高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综合应用

2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。

高一数学函数的单调性与奇偶性综合人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性与奇偶性综合二. 学习目标1. 巩固函数单调性、奇偶性的概念；2. 进一步加强化归转化能力的训练，培养推理能力。

三. 知识要点1. 奇函数和偶函数的概念设函数y =f （x ）的定义域为D ，且D 关于原点对称.（1）如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数.定义还可以表达为：（1） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）+f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做奇函数.（2） 如果对于函数f （x ）的定义域D 内任意一个x ，都有f （x ）－f （－x ）=0，那么函数f （x ）就叫做偶函数.第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性. 这种形式能从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f （x ）+f （－x ）=0的解集为D ；另一方面，若方程f （x ）+f （－x ）=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f （x ）在D 上是奇函数. 对偶函数也可以得出类似的结论. 2. 奇函数和偶函数的图像特征（1）奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数. （2） 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称的函数，必是偶函数. 3. 判断函数的奇偶性 对于函数f （x ），先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f （－x ）=±f （x ）（或f （-x ）±f （x ）=0，或()()1±=-x f x f 等）是否成立，最后得出正确结论.4. 函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： （1）奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性. （2） 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性.5. 单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ，当210x x x ∆=->时都有21()()0,y f x f x ∆=->，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

函数的奇偶性与性质综合
一、函数的奇偶判定
1、奇函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

图像是关于原点成中心对称
2、偶函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

图像是关于y轴成对称
3、
4
5
6
8、定义法判断函数奇偶性
9、抽象函数奇偶性判断
二、函数奇偶性综合应用
1、奇偶性之半区间求解析式
2、利用方程组法半区间求解析式
小结：
三、利用函数的性质解不等式或比较大小
1、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，比大小）
2、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，解不等式）
3、函数单调性与奇偶性质综合应用（判断单调性与奇偶性）
4、利用构造函数，求单调性与奇偶性
5、利用性质作图解不等式
跟踪练习。

【导语】考试是检测学⽣学习效果的重要⼿段和⽅法，考前需要做好各⽅⾯的知识储备，对于数学更加要进⾏复习归纳。

下⾯就让给⼤家分享⼀些⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结吧，希望能对你有帮助!⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结篇⼀1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可⽤于求参数);(3)判断函数奇偶性可⽤定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题⼀定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或⽅程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的⽅程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2⽅程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成⽴，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成⽴,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.⽅程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成⽴ a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成⽴ a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由⼝诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不⼀定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地⽤定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

函数的单调性与奇偶性及反函数知识点击：1增函数、减函数的概念及证明； 2奇偶性的判断及利用奇偶性来解决问题； 3奇偶性与单调性的综合运用； 4 反函数的概念及其图象之间的关系；典型例题：例1：讨论下列函数的单调性：（1） f(x)=x 2+2x-1（2） f(x)=|x-1|（3） f(x)=112--（x ax <x<1,a ≠0)例2：判断下列函数的奇偶性：（1） f(x)=|x+a|+|x-a|（2） f(x)=x x x -+-11)1(（3） f(x)=42-x +24x -x 2-x (x>0)（4） f(x)=x 2+x (x<0)例3：已知奇函数f （x ）的定义域为R ，当x>0时，f （x ）=x 2-2x+3，求f （x ）的表达式。

例4：求下列函数的反函数：（1） y=2x 2-2x+1 (≥x 1)（2） y=132-+x x (x<1 )（3） y=21x -- (01≤≤-x )x 2-1 (x ≥0)（4） y=2x-1 (x<0)作业：1 下列判断正确的是 （ ）A f （x ）=|3||3|+--x x 是奇函数B f （x ）=12+x x 是偶函数 1+x （0≥x ）C f （x ）=12+x x 是偶函数 D f （x ）= 1-x （x < 0） 2 ））（（）（）（022≠+=-x x f x x x F 是偶函数，且）（x f 不恒等于0，则）（x f （ ）A 是奇函数B 是偶函数C 可能是奇函数，也可能是偶函数D 不是奇函数，也不是偶函数3 设）（x f 为定义在A 上的减函数，且）（x f >0，则下列函数：）（x f y 23-=，）（x f y 2=，）（，）（x f y x f y 21+=-=中为增函数的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个4 在定义域为R 的函数中，一定不存在的是 （ ）A 既是增函数又是奇函数B 既是奇函数又是偶函数C 既是增函数又是偶函数D 既是减函数又是奇函数5 已知函数）（x f =b ax +的反函数）（x f 1-=b ax +，则a 与b 的取值分别是 （ ）A 01==b a ，B 01=-=b a ，C 01==b a ，或者R b a ∈-=，1D b a ，为任意非0实数 6 设）（x f =），且（433412-≠∈++x R x x x ，则）（21-f 的值等于 （ ） A 65 B 52- C 52 D 115 7 函数322--=x x y 的单调递增区间是8 函数），在（）（42122∞-+-+=x a x y 上是减函数，则a 的取值范围是 ）（1f 的取值范围是9 已知函数835-++=qx px x x f ）（满足）（，则）（2102f f =-= 10 若函数）（）（19422≥+-=x x x x f ，且满足==+-）（，则）（a f a f 31111 如果函数b ax y +=与它的反函数是同一函数，则系数a ，b 必满足12 利用函数的单调性定义证明：x x f 43-=）（在]43，（∞-上是减函数13 求证函数111122+++-++=x x x x x f ）（是定义在R 上的奇函数。