2016届高三上学期联考试卷(一)数学【文】试卷及答案

“四校”2015—2016学年度高三第一次联考 理科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项： ⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知集合，，则（）．A． B． C． D．在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（）．．．．． （）．．．．．的值是（）． A B． C． D． 5、已知，则下列不等式一定成立的是（）． A． B． C． D．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）．A．? B．?C．? D． 是实数，则函数的图像不可能是（）．，若动点满足，则的最小值为（）． A．．．．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）．A．B．C．或D．或 某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）．A．5B． 4C． 3D． 2 11、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为 A．．．． ,，若对任意的实满足 ，使得则最大值为 B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共小题，每小题5分，满分0分． 中，，，则． 14、设A＝= 15、已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 . 为实数，若则的最大值是_________. 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 1 (本题满分1分)在中，角的对边分别是满足 （1）求角的大小； 等差数列的公差不为零，，且成等比数列，求的前项和. 18、(本题满分1分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）． （Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为. （1）若直线互相垂直，且在第一象限，求圆的方程； （2）若直线的斜率都存在，并记为，求证： . （I）若处的切线为，的值； （II）求的单调区间； （Ⅲ）若，求证：在时， 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．55．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．B ．1C ．D ．212．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为______．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为______．15．若对于任意实数t ，圆C 1：（x +4）2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣t ）2+（y ﹣at +2）2=1都没有公共点，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g （x ）=3[f （x ）]3﹣4f （x ）+m 在x 上有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •（），n=1，2，3，…，且数列{c n }为单调递减数列，求λ的取值范围．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．21．已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；交集及其运算．【分析】利用函数的单调性可得：A=[0，+∞），B=，即可得出A∩B．【解答】解：A={y|y=x}=[0，+∞），B={y|y=（）x，x＞1}=，则A∩B=，故选：A．2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数单位的幂运算，然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z满足z•（1+i2015）=i2016，可得z（1﹣i）=1，可得z===．对应点的坐标（）．故选：A．3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件【考点】特称命题；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．【解答】解：A．若x=3，则23=8，32=9，此时2x＞x2不成立，故A错误，B．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e≤0不成立，故B错误，C．当c=0，当a＞b时，“ac2＞bc2”不成立，即“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件错误，故C错误，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件成立，故D正确，故选：D4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得到程序的功能，由茎叶图写出所有的数据，计算得分超过20分（不包括20分）的场数即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算得分超过20分（不包括20分）的场数，有茎叶图知，各场得分的数据为：14，17，27，21，28，20，26，26，31，44，∴根据茎叶图可知得分超过20分（不包括20分）的场数有7场．故选：B．5．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由和差角的公式化简可得y=2cos2（x ﹣），由三角函数图象变换的规则可得．【解答】解：∵y=cos2x ﹣sin2x=2cos （2x +）=2cos （2x ﹣）=2cos2（x ﹣），∴φ的一个可能取值为．故选：D ．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有24﹣2=14种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有2×2=4种，∴P==．故选：B ．7．已知实数x ，y 满足，且目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4，则k 等于（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4时，直线kx ﹣y +2过点（4，0），由此求得k 的值．【解答】解：如图，由题意可知，直线y=x +z 经过可行域，且在y 轴上的截距的最小值为﹣4．∴直线kx ﹣y +2过点（4，0），从而可得k=．故选：D ．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，解得A=，由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA==，A为三角形内角，解得A=，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC=bcsinA=bc≤．故选：C．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．【考点】数列的求和；向量的共线定理．【分析】通过=n（n∈N*）可知=+，与=x+y比较可得x=，进而计算可得结论．【解答】解：∵=n（n∈N*），∴=+，又∵=x+y，∴x=，∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，∴则数列{（n+1）x}的前n项和为，故选：C．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，可得=，再利用抛物线的定义，结合抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，可得c2+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．【解答】解：抛物线C1：y=x2的焦点F（0，1），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，∴=，∵直线y=﹣1是抛物线的准线，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C2的一个焦点三点共线时最小，∴c2+1=5，∴c=2，∵c2=a2+b2，∴b=，a=1，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的，作出图形，结合图形代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的．即三棱锥A 1﹣MCD ．∴V=××2×2×2=． 故选C ．12．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015，分类讨论以确定f （x ）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可． 【解答】解：∵f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣，∴f ′（x ）=1﹣x +x 2﹣x 3+…+x 2014﹣x 2015， 当x=﹣1时，f ′（x ）=2016＞0，当x ≠﹣1时，f ′（x ）=，故当﹣2＜x ＜﹣1或﹣1＜x ＜1时，f ′（x ）＞0； 当1＜x ＜2时，f ′（x ）＜0；故f （x ）在[﹣2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减， 又∵f （﹣2）＜0，f （1）＞0，f （2）＜0，∴f （x ）在（﹣2，1）和（1，2）内各有一个零点， 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为 40 ．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数a 的值，从而求得65x 的系数．【解答】解：∵（+）5的展开式中的通项公式为 T r+1=•a r •，令=0，求得r=3，即常数项为•a 3=80，求得a=2．故展开式中的通项公式为 T r+1=•2r•，令r=2，可得则65x 的系数为40，故答案为：40．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由基本不等式可得0＜xy ≤，令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得最小值．【解答】解：正数x ，y 满足2x +y=1， 可得2x +y ≥2， 即有0＜xy ≤，则4x 2+y 2+=（2x +y ）2﹣4xy +=1﹣（4xy ﹣），令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得t=时，4t ﹣取得最大值，且为﹣，则4x2+y2+在xy=时，取得最小值，且为1+=．故答案为：．15．若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．【解答】解：圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1的圆心在直线y=ax﹣2上，∴要使圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1没有公共点，必须使圆心C1（﹣4，0）到直线y=ax﹣2的距离大于两圆半径之和，即d=＞2，∴a＜﹣或a＞0．故答案为：a＜﹣或a＞0．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[，）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系．【分析】利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（，0），|φ|＜，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．【解答】解：由图知T=4（﹣）=2π，∴ω=1，∴f（x）=sin（x+φ），∵f（）=0，∴+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，k∈Z．又|φ|≤，∴φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）．由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[，1）上的每一个值，对应着[﹣，]上的两个x值，又g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m=0，⇔m=﹣3[f（x）]3+4f（x）有4个不同的零点，令f（x）=t，则m=﹣3t3+4t．∵m′=﹣9t2+4=﹣9（t+）（t﹣），∴m=﹣3t3+4t在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，而当t=时，m=；当t=时，m=；当t=1时，m=1，结合图象可知，对于m∈[，）上的每一个值，对应着t=f（x）∈[，1）上的两个值，进而对应着[﹣，]上的4个x值．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式a n代入c n=2n•（﹣λ），由c n+1﹣c n分离λ后，求出﹣的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a 3=2a 1+3a 2，即为2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，可得2q 2﹣3q ﹣2=0，解得q=2（﹣舍去）， 则a n =a 1q n ﹣1=2n ；（Ⅱ）c n =a n •（）=2n •（），由数列{c n }为单调递减数列，可得则c n+1﹣c n =2n+1•（﹣λ）﹣2n •（）=2n •（﹣﹣λ）＜0对一切n ∈N *恒成立，即﹣﹣λ＜0，即λ＞﹣==，当n=1或2时，n +取得最小值，且为3，则﹣的最大值为=，即有λ＞．即λ的取值范围是（，+∞）．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X 的分布列及数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm ；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，数学期望E（X）=0×+1×+2×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A﹣PD﹣C的正弦值可求．【解答】解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又OG∥BD，∴OG⊥AD，∴OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．A（），P（0，0，），B（），E（），D（），C（，，0）．∴，是平面ABCD的一个法向量，设AE与底面ABCD所成角为θ，则sinθ=|cos|==；（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，，=（，，﹣）．再设平面PCD的一个法向量为，由，得，取z=1，则x=﹣1，y=﹣1，∴．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值的绝对值为=．∴二面角A﹣PD﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据e=，2a+2c=8+4，求解即可；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），求出的坐标，然后求的值即可；（Ⅲ）先把四边形MF1NF2面积表示出来，然后求其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，2a+2c=8+4，∴a=4，c=2，∴b=2，故椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣4，0），∴直线PA的方程为y=，∴M（0，）．同理，直线QA的方程为，∴N（0，），又F 1（﹣2，0），∴，，∴=12+（Ⅲ）|MN |=||=||=||=|，∴四边形MF 1NF 2的面积S==，∵|y 0|∈（0，2]，∴当y 0=±2时，S 有最小值8．21．已知函数f （x ）=e﹣ax 2（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性；（Ⅱ）若f （x ）≤0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x ＞0时，求证：对任意的正整数n 都有f （）＜n!x ﹣n ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f （﹣x ）=f （x ）；（Ⅱ）不等式可整理为a ≥恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x ）=，求出导函数g'（x ）=﹣（2x +1），得出函数的单调性，求出最大值；（Ⅲ）若a=0，f （x ）=，得出x n ＜n!e x ，利用数学归纳法证明不等式对一切n ∈N *都成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， ∵f （﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数；（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x ∈（﹣∞，0）时， f （x ）=﹣ax 2≤0恒成立，∴a ≥恒成立，令g （x ）=，g'（x ）=﹣（2x +1），当x ∈（﹣∞，）时，g'（x ）＞0，g （x ）递增，当x ∈（，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）递减，∴g（x）的最大值为g（﹣）=4e﹣2，∴a≥4e﹣2，（Ⅲ）若a=0，f（x）=e，当x＞0时，f（x）=，f（）=e﹣x＜n!x﹣n．∴x n＜n!e x，（i）当n=1时，设g（x）=e x﹣x，（x＞0），∵x＞0时，g'（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）是增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即e x＞x，（x＞0）所以，当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k（k∈N*）时，不等式成立，即x k＜k!•e x当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）有h'（x）=（k+1）!•e x﹣（k+1）x k=（k+1）（k!•e x﹣x k）＞0故h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）为增函数，所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!•e x，这说明当n=k+1时不等式也成立，根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N*都成立，故原不等式对一切n∈N*都成立．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT2=AE•BF．【解答】证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，∴∠CTF+∠CBF=180°，∴B，C，T，F四点共圆，∴∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，∴=①，△PAE∽△PTC，∴=②①×②=由切割线定理可得PT2=PA•PB，∴CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．【解答】解：（1）∵（θ为参数），∴cosθ=，sinθ=，∴．∴曲线C的普通方程为．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将l的参数方程代入得7t2+22t+14=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=2．∴t1，t2符号相同．∴|AB|=|t1﹣t2|===．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=时，a∈R；当x≠时，||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，当x＜﹣3时，f（x）=x﹣4，f（x）＞3，∴无解当﹣3≤x≤时，f（x）=3x+2，f（x）＞3，∴＜x，当x＞时，f（x）=4﹣x，f（x）＞3，∴x＜1，∴解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立，当x=时，a∈R，当x≠时，∴||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，∵=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），∴||的最小值为，∴a≤．2016年9月14日。

2015学年第一学期高三调研测试一数学（理科）本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合{}24M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=A.{|}x x -<<21B.{|}x x <-2C.{|}x x <1D.{}2xx <2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z = A.1- B.1D.23.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠== 则边长AC 为1- B.1 C.2 4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y +=5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128B.129C.131D.1346.将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 A.2 B.12 C.12- D.2-7.函数cos 622x xxy -=-的图像大致为 8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A.[3,3]-B.11(,][,)33-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞D.11[,]33-9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .203 B .163C .86π-D .83π-10.42()(1x x+-的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.1211.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3 12.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e1,41 C.⎥⎦⎤⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2015-2016学年高三（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．函数y=log2（2x﹣x2）的增区间为．3．设复数z=，则=．4．执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=．5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．若θ为锐角，且，则sinθ=．8．若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=．9．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如上，则y的表达式是．10．已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为．11．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．12．已知公差不为0的正项等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于．13．过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．14．已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．16．如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDF；（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．18．已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在处取得极值．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．三、附加题（一）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分．【A．选修4-1：几何证明选讲】21．如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．求证：∠DAP=∠BAP．【B．选修4-2：矩阵与变换】22．设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：=1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【C．选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ﹣）=a截得的弦长为2，求实数a的值．【D．选修4-5：不等式选讲】24．（2013•宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+≥4．（二）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．26．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．2015-2016学年高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}【点评】本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．函数y=log2（2x﹣x2）的增区间为（0，1）．【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由﹣x2+2x＞0可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数y=log2（﹣x2+2x）的单调增区间，只要求t=﹣x2+2x在0＜t＜2的单调增区间．【解答】解：由﹣x2+2x＞0，得0＜x＜2，即定义域为x∈（0，2）．设t=﹣x2+4x（0＜x＜2），则当x∈（0，1）时，t为增函数；又y=log2t（0＜t＜2）也为增函数，故函数的单调递增区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．3．设复数z=，则=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】首先把复数z化简，然后运用=|z|2计算即可．【解答】解：z==．所以．故答案为2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算是采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．4．执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．【考点】程序框图．【专题】计算题．【分析】由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比．【解答】解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1．而棱长为3的正方体的体积为27．故所求概率为．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【考点】特称命题．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0∴x2+（1﹣a）x+1=0有两个不等实根∴△=（1﹣a）2﹣4＞0∴a＜﹣1，或a＞3故答案为：（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．若θ为锐角，且，则sinθ=．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sinθ=sin[（θ﹣）+]的值．【解答】解：∵θ为锐角，且，∴cos（θ﹣）==，∴sinθ=sin[（θ﹣）+]=sin（θ﹣）cos+cos（θ﹣）sin=+=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．8．若直线y=kx是y=lnx的切线，则k=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y'=，当x=1时，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴故答案为：．【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如上，则y的表达式是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先利用函数的周期确定ω的值，进一步利用最值确定A和K的值，最后确定Φ的值，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的图象，则：T=π进一步求出ω=2．解得：A=，K=1当x=时，函数达到最大值，由于，|φ|＜Φ=所以：【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求A、ω、和Φ的值10．已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可．【解答】解：由题意=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣1，2）∵与垂直，∴=（﹣3λ﹣1）（﹣1）+2λ×2=7λ+1=0，解得，故答案为：【点评】本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题．11．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a 的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题．12．已知公差不为0的正项等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，a5=10，则S5等于30．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设正项等差数列{a n}的公差为d≠0，由于lga1，lga2，lga4也成等差数列，可得2lga2=lga1+lga4，化为a1=d，又a5=10，可得a1+4d=10，联立解出，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：设正项等差数列{a n}的公差为d≠0，∵lga1，lga2，lga4也成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，∴=a1a4，∴，化为a1=d，又a5=10，∴a1+4d=10，联立解得a1=d=2，则S5==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a 和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．14．已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇函数．【专题】压轴题．【分析】先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）==，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．【解答】解：∵M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}∵N={b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}∴D=M∩N=（1，]∵是定义在R上的奇函数∴f（0）=0可得n=0∴f（x）=，又在D内没有最小值∴f（x）==，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m＞0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m＞，故答案为m＞【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【考点】半角的三角函数；余弦定理的应用．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先根据角A的范围和正弦值求出余弦值，然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行化简，最后代入角A的余弦值即可．（2）先根据三角形的面积公式求出b与c的乘积，然后将数据代入余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA即可求出b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和、倍角公式、三角形的面积公式以及余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，不容易记忆，一定要强化记忆，这样才能做到做题时的游刃有余．16．如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDF；（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）欲证AE∥平面BFD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BFD内一直线平行，设AC∩BD=G，连接FG，根据中位线定理可知FG∥AE，而AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，满足定理所需条件；（2）欲证平面DBF⊥平面BCE，根据面面垂直的判定定理可知在平面DBF内一直线与平面BCE垂直，根据线面垂直的判定定理可证得直线AE⊥平面BCE，而FG∥AE，则直线FG⊥平面BCE，而直线FG⊂平面DBF，满足定理条件．【解答】证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG．由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．又∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG∥AE．∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；（2）∵∠AEB=90°，∴AE⊥BE．又∵直线BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．又BC∩BE=B，∴直线AE⊥平面BCE．由（1）知，FG∥AE，∴直线FG⊥平面BCE．又直线FG⊂平面DBF，∴平面DBF⊥平面BCE．【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于基础题．17．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115﹣|t﹣15|．（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（Ⅱ）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w （t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，；（Ⅱ）因为；①当1≤t＜15时，当且仅当，即t=5时取等号②当15≤t≤30时，，可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，所以当t=30时，w（t）取最小值为由于，所以该城市旅游日收益的最小值为万元．【点评】考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．18．已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）由题意得到c=，tan30°==，可得b、a值，即得椭圆的方程．（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入的解析式化简得恒为定值，故有，从而解出m值．【解答】解：（I）由题意可得c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，故椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣0=k（x﹣1），即y=kx﹣k．代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1•x2=．∵=（m﹣x1，﹣y1）•（m﹣x2，﹣y2）=（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）=（m2+k2）+（1+k2）﹣（m+k2）（）=恒为定值，∴，∴m=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由恒为定值，得到，是解题的关键和难点．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题．【分析】（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．已知函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），且在处取得极值．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）因为函数f（x）=的图象过点（﹣1，2），可把（﹣1，2）点坐标代入，得到一个关于b，c的等式，再因为函数在处取得极值，所以函数在处的导数为0，由此又得到一个关于b，c的等式，两个等式联立，就可解出b，c．（Ⅱ）利用导数求最大值，因为f（x）为分段函数，所以可按x的范围，分段求导数，找到极大值，再比较区间[﹣1，e]上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，由题意得：，即，解得：b=c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=①当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2），解f′（x）＞0得0＜x＜；解f′（x）＜0得﹣1＜x＜0或＜x＜1∴f（x）在（﹣1，0）和上单减，在（0，）上单增，由f′（x）=﹣x（3x﹣2）=0得：x=0或x=，∵f（﹣1）=2，f（）=．f（0）=0，f（1）=0，∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f′（x）=alnx，当a≤0时，f′（x）≤0；当a＞时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．∴当a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．【点评】本题考查了应用导数求极值，最值，属于导数的应用，为高考必考内容．三、附加题（一）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，共计20分．【A．选修4-1：几何证明选讲】21．如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．求证：∠DAP=∠BAP．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】利用同弧上的圆周角与弦切角相等，推出∠APB=90°，利用AD⊥CP，推出∠DAP=∠BAP．【解答】证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA=∠PBA．…2分因为AB为圆O直径，所以∠APB=90°，所以∠BAP=90°﹣∠PBA．…6分因为AD⊥CP，所以∠DAP=90°﹣∠DPA，所以∠DAP=∠BAP．【点评】本题考查圆的切线与圆的内接三角形的关系，考查逻辑推理能力．【B．选修4-2：矩阵与变换】22．设a＞0，b＞0，若矩阵A=把圆C：x2+y2=1变换为椭圆E：=1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设点P（x，y）为圆C上一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′），得P′（ax，by）在椭圆E上，化简所得方程与圆C为同一方程，比较系数可得a，b的值；（2）设A﹣1=，由逆矩阵定义建立关于n、m、p、q的方程组，解之可得n、m、p、q的值，从而得到逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）设点P（x，y）为圆C：x2+y2=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）则═，所以．…2分因为点P′（x′，y′）在椭圆E：上，所以，这个方程即为圆C方程．…6分因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=．…8分（2）由（1）得A=，设A﹣1=，得AA﹣1===．．∴m=，n=p=0，q=，可得A﹣1=…10分【点评】本题已知单位圆在矩阵A的作出下变换成的图形，求变换的矩阵A，着重考查了圆的方程、椭圆的标准方程和逆变换与逆矩阵等知识，属于基础题．【C．选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ﹣）=a截得的弦长为2，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【专题】选作题．【分析】先将圆与直线的极坐标方程化为普通方程，并求出r及圆心到直线的距离，利用即可求出答案．【解答】解：∵圆C：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2．∵直线l：ρsin（θ﹣）=a，展开得，∴，即直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离d==|1+a|．因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2﹣d2=．即4﹣（1+a）2=3，化为a2+2a=0，解得a=0，或a=﹣2．故实数a的值为0，或﹣2．【点评】本题考查了极坐标方程化为普通方程直线与圆相交弦长问题，正确化简及充分利用是解题的关键．当然也可以利用弦长公式去求．【D．选修4-5：不等式选讲】24．（2013•宣武区校级模拟）已知a，b是正数，求证：a2+4b2+≥4．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式，先证明a2+4b2≥4ab，再利用基本不等式，即可证得结论．【解答】证明：因为a，b是正数，所以a2+4b2≥4ab（当且仅当a=2b时，取等号）．…2分所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4（当且仅当ab=时取等号，亦即a=1，b=时，取等号）．即a2+4b2+≥4．…10分【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．（二）【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得•=0，•=0，即可证得结论；（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．【解答】（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），∴=（，0，），=（0，1，0），=（﹣1，0，1）．∴•=0，•=0，所以⊥，⊥．所以AE⊥BC，AE⊥BP．因为BC，BP⊂平面PBC，且BC∩BP=B，所以AE⊥平面PBC．（2）解：设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0．因为=（﹣1，2，0），=（0，3，﹣1），所以．令x=2，则y=1，z=3．所以=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量．…8分因为AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．所以cos＜，＞==．根据图形可知，二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．…10分【点评】本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键．26．已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及S n=a1+a2+a3+…+a n；（2）试比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【考点】二项式定理的应用；数学归纳法．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）通过对x取1，2求出a0及S n（2）先通过不完全归纳猜出两者的大小，然后用数学归纳法证明．注意三歩：第一步证基础第二步证递推关系第三歩总结．【解答】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n﹣2n；（2）要比较S n与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；猜想：当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4时结论成立，假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k﹣1）2k+2k2，两边同乘以3得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（（k+1）﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，S n＞（n﹣2）2n+2n2；当n=2，3时，S n＜（n﹣2）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，S n＞（n﹣2）2n+2n2【点评】本题考查赋值法是求系数和的重要方法；考查数学归纳法证明与自然数有关的命题．。