 定义在1,1上的奇函数21xmfxxnx，则常数m ，n ．

4．已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)=____________

5．函数fx()是定义在()11，上的奇函数，且为增函数，若fafa()()1102，求实数a的范围．

6．定义在实数集上的函数f(x)，对任意xyR，，有fxyfxyfxfy()()()()2且f()00．

（1）求证f()01；（2）求证：yfx()是偶函数．

合集下载

函数单调性和奇函数性质的综合应用题

函数单调性和奇函数性质的综合应用题

函数单调性和奇函数性质的综合应用题

题目描述

给定函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，请回答以下问题：

1. 函数 $f(x)$ 的定义域是什么？

2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性如何？

3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 的单调性如何？

4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大最小值分别是多少？

解答

1. 函数 $f(x)$ 的定义域是所有实数集 $(-\infty, +\infty)$，因为对任意实数 $x$，$f(x)$ 的定义都存在。

2. 函数 $f(x)$ 的奇偶性是奇函数。为了验证函数的奇偶性，我们需要检查函数是否满足 $f(-x) = -f(x)$。对于函数 $f(x) = x^3 -

3x^2 + 2x + 1$，我们有 $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^3 +

3x^2 - 2x + 1$。可以看到 $f(-x) = -f(x)$ 成立，所以函数 $f(x)$ 是奇函数。

3. 在开区间 $(0, 3)$ 上，函数 $f(x)$ 是递增函数。为了验证函数的单调性，我们需要检查函数在该区间上的导数是否大于等于零。计算函数的导数 $f'(x)$，我们有 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$。将其带入

$0 < x < 3$，我们可以看到 $f'(x) > 0$。因此，函数 $f(x)$ 在开区间

$(0, 3)$ 上是递增的。

4. 在闭区间 $[-1, 2]$ 上，函数 $f(x)$ 的最大值是 $f(2) = 11$，最小值是 $f(-1) = -1$。为了找出最大最小值，我们可以求函数在该区间内的驻点和区间的端点处的函数值。计算导数 $f'(x) = 3x^2 -

6x + 2$ 的根，可得 $x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。由此，我们可以看到闭区间 $[-1, 2]$ 上的最大值为 $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) + 1 =

函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学

函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学

1函数性质的八大题型综合应用

题型梳理

【题型1 函数的单调性的综合应用】

【题型2 函数的最值问题】

【题型3 函数的奇偶性的综合应用】

【题型4 函数的对称性的应用】

【题型5 对称性与周期性的综合应用】

【题型6 类周期函数】

【题型7 抽象函数的性质】

【题型8 函数性质的综合应用】

命题规律

从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是

高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，

解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等

函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；

对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.

知识梳理

【知识点1 函数的单调性与最值的求解方法】

1.求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2.函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增

异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；

2③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)

为增函数，1

f(x)为减函数；

④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1

f(x)为增函数．

3.求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

第1页共24页【考点预测】

1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数()fx的定义域为A，区间DA：

如果对于D内的任意两个自变量的值

1x，

2x当

12xx时，都有

12()()fxfx，那么就说()fx在区间D

上是增函数．

如果对于D内的任意两个自变量的值

1x，

2x，当

12xx时，都有

12()()fxfx，那么就说()fx在区间D

上是减函数．

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量

1x，

2x且

12xx；

③都有

12()()fxfx或

12()()fxfx；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数()fx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()fx在区间D上具有

单调性，D称为函数()fx的单调区间．

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增

（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函

数.

2．函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

偶函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有

()()fxfx，那么函数()fx就叫做偶函数关于y轴对

称

奇函数如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有

) ()(fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数关于原点对称

判断

()fx与

()fx的关系时，也可以使用如下结论：如果

0(())fxfx或()

1(()0)

()fx

fx

fx

，则函

数

()fx为偶函数；如果

0(())fxfx或()

1(()0)

()fx

fx

fx

，则函数

()fx为奇函数．第2页共24页注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个

2022年《数的奇偶性》教案

2022年《数的奇偶性》教案

2022年《数的奇偶性》教案

2022年《数的奇偶性》教案1

教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。能证明一些简单函数的奇偶性。弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

重点：判断函数的奇偶性

难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入

1、函数的单调性、最值

2、函数的奇偶性

（1）奇函数

（2）偶函数

（3）与图象对称性的关系

（4）说明（定义域的要求）

二、例题分析

例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数

（1）

（2）

（3） （4）

例2、证明函数 在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性

三、随堂练习

1、函数 （ ）

是奇函数但不是偶函数 是偶函数但不是奇函数

既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数

2、下列4个判断中，正确的是_______.

（1） 既是奇函数又是偶函数；

（2） 是奇函数；

（3） 是偶函数；

（4） 是非奇非偶函数

3、函数 的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？

2022年《数的奇偶性》教案2

教学内容： 北师大版小学数学五年级上册第一单元。

教学目标：

1、尝试运用“列表”、“画示意图”等方法发现规律，运用数的奇偶性分析和解释生活中的一些简单问题。

2、通过活动，让学生经历猜想结果，举例验证，得出结论的探究过程，并在活动中发现加法中数的奇偶性的变化规律，掌握数的奇偶性特征。

3、让学生在活动中体验研究方法，提高推理能力。

教学准备：

一次性纸杯、硬币、课件等。

教学过程环节设计：

一、创设情境，产生认知冲突。

师：同学们，有一位家住在河南岸，以摆渡为生的船夫，想请我代他向同学们提一个问题，不知同学们是否愿意帮这位船夫解决一下呢?

(愿意)

课件出示情境图和问题。

【设计意图】创设情境，让学生产生认知冲突，激发学生的学习兴趣，将学生引入到新知探究中来，调动学习的积极性。