7.7 反常积分——广义积分
黎曼定积分的局限性，积分区间是一个有限区间而且被积函数必定是有界的，对许多问题这不够用。
一、 积分区间无界的广义积分——无穷积分
1、 定义 （1）设函数f在),[a是有定义，对任何ab，函数f在ba,上均可积。这时，badxxf)(存在，badxxf)(是b的函数，如果极限babdxxf)(lim存在且有限，那么就把这个极限值记作
adxxf)(
并称上述积分收敛。
babadxxfdxxf)()(lim。
如果极限babdxxf)(lim不存在，同样也使用符号adxxf)(，这时称adxxf)(发散。
（2）f在],(a上有界定义，对任何aA，f在aA,上可积，aAdxxf)(存在，
如果aAAdxxf)(lim存在且有限，记Idxxfa)(称adxxf)(收敛
如果aAAdxxf)(lim不存在，称adxxf)(发散。
（3）f在),(上有定义，对任何实数BABA,0,，f在BA上可积，任取Ra，如果adxxf)(，adxxf)(都收敛，那么说无穷积分dxxf)(收敛，并且，规定aadxxfdxxfdxxf)()()(，也称f在),(上可积。
如果adxxf)(，adxxf)(中至少有一个发散，这时就称dxxf)(发散。
dxxf)(收敛adxxf)(，adxxf)(均收敛BaBaAAdxxfdxxf)(,)(limlim均存在且有限。
（4）对任何ba，AbbaAadxxfdxxfdxxf)()()(，
AaAdxxf)(lim存在AbAdxxf)(limd且bbaadxxfdxxfdxxf)()()(（其他类似）。
111 第七章 定积分及其应用
积分学的基本任务是要解决两类问题：第一是求原函数问题，由此引出不定积分的概念；第二是求和式的极限问题，由此引出定积分的概念及其应用。第一个问题在上一章中已经讨论过了，本章讨论和要解决的将是第二个问题。应该注意到定积分作为一类和式的极限，以乘积的和式niiixf1)(给出近似结果，极限过程改善了近似的程度，而极限是给所要测度的量的精确定义，故以这种形式的数量关系就导出了定积分这个概念。定积分是由于解决实际问题的需要而产生并发展的，很多问题是在积分过程中才得到了所需要的精确数学表述。
基本内容：基本概念：定积分概念；定积分的元素法。
基本运算：计算定积分的值（牛顿——莱布尼兹公式、换元、分部积分法等）；
基本理论：原函数存在定理、定积分存在定理、牛顿——莱布尼兹公式。
具体应用：为使学会掌握用定积分解决具体问题这一工具，广泛地介绍了定积分的应用，如求面积、体积、旋转体的侧面积、物理学和力学上的应用，以满足各个专业的不同需要。
本章重点：定积分的概念；定积分的中值定理；定积分作为变上限的函数及其求导定理；牛顿－莱布尼兹公式。
课标导航
1．掌握定积分的定义、直观背景及其简单性质；
2．掌握定积分与不定积分的关系，并会用牛顿——莱布尼兹公式计算定积分；
3．必须学会正确使用定积分的换元积分法和分部积分法,熟练地解决定积分的计算问题；
4．会求一些常见平面曲线图形的面积（直角坐标、极坐标）；
5．会求简单的已知平行截面的立体和旋转体的体积；
6．初步掌握微元法，学会运用积分元素法建立积分表达式，解决有关的具体问题。
一、知识梳理与链接
（一）基本概念
1．积分和数(或和式)
设函数)(xf在区间],[ba上连续。任意用分点bxxxxxanii110把区间],[ba分割成n个子区间],[1iixx，其长度分别为1iiixxx),,2,1(ni.在每个子区间],[1iixx上任意取一点iiiixx1:.则和数niiixf1)(就是函数)(xf在],[ba上的积分和数。注意对给定的函数)(xf施行各种结构的数学运算，都可以构造出各种形式的和数。
定积分的基本性质及应用
定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。
定义：
定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：
∫(a to b) f(x) dx
其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。
基本性质：
1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：
∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx
∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx
2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：
∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx
3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：
∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a) 4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。
5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。
应用：
定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。
1. 几何应用：
定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：
定积分的应用教案
第一章：定积分的概念
1.1 引入定积分的概念
解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为 ∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质
介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法
2.1 牛顿-莱布尼茨公式
介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果 F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数， ∫ab f(x)dx =
F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法
介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用
3.1 平面区域的面积
解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积
介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。 通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用
4.1 定积分与力的累积
解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算
介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用
5.1 定积分与总成本
解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益
介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用
6.1 定积分与概率密度
