《基本不等式及其变形》导学案讲解

基本不等式及其应用一.知识结构(博闻强记，是一项很强的能力)1.(6Z>0, /7>0),当且仅当_______________ 时，等号成立.其中£±2和J亦分别称为正数Q, 的______________ 和_______________ 22.基本不等式的重要变形：a1 +h2 >_____________ (a, b e R) <^> ah<______________ ；~~~ - _______________ (a, b w R J o ab< ________________ ・2经典例题：下列不等式在°、b>0时一定成立的是__________ ・(1)斗斫斗\迂a+b 2 V 2 (3)亦叫斗、臣2 a + b V 2 (2)販W斗斗」土a+b 2 V 23.均值定理已知兀，y e R+,贝ij：(1)若x+ y = S (和为定值)，则当x= y时，积与取得最________ 值一；4(2)若x y = P (积为定值)，则当x=y时，和兀+y取得最________ 值2".利用基本不等式求最值吋，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二.题型选编(熟能生巧，在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1:求下列各题的最值：4(1)x>3,求f(x) =——+ x的最小值；x-3(2)x w R,求/(x) = sin2x + l+——? -------- 的最小值；siir 兀 + 14(3)0<兀V—,求y(x) = x(4-3x)的最大值；1 9(4)已知x>(Xy >0,且一+ —= 1，求兀+ y的最小值。

变式练习：1.设a,bwR,且d + b = 3，贝|」2"+2〃的最小值是A. 6B. 4V2C. 2V2D. 2A /61 44. 若兀,y 是正实数，则(x+y)(—I —)的最小值为兀y A. 6 B ・ 9 C. 12 D ・ 155. 若正数d 、"满足= a+ /? + 3 ,则a + h 的取值范围是A. [9,+00)B. [6,+oo)C. (0,9]D. (0,6)6. 设ywR,且4)只+4尢歹+兀+6 =(),则x 的取值范围是A. -3<x<3B. -2<x<3C. x<-2i^x>3D. x<-3 i&x>27. 下列函数中最小值是4的是4 4A. y = x + —B. y = sin xd -----------x sin x C. y = 2I+V + 21-v D. y = x 1 — -------- 3,无H 0JT + 18. 若关于x 的方程9”+(4 + a)・3*+4 = 0有解，则实数a 的取值范围是A. (-00,-8]u[0,+00)B. (-oo,-41C. (-8,41D. (-00,-8]9. 已知xv 丄，则函数y = 4x-2^—^—的最大值 ___________________ 。

基本不等式及其应用讲义一、知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤)2(b a +2 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥)2(b a +2 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 注意：不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈)2,0( 的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( )题组二：教材改编2．例1(2)]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．823．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.题组三：易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.326．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5三、典型例题题型一：利用基本不等式求最值命题点1：通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 命题点2：通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2思维升华：(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．题型二：基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．跟踪训练：某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．题型三：基本不等式的综合应用命题点1：基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 命题点2：求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 思维升华：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.94D.256注意：利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 四、反馈练习1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg )41(2 x >lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5 4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( ) A ．4 B ．22 C ．8 D ．165．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a >15 C ．a <15 D ．a ≤157．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y的最小值为________． 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？成立，故(a＋1)(b＋2)的最小值为27.。

高中数学《基本不等式》的教学设计与实践内容摘要：本人根据新课标要求，培养学生的数学六大核心素养，以些为设计主线，从内容分析、目标分析、学情分析、策略分析、过程分析以及评价分析六个方面谈谈我对本节课的设计的反思。

关键词：新课标能力培养教学策略教学过程《基本不等式》是高中数学的重点内容，许多教师在设计、组织本节教学时常以常规模型开展教学，本人在收集并研究其他课例的基础上，从不同角度设计本节课的教学过程，下面是本人的实践过程一、分析内容。

从整体上看，相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是建立方程不等式的基础。

本节课是一类基本不等式，这类基本不等式是学习不等式的基本性质的基础。

它是解决其它不等式问题的重要方法。

这种基本功能主要体现在三个方面：第一，从数和运算的角度进行分析。

不等式涉及代数的基本量与基本运算，从几何学的角度可由图形性质直观地理解。

其次，可从多角度证明基本不等式。

基本不等式的代数结构是数学模型思想的范例。

二、教学目标，重点，难点。

教学目标目标是：能够抽象描述基本不等式，利用不等式性质证明基本不等式，通过几何直观和合探究说明基本不等式的几何解释。

能用基本不等式求解简单极小值问题。

在此基础上，教学重点是：基本不等式的定义证明，几何解释，以及用基本不等式解决简单最值问题。

难点是基本不等式几何解释和基本不等式求解简单最值问题。

三、学情探析首先，从学生所掌握的知识上看，学生在前几节课里已经学会了不等式的基本性质，可以用坐差法证明不等式，但由于缺乏代数证明的经验，学生很难正确地运用不等式的性质，对不等式进行等价变形。

需要老师的引导和示范。

其次，基本不等式的几何解释对学生来说也不容易理解，需要数形结合才能理解。

最后，用基本不等式解决两类最值问题时，需要理解和识别数量关系，这与学生熟悉的方程模型、刻画问题等量关系不同。

四、教学策略在教学过程中，基本不等式的获得、证明和简单应用作为明线，数学思维方法渗透和体验作为暗线，按照观察、抽象、归纳、探究、应用的方法进行教学。

第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。

高中数学基本不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是围绕高中数学中的重要内容——基本不等式进行讲解。

基本不等式不仅是解决数学问题的有力工具，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择能力具有重要意义。

通过本节课的学习，学生将掌握基本不等式的性质、应用条件及其在解题中的应用策略。

2、教学对象本次教学的对象是高中二年级的学生。

经过之前的学习，他们已经具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，但对于基本不等式的理解可能还停留在表面，缺乏深入的认知和灵活的运用。

因此，本节课将针对学生的实际情况，通过启发式教学、案例分析等方式，帮助学生更好地理解基本不等式，提高解题能力。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解基本不等式的定义及其证明过程，掌握基本不等式的表达形式；（2）能够运用基本不等式解决实际问题，如求最值、证明不等式等；（3）掌握基本不等式的应用条件，了解其在解决高中数学问题中的重要性；（4）通过基本不等式的学习，提高学生的运算速度和准确率，增强代数变形能力。

2、过程与方法（1）采用启发式教学方法，引导学生主动探究基本不等式的性质和证明过程，培养学生的自主学习能力；（2）通过典型例题的讲解和练习，使学生掌握基本不等式的应用方法，提高解决问题的策略选择能力；（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中碰撞出思维的火花，相互学习，共同提高；（4）注重培养学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维方式，提高学生的逻辑推理能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识；（2）通过基本不等式的学习，使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实用主义观念；（3）培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成认真审题、规范解题的良好习惯；（4）教育学生遵循数学的客观规律，尊重事实，树立正确的价值观；（5）通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高学生的综合素质。

基本不等式考纲要求会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情分析1.利用基本不等式求最值是命题热点．2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．3.各种题型都有，难度中、低档. 教学过程基础梳理一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件： .2．等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R)；b a ＋ab ≥ (a ，b 同号)．ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)2 a 2＋b 22(a ，b ∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为： ． 四、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 .(简记：积定和最小) 2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)双基自测1．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值 为 ( ) A.13 B.12C.34D.232．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2433．(教材习题改编)在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的 是 ( ) A ．y ＝－x －4x B ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋34．已知x >0，则y ＝x 2－4x ＋1x 的最小值为________．5．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条 件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用， 例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典例分析考点一、利用基本不等式求最值[例1] (2011·重庆高考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝ ( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·济南模拟)若x >0，则x ＋4x的最小值为 ( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4[冲关锦囊]利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.考点二、利用基本不等式求条件最值 [例2] (2011·浙江高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________若本例条件变为：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012·郑州模拟)设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( ) A ．6 B ．4 2C ．2 6D ．8[冲关锦囊]利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.考点三、基本不等式的实际应用 [例3] (2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·嘉兴模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，造价40元/米，两侧墙砌砖，造价45元/米，顶部造价每平方米20元．试算：仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？[冲关锦囊]在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．一、选择题1．(2012·杭州模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值222．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2012·福州模拟)设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256 B.83 C.113D ．44．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题6．(2011·上海十三校联考)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．7．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．三、解答题8．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .9．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．10．(2012·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。

《基本不等式》导学案勃利县高级中学 数学组 刘瑜使用说明：1.课前结合教材内容完成问题导学部分。

2.课上师生共同合作探究，答疑解惑。

教学目标：1.知识与技能：掌握基本不等式，会应用此不等式求最值，能够运用基本不等式解决生活中简单的实际问题，培养抽象概括思维能力。

2.过程与方法：通过对课前老师设定的问题，同学间进行合作探究，体验交流与合作的方法从易到难、从简单到复杂、从特殊到一般，体验学习抽象概括的方法 。

3.情感态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，引发学生学习和使用数学知识的兴趣，培养合作共赢的学习态度，理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

一．，创设情境问题导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？提问2：那4个直角三角形的面积和呢？提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？提问4：当时，用去替换 中的 会得到什么结论？二．新知讲授重要不等式：基本不等式：0,0>>b a b a ,222a b a b +≥⋅m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所例1、（1）用篱笆围一个面积为1002用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大三．合作探究交流结论：积定和最（）和定积最（）四．创设新问题深入讨论假如你生在旧社会的农民，地主有一天发善心，给你一根绳子，允许你圈一块矩形的地，圈出多大面积就都送给你，聪明的你发现了，地主的地有一块是靠墙的，怎么样才能圈出更大的面积呢？模拟实验假设给你一条有80cm长的绳子，你有本事圈出多大的地呢？每个同学都有自己的方案，一组6人找到本组最佳的方案，一共6组交流出全班最佳的方案抽象转化为数学问题已知：求解：例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m深为3 m。

《基本不等式》导学案姓名：学习目标学习难点学习方法 1. 探索并了解基本不等式的形成过程；2. 掌握用基本不等式求一些实际的应用问题．3. 能初步运用求一些函数的最值。

1. 基本不等式形成过程2. 基本不等式的使用要点和构造方式自主预习 合作探究 启发引导二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）大正方形的面积是______， 4个直角三角形的面积之和是____； 即： 。

ab b a 222≥+重要不等式 ；（a ，b ∈ ） 当且仅当a b 时，等号成立。

由完全平方差公式0)(2≥=-b a ； 得≥+22b a 。

特别的，当a>0,b>0时 用 替换 ； 用 替换 。

基本不等式 2ba ab +≤；（a>0,b>0）当且仅当a b 时,等号成立。

如图：AC=a,BC=b 则：OD= ，CD= 。

几何意义： 。

时，当ab b a 222=+对基本不等式的理解 若a ，b 是两个正数，称2b a +为a ，b 的 平均数； 称ab 为a ，b 的 平均数； 故又称基本不等式为 。

数学意义： 。

（三）探究“基本不等式”的使用要点 例题呈现解题过程小结例1：（1）张先生打算在平地上用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时篱笆最省，最短的篱笆是多少？解：（2）张先生打算在平地上用36米长篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大，最大面积是多少？解：基本不等式使用要点：一 、二 、三 。

（四）探究“基本不等式”的构造方式例2：若x>3,当x 为何值时，函数 有最小值，并求其最小值。

三、即时练习 1.2.若0<x<2,当x 为何值时，函数 有最大值，并求其最大值。

四、课堂总结1.本节课你能感受到哪些数学思想？ 。

2.基本不等式的常用两种变形式： 。

3.基本不等式的使用要点： 。

31)(-+=x x x f )24()(x x x f -=《基本不等式》导学案姓名：二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）（二）探究“重要不等式”与“基本不等式” 1.自主学习“重要不等式”（1）代数解释：由完全平方差公式0≥；得≥+22ba 。

§基本不等式（一）本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。

一、【学习目标】1、理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；2、理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第97—100页内容，然后回答问题提问1:我们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 、，我们有222a b ab +≥，当且仅当时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当时, 222a b ab +=(2)特别地,如果,0,0>>b a 用和代替、，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2.2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证： 练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证：例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。

基本不等式中不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论(1)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋a b≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫或ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)类型一、直接应用类此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【母题一】若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 【解析】由于x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81．【答案】81 【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】B3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20类型二、配凑定值类(恒等变形类)此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项【母题二】已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．【解析】∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．【答案】－2解答技巧三：凑项【母题三】若x ＞2，则函数y ＝x ＋1x －2的最小值为________． 【解析】∵x ＞2，∴y ＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3时取等号． 【答案】4 解答技巧四：凑系数【母题四】若0＜x ＜83，则函数y ＝x (8－3x )的最大值为________．【解析】∵x ＞2，∴y ＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当x ＝43时取等号． 【答案】163【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b 2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 2 4．已知函数f (x )＝2xx 2＋6． (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号． 由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞．类型三、条件最值类利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【母题五】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 【答案】4 【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．【解析】⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)．【答案】C7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y2)2，解得－233≤x ＋y ≤233． 【答案】233类型四、基本不等式的应用1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时等号成立．【答案】52．创新题规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1．f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1．【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m ＞0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ．又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1 x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立． 【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18．当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A ．72 B ．4 C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43 B ．53 C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16ba －b的最小值是________． 【解析】∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．32 C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b ＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25yx ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．52【解析】∵a ＞1，b ＞1，∴lg a ＞0，lg b ＞0．lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b24＝lg ab 24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3．【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时等号成立． 【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233． 【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号．【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a＋3b)＝7＋(3ab＋4ba)≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号．【答案】7＋4 3。

§3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么2ba+≥ab,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD２=CA·CB,即CD=ab.这个圆的半径为2ba+，显然，它大于或等于CD，即2ba+≥ab， 其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2b a +（a ≥0,b ≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a,b >0）（1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2b a +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2y x +≥xy(1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ，∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy为定值p时，有2yx+≥p,∴x+y≥2p.上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2p. 注意：（1）在应用均值不等式ab≤2ba+求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b ≥,等号当且仅当a=b时成立.［答案］ 1.2ba+≥ab a=b2ba+ab2.(1)最大值42M(2)最小值2p思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小［例1］已知0＜a＜1,0<b<1,则a+b,2ab,a2+b2,2ab中哪一个最大？［分析］由已知a,b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］方法一：∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大． 方法二：令a=b =21,则a+b =1,2ab =1, a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21，∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 ［答案］ A［解析］ ∵a >2,∴a -2>0, 又∵m=a +21-a =(a -2)+21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4， ∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12 +3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )= x12+3x 的最大值.［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为x12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x12<0,3x <0,所以-x12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0,所以f (x )= x12+3x ≥2x x312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立.所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立.所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值.［解析］ ∵x >0,∴x +x4≥2xx 4⋅=4,∴y =2- (x +x4)≤2-4=-2.当且仅当x =x4，即x =2时等号成立，y取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值.［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0,所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立，所以当x =61时，函数y 取得最大值121.［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值.［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3,∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2,当且仅当31-x =x -3,即x -3=1,x =4时，等号成立. ∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5.命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x=(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .∵x -50≥0， ∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0）， 则S =()251010+t t=100201025++t t t=20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多. ［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ ［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)；（2）P ＝- (2x ＋x32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a1+b9=1,求a+b 的最小值.［误解］ ∵a >0,b >0 ∴a1+b9≥2ab9=6ab1,∴6ab1≤1，∴ab1≤361，∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12.［正解］ ∵a >0,b >0，a1+b9＝1，∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+ba ab 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16. 当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则ba ab +的取值范围是（ ）A.（2，+∞）B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞) ［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,ba >0,∴ba ab +≥2b aa b ⋅=2. 当且仅当ba ab =，即a=b 时，等号成立.2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ） A.a =±2 B.a =2 C.a =-2 D.a =4 ［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A. 21 B.aC.2abD.a 2+b 2 ［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a , ∴a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21.解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大.二、填空题 4.若x >0,则x +x2的最小值为 .［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x +3y 的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x >0,3y >0.∴3x +3y ≥2y x 33⋅=2yx +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ） A.y=x +x1 B.y =sin x +xsin 1,x ∈ (0,2π)C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件； B 中，∵x ∈ (0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)； D 中x >0, y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab +2三个数的大小顺序是（ ）A. 2b a +≤ab ≤b a ab +2B. ab ≤2b a +≤b a ab +2C. ba ab +2≤ab ≤2b a +D. ab ≤ba ab +2≤2b a +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，ba ab +2=3.2,∴选C.解法二：已知2b a +≥ab ，又ab -ba ab +2=()ba abb a ab +-+2=()2ba ba ab+-≥0∴ab ≥ba ab +2. 也可作商比较abb a ba ab ab22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（ ） A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2abC.ba 11+ >ab2 D.ba ab +≥2［答案］ D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断. 用排除法： A:a=b 时不满足； B:a<0,b <0时不满足； C:a <0,b <0时不满足； D:ab >0,ba >0,ab +ba ≥2baa b ⋅=2. 4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32 B.22C.3D.6 ［答案］ D ［解析］ ∵x +3y =2, ∴x =2-3y . ∴z =3x+27y=32-3y+27y＝y279+27y≥2yy27279⋅＝6，当且仅当y279=27y,即27y =3,∴33y=3, ∴3y =1, ∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6.5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ） A.x =2b a + B.x ≤2b a +C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0. ∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +.等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2 ［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6.当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号.7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ）A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q ［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0， Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ，R =lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ，∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ） A.40 B.10C.4D.2 ［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy ,∴xy ≤44y x + =440=10,当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”， ∴xy ≤100,即（xy ）max =100, ∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 . ［答案］42 l［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +，∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l .当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）. ①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2.［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立. ③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2, 即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立. ④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a1+b1≥2,即证abb a +≥2,即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy ,∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立.12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是 ［答案］332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1 而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］∴x+y 的最大值为332.三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a21+t 的大小.［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1， ∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a21+t ≥log a t =21log a t ,∴21log a t ≤log a 21+t .14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a1，β=b +b1,求α+β的最小值.［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1, α+β= (a +a1)+ (b +b1)=(a+b )+ (a1+b1)=1+abb a +=1+ab1,∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5(当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x2+y5的最小值.［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10.则x2+y5=1052x y +≥10102xy =2，所以 (x2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10,x2+y5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。

基本不等式：2ba ab +≤（导学案）一、【学习内容】能利用基本不等式求代数式的最值。

二、【学习目标】1、理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件；2、能利用基本不等式求代数式的最值；3、培养学生举一反三的逻辑推理能力，丰富学生数形结合的想象力。

三、重点、难点：两个不等式的证明和区别，“当且仅当ba=时取等号”的数学内涵。

四、【学习过程】（一）问题情境（见教材P97的图3.4-1)：这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?【探究】：1、正方形ABCD的面积为S多少？2、四个直角三角形的面积和S'为多少？3、S和S’有什么样的不等关系？（二）知能自主1、重要不等式：一般地，对于任意实数ba,，我们有___________，当且仅当____时，等号成立。

2、基本不等式：当ba,是任意正实数时，ba,的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤ab_____，当且仅当_____时，等号成立。

【思考】你能否对两个不等式进行证明吗？能用几何意义进行解释吗？3、最值定理（已知0,>y x ），○1如果p xy =（积为定值），则p y x 2≥+，当且仅当y x =时，和y x +取得最小值p 2；○2如果S y x =+（和为定值），则42S xy ≤，当且仅当y x =时，和xy 取得最大值42S 。

【注】：用均值不等式求最值的条件:一、正；二、定；三、相等。

用均值不等式求最值的规则：和定积最大，积定和最小。

4、小试牛刀（1）设y x ,满足40=+y x ，且y x ,都是正数，则xy 的最大值是（ ）A 、400B 、100C 、40D 、20（2）已知正数b a ,满足10=ab ，则b a +的最小值是（ ）A 、10B 、25C 、5D 、102（三）小组合作1、已知0>x ，求xx 1+的最小值2、已知0,>y x ，且14=+y x ，求xy 的最大值3、已知R n m ∈,，10022=+n m ，求mn 的最大值小结：利用基本不等式求最值时注意三点：○1各项为正；○2寻求定值：○1求和式最小值时应使积为定值；○2求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、“1”的代换是常用的解题技巧)；○3考虑等号成立的条件。