3.4-基本不等式导学案

§3.4基本不等式2a bab +≤（第一课时） 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提升学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

因为4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系理解基本不等式2a bab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的。

《3.4 基本不等式》教学案 5三维目标一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教具准备多媒体及课件教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？(教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情)推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？(沉静片刻)生应该先从此图案中抽象出几何图形.师此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？(请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评)(其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形)师同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.(此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来) ［过程引导］师设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师一定吗？(大家齐声：不一定，有可能相等)师同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生每个直角三角形的面积为1，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为ab22b2a ，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.师这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师回答得很好.(有的同学感到迷惑不解)师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.(有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明)师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b) 2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.(教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言)生作商，用商和“1”比较大小.师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.(此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生)［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.(学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨)师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.(大家齐声)一致.(此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用) 板书： 一般地，对于任意实数a 、b ，我们有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.［过程引导］师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.(同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a 2+b 2≥2ab 中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引)师 当a ＞0，b ＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a 、b 代替此不等式中的a 、b . 生 完全可以.师 为什么？生 因为不等式中的a 、b ∈R.师 很好，我们来看一下代替后的结果.板书：ab b a ≥+2即2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2b a +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解)师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？ (此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式)要证：ab ba ≥+2，①只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. (此处以填空的形式，突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度) ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ，B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？(本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) ［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？生 可证△A CD ∽△B CD ，所以可得ab CD =. 生 由射影定理也可得ab CD =.师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2b a +分别又有什么几何意义呢？生ab 表示半弦长，2b a +表示半径长.师 半径和半弦又有什么关系呢？生 由半径大于半弦可得abb a ≥+2.师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0，b ＞0).课堂小结 师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ，当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0，b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.(此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高)师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112+，ab ，2b a +，222b a +的大小关系，并证明你的结论.分析：(方法一)由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.(方法二)创设几何直观情景.设A C=a ，B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.板书设计 基本不等式2b a ab +≤的证明一、实际情景引入得到重要不等式 课时小结a 2＋b 2≥2ab二、定理若a ＞0，b ＞0，课后作业则ab ba ≥+2证明过程探索：。

§3.42a b+≤ (1)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”复习1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.复习2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则2a b +____时，不等式取等号.二、新课导学※ 学习探究探究12a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥-当且仅当a b =时，等号成立. 探究2：你能给出它的证明吗？探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 2a b +的几何解释吗？结论2a b +≤几何意义是“半径不小于半弦”※ 典型例题例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?.※动手试试练1. 0x>时，当x取什么值时，1xx+的值最小？最小值是多少？练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升※学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.两个正数,x y1．如果和x y +为定值S 时，则当x y =时，积xy 有最大值214S .2. 如果积xy 为定值P 时，则当x y =时，和x y +有最小值1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若01a <<，01b <<且a b ≠，则a b +、2ab 、22a b +中最大的一个是（ ）.A ．a b +B ．．2ab D ．22a b +3. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．4. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x的值最小，最小值是________. 5. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2. 一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？。

3.4《基本不等式》教案赵晓雪1、本节教材的地位和作用“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。

它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

２、教学目标（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。

（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

（3）情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

３、教学重点、难点根据课程标准制定如下的教学重点、难点重点: 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。

二、教法说明本节课借助平板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启发式教学法创设问题情景，激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的乐趣. 课堂上主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。

通过师生和谐对话,使情感共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。

让学生爱学、乐学、会学、学会。

三、教学设计◆运用2002年国际数学家大会会标引入◆运用分析法证明基本不等式◆不等式的几何解释◆基本不等式的应用1、运用2002年国际数学家大会会标引入如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

（展示风车）正方形ABCD 中,AE ⊥BE,BF ⊥CF,CG ⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=＿＿，Rt △ABE,Rt △BCF,Rt △CDG,Rt △ADH 是全等三角形，它们的面积之和是S ’=＿从图形中易得，s ≥s ’,即 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？问题2：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理解）一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当（重点强调）a=b 时，等号成立（合情推理）问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） Ａ ＢＣ Ｅ Ｄ Ｇ Ｆ a Ｈ b 22a +b 222a b ab+≥222a b ab+≥设计意图（1）运用2002年国际数学家大会会标引入，能让学生进一步体会中国数学的历史悠久，感受数学与生活的联系。