(专升本)第五章定积分及其应用

专升本《高等数学》课程教学大纲一、适用对象适用于网络教育、成人教育学生二、课程性质高等数学是大学各专业的公共基础课，在培养高素质人才中具有独特的、不可替代的重要作用。

通过本门课程的学习，要使学生获得高等数学的基本理论、基本方法和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。

前序课程：初等数学、高等数学前三章三、教学目的通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力。

四、教材及学时安排教材：《高等数学》电子科技大学出版社，2014年学时安排：五、教学要求第四章不定积分教学要求：1、理解原函数与不定积分的概念；2、了解不定积分的性质；3、灵活运用基本积分公式及方法；4、灵活运用换元积分法、分部积分法求不定积分；5、掌握简单的有理函数的积分法。

内容要点：4.1：原函数与不定积分的概念4.2：不定积分的性质和基本积分公式4.3：换元积分法4.4：分部积分法第五章定积分及其应用教学要求：1、理解定积分概念与性质；2、掌握积分上限函数及其导数，掌握牛顿-莱布尼兹公式；3、灵活运用换元积分法、分部积分法求定积分；4、掌握定积分的几何应用。

内容要点：5.1：定积分概念与性质5.2：微积分基本公式5.3：定积分的换元法与分部积分法5.5：定积分的应用第六章常微分方程教学要求：1、了解常微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念；2、掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法；内容要点：6.1：微分方程的基本概念6.2：一阶微分方程。

第五章 定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。

复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。

一、知识网络定积分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧Γ⎪⎩⎪⎨⎧-函数审敛法和计算定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧）（变力作功等其它弧长体积面积微元法二、典型例题例1 . 求极限 xx dtxt xx 2sin )sin(lim2302⎰→。

[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。

[解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2〜2)2(x ，4sin x 〜4x ，)0(→x ，因此再利用洛必达法则有原式=23020)2(sin 1lim2x x dx u x x x ⎰→=540602024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=⎰ =12112lim440=→x x x例2. 求极限 nn n n n n)2()2)(1(1lim⋅⋅⋅++∞→.[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和式∑=∆ni iixf 1)(ξ。

[解] 令 nn n n n n x )2()2)(1(1⋅⋅⋅++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1ln -+⋅⋅⋅++++==]ln )2ln()2ln()1[ln(1n n n n n n -⋅⋅⋅++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1nn n n n ++⋅⋅⋅++++ 因此 ⎰+=∞→1)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-所以 原式=ee 412ln 2=-例3．设)(x f 在[]b a ,上连续，B b a A <<<,求证 ⎰-=-+→ba h a fb f dx h x f h x f )()()()(lim0.[证明1] ⎰⎰⎰-+=-+b a bab a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′令 u h x =+，则⎰⎰++=+hb ha badu u f dx h x f )()(从而⎰⎰⎰-=-+++babah b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(=⎰⎰++-ha ah b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim0b f dx x f h h b b h =⎰+→ )()(1lim 0a f dx x f h ha a h =⎰+→故原题得证.[证明2] 由证明1可知⎰⎰⎰-=-+++→→babahb ha h h hdxx f dx x f dx hx f h x f )()(lim )()(lim 00=)]()([lim 0h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -例4．设)(x f 在[a ，b ]上连续，试证⎰≤≤+∞→=1101)(max ))((lim x f dx x f x ppp[证明] 记A x f x =≤≤)(max 10 ，由连续性可知，存在 ],[0b a x ∈，使 )(x f A =.当0>p 时 ⎰⎰=≥1111)())((A dx A dx x f pp pp对0>∀ε，选取0>δ，使得当 δ<-<00x x 时，有 2)(ε-≥A x f设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ则 ⎰⎰≥111))(())((βαppppdx x f dx x f⎰-≥βαεppdx A 1])2([=pA 1))(2(αβε--因为 当 +∞→p 时,1)(1→-pαβ,故当p 充分大时有 ⎰-=--≥112)2())((εεεA A dx x f pp因此当 p 充分大时有 A dx x f A pp≤≤-⎰11))((ε由ε的任意性知 ⎰=+∞→11))((lim A dx x f ppp例5. 计算⎰+-1arctandx xa xa [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 xa xa t +-=arctan则 t a tta x 2cos tan 1tan 122=+-⋅=, 故 原式=⎰04)2cos (πt a td =t at 2cos │04π+dt t a ⎰402cos π=2a [解法2] 令 t x cos = 原式=2cos 2cos 2cos 2020202a dt t a t t a t d t =-⋅=⎰⎰πππ [解法3] 记 xa xa x +-=)(ω ,分部积分得 原式=⎰+-+-aadx x a axx x 0220)(22111)(arctan ωωω =⎰-adx x a x 0222=2a 例6.计算 ⎰+102)1(dx x xe x[分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.[解法1] 原式=⎰⎰++++-=+-1010101111dx xxe e x xe x dxe x x x x=12210-=+-⎰e dx e e x [解法2] 原式=⎰+-+102)1()11(dx x e x x=⎰⎰+-+10210)1(1dx x e dx x e xx =⎰⎰+-+10102)1(11dx x e de x x x=-+11x e x⎰+102)1(dx x e x +⎰+102)1(dx x e x=12-e例7.证明柯西积分不等式，若)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积，则有⎰⎰⎰≤bab abadx x g dx x f dx x g x f ])(][)([])()([2[分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用，证明方法也类似. [证明] 对任意的实数λ有⎰⎰⎰+=+bababadx x g x f dx x gdx x g x f )()(2)()]()([222λλλ+0)(2≥⎰badx x f上式右端是λ的非负的二次三项式,则其判别式非正,即0])(][)([])()([222≤-⎰⎰⎰babab adx x g dx x f dx x g x f故原式得证 例8.设)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积,试证212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababadx x g dx x f dx x g x f[证明]⎰+badx x g x f 2)]()([=⎰++ba dx x g x f x g x f )]()()][()([=⎰⎰+++babadx x g x f x g dx x g x f x f )]()()[()]()()[(212212]))()(([])([⎰⎰+⋅≤babadx x g x f dx x f212212]))()(([])([⎰⎰+⋅+babadx x g x f dx x g (柯西不等式)=]))(())([(]))()(([212212212⎰⎰⎰++bababadx x g dx x f dx x g x f故 212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababa dx x g dx x f dx x g x f例9．证明0sin 202>⎰πdx x[证明] 令 u x =2⎰⎰=ππ20202sin 21sin du uudx x ]sin sin [2120⎰⎰+=πππdu uu du u u（第二个积分中令 t u ==π）]sin sin [2100⎰⎰++=πππdt t t du u u⎰+-=ππ0sin )11(21udu u u 当 π<<u 0 时，0sin )11(>+-u u u π故 0sin 202>⎰πdx x例10．设)(x f 在 [0，a ] 上连续,且0)0(=f , )(max 0x f M ax ≤≤= ,证明2)(2Ma dx x f a≤⎰[分析] 应该先建立)(x f 与f ´)(x 之间的关系，然后再“放大”估值，拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系. [证明1] 由0)0(=f 和微分中值定理有f f x f +=)0()(´f x =)(ξ´x )(ξ, ),0(x ∈ξ. 故22)()()(a M xdx M xdx f xdx f dx x f aa aa=≤≤'=⎰⎰⎰⎰ξξ [证明2] 由0)0(=f 和牛顿—莱布尼茨公式有)()0()()(0x f f x f dt t f a=-='⎰,于是 Mx Mdt dt t f dt t f x f xx x=≤'≤'=⎰⎰⎰)()()(,故 22)()(a M Mxdx dx x f dx x f aaa=≤≤⎰⎰⎰.例11. 设函数)(x f 在 [0, π]上上连续,且0)(0=⎰πdx x f ,0cos )(0=⎰πxdx x f 。

第五章 定积分【知识点1定积分的相关概念】1.定义1()lim ()nbi iai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰，其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间．说明：定积分的值是常数，只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰．2．定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积．（2）设()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积．注意：函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件．3．定积分的几何意义由曲线()yf x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积记做A ．在区间[,]a b 上()0f x ≥时，()baf x dx A =⎰ 在区间[,]a b 上()0f x ≤时，()ba f x dx A =-⎰在区间[,]a b 上()f x 既取得正值又取得负值时，()baf x dx =⎰上-下1.（2010）0=⎰（ ）2.（2019）0=⎰（ ）【知识点2定积分的性质】性质1．当ab =时，()0baf x dx =⎰．性质2．当ab >时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰．性质3[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．． 说明：该性质对于有限个函数都是成立的． 性质4．()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ （k 是常数）． 性质5．()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性． 性质6．如果在区间[,]a b 上()1f x ≡，则 1b baadx dx b a ==-⎰⎰．性质7．如果在区间[,]a b 上()0f x ≥，则()0baf x dx ≥⎰（a b <）． 推论（1）： 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥，则()()bba af x dxg x dx ≥⎰⎰ （a b <）． 推论（2）：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ （a b <）．性质8．（估值不等式）设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （a b <）． 性质9．（定积分中值定理）如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（a b ξ≤≤）．说明：该公式称为积分中值公式，1()()ba f f x dxb aξ=-⎰称为函数()f x 在区间[,]a b 上的平均值．1.（2016）设()f x 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1122()(0)f x dx f =⎰，证明：存在(0,1),()0f ξξ'∈=使得。

浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 背景介绍浙江省专升本高等数学考试是一项重要的考试，其中定积分是考试中的一个重要内容。

定积分作为微积分的重要概念之一，在数学学科中具有重要的地位和作用。

在浙江省专升本高等数学考试中，定积分部分的内容涉及到定积分的概念、性质、计算方法以及应用，考生需要对这些内容进行深入的理解和掌握。

定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积和”的概念，表示函数在这个区间上的总体积或总面积。

定积分具有线性性、区间可加性、保号性等性质，这些性质在计算和应用中起着重要的作用。

定积分的计算方法包括基本积分法、换元积分法、分部积分法等，考生需要熟练掌握这些方法来解决各种定积分计算问题。

在浙江省专升本高等数学考试中，定积分通常涉及到曲线下面积、物体体积、平均值等应用问题，考生需要将数学知识与实际问题相结合，灵活运用定积分概念和方法来解决这些应用问题。

定积分在浙江省专升本高等数学考试中是一个重要的内容，考生需要认真学习和掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用，以便在考试中取得好成绩。

【字数要求：200】1.2 问题提出在专升本高等数学考试中，定积分是一个重要的内容，涉及到很多基本概念和计算方法。

针对定积分这一内容，总结出相关的问题并进行分析，有助于更好地理解和掌握这部分知识。

在学习定积分时，很多同学会遇到一些共同的问题，比如不清楚定积分的概念是什么，定积分具体包括哪些性质，如何进行计算等等。

这些问题可能会导致学习进度缓慢，影响对定积分知识的掌握和应用。

在专升本高等数学考试中，定积分这一部分内容的问题非常关键。

通过对这些问题的深入剖析和解答，可以帮助考生更加全面地了解定积分的相关知识，提高解题能力和应试水平。

只有明确问题，才能有针对性地进行学习和复习，更好地备战考试。

2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的“累积量”的度量。

浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 考试背景浙江省专升本高等数学考试是为了选拔适合升入本科阶段学习的学生而设立的考试。

这项考试的背景是为了帮助那些想要进入大学深造但没有本科学历的学生实现自己的梦想，为他们提供一个接受高等教育的机会。

通过考试，学生可以证明自己在数学领域的能力，为自己的学业之路打下坚实的基础。

1.2 考试目的考试目的是通过对学生对定积分相关知识的掌握情况进行考核，评判学生在高等数学领域的学习成果和能力水平。

通过考试可以促使学生深入学习定积分的概念、性质和计算方法，提高他们的数学分析和解决问题的能力。

考试目的还包括检验学生在解题时的灵活运用能力，培养他们的数学思维和创新意识。

定积分部分的考试目的是为了帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展打下坚实的基础。

2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是反常积分的基础，也是微积分的一个重要分支。

在数学上，定积分是对一个函数在一个区间上的积分，表示函数在该区间上的总体积或总面积。

定积分的概念最初由牛顿和莱布尼兹提出，是微积分的基础之一。

在几何学中，定积分可以用来求解曲线下面积、曲线长度、曲面面积及体积等问题。

在物理学中，定积分可以用来表示质点的位移、速度、加速度以及作用力等物理量。

在工程学中，定积分可以用来描述电磁场分布、液体流动、结构力学等问题。

数学家们通过严谨的数学推导和定义，将定积分的概念完善并系统化。

对于一般函数，可以用黎曼和来定义定积分，而对于特殊的函数，可以使用其他方法如变限积分、广义积分等来求解定积分。

定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用领域，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

在专升本高等数学考试中，对定积分的掌握非常重要，考生需要深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能灵活运用定积分解决实际问题。

2.2 定积分的性质定积分是微积分中的重要概念，具有许多特殊的性质。

专升本定积分及其应用专升本的小伙伴们，咱们今天来聊聊定积分及其应用这个重要的知识板块。

定积分这玩意儿，一开始接触可能会觉得有点头疼，但只要咱们一步步来，就会发现其实也没那么可怕。

我记得之前有个学生，他在学习定积分的时候那叫一个纠结。

每次上课都瞪着大眼睛，一脸迷茫。

有一次做练习题，他愣是盯着一道定积分的题目看了半天，手里的笔不停地转啊转，就是不知道从哪儿下手。

我走过去一看，发现他连定积分的基本概念都还没搞清楚呢。

咱们先来说说定积分的概念哈。

简单来讲，定积分就是一个数值，它表示的是曲线下的面积。

比如说，有一条曲线，咱们要算出它和坐标轴之间围成的那块面积，这时候定积分就派上用场啦。

定积分的几何意义可重要啦。

它能帮我们解决很多实际问题呢。

就像计算不规则图形的面积，要是没有定积分，那可真是让人头疼。

比如说，要计算一个形状奇奇怪怪的花坛的面积，咱们就可以通过建立合适的定积分表达式来搞定。

再说说定积分的性质。

性质这东西就像是定积分的“小规则”，咱们得清楚。

比如说，定积分的线性性质，它能让我们在计算复杂的定积分时，把问题拆分成简单的部分来处理。

还有定积分的换元法，这可是个解题的好工具。

我给大家举个例子啊，假设要计算一个定积分，原来的积分变量让问题变得很复杂，这时候咱们巧妙地换一个变量，就可能让问题一下子变得简单清晰。

定积分的应用那可真是广泛。

在物理上，计算变力做功就经常用到定积分。

比如说，一个力的大小是不断变化的，要计算这个力在一段距离上做的功，定积分就能大显身手啦。

在经济领域，定积分也能帮我们计算总成本、总收入之类的。

比如说，知道了成本或者收入关于产量的函数，通过定积分就能算出在一定产量范围内的总成本或者总收入。

回到最开始提到的那个学生，后来经过反复的讲解和练习，他终于搞明白了定积分，做题的时候也不再那么迷茫了。

所以啊，大家别害怕，只要认真学，定积分一定能被咱们拿下！总之，定积分及其应用在专升本考试中可是重点，大家一定要好好掌握，多做练习题，多思考，相信大家都能学好定积分，在考试中取得好成绩！加油哦！。