河南省郑州外国语学校2015届高三上学期周练(一)数学(文)试题 Word版含答案

2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值范围为．17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC ，可得1＞cosC ＞0，0＜A ＜，0＜B ＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB ＞sin （﹣A ）=cosA ＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC ，可得1＞cosC ＞0，0＜A ＜，0＜B ＜，，∴0＜＜B ＜，∴sinB ＞sin （﹣A ）=cosA ＞0，∴1＞＞0，∴＞0． 故选：B ．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程． 故选A ．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin （ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值． 6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣1【分析】由题意可得，点P 在MN 的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O （0，0），点P（0，1），点M （x 1，y 1），则点N （﹣x 1，y 1），由得=，求出最小值． 【解答】解：由题意可得，点P 在MN 的垂直平分线上，不妨设单位圆 的圆心为O （0，0）， 点P （0，1），点M （x 1，y 1），则点N （﹣x 1，y 1），﹣1≤y 1＜1∴=（x 1，y 1﹣1），=（﹣x 1，y 1﹣1），．∴===2﹣，∴当y 1=时的最小值是故选：B ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值范围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值范围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出|的取值范围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2||设P 点坐标为（x 0，y 0）∵在椭圆=1中，离心率e== 由圆锥曲线的统一定义，得|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0﹣a+ex 0|=|2ex 0|=|x 0|∵P 点在椭圆=1上，∴|x 0|∈[0，4]，又∵x ≠0，y ≠0，可得|x 0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值范围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题． 18．对于定义在区间D 上的函数f （X ），若存在闭区间[a ，b]⊊D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b]，都有f （x 1）=c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b]时，f （x 2）＜c 恒成立，则称函数f （x ）为区间D 上的“平顶型”函数．给出下列说法： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值； ②函数f （x ）=x ﹣|x ﹣2|为R 上的“平顶型”函数； ③函数f （x ）=sinx ﹣|sinx|为R 上的“平顶型”函数；④当t ≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数． 其中正确的是 ①④ ．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c ，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的范围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠E OB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。

2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤0 2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0] 3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（）A．100B．200C．360D．4005．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1B．C．2D．7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）A．0B．1C．3D．48．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17B．18C．20D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1B．C．D．211．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sin x+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f （2015）＝（）A．0B．2014C．4028D．4031 12．（5分）在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a10＝．14．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）已知，那么cos2α＝．16．（5分）给定方程：（）x+sin x﹣1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2b sin A＝a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B 两点，直线l：y＝mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2＝1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h （x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，问函数y＝f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|x﹣2＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【解答】解：M＝{x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选：A．3．（5分）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3＝0，即m＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，焦点为F，|PF|＝25，则|ab|＝（）A．100B．200C．360D．400【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y＝﹣5，|PF|＝b+5＝25，∴b＝20，又点P（a，b）是抛物线x2＝20y上一点，∴a2＝20×20，∴a＝±20，∴|ab|＝400，故选：D．5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a1a2a3＝10，且，则a2＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴S1＝a1，S5＝5a3，又∵，∴a1a3＝5又∵a1a2a3＝10∴a2＝2故选：A．6．（5分）已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A．1B．C．2D．【解答】解：长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，长方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以侧视图的面积为：2．故选：C．7．（5分）如图所示的程序框图中，若f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）A．0B．1C．3D．4【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）＝的值，在同一坐标系，画出f（x）＝x2﹣x+1，g（x）＝x+4的图象如下图所示：由图可知：当x＝﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17B．18C．20D．21【解答】解：设z＝x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z＝x2+y2＝9+9＝18，故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）＝f（3）＝1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y＝f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）【解答】解：由函数的图象可知，当x＞0时，函数f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜0时，函数f′（x）＜0，函数单调递减，且当x＝0时，函数取得极小值f（0），∵f（﹣1）＝f（3）＝1，∴当0≤x＜3时，f（x）＜1，当﹣1＜x＜0时，f（x）＜1，综上不等式f（x）＜1的解为当﹣1＜x＜3时，即不等式的解集为（﹣1，3），故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1B．C．D．2【解答】解：∵函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期T＝＝2，则BC＝＝1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：＝2，＝∴＝2•＝2||2＝2×12＝2．故选：D．11．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2＝2a时，恒有f（x1）+f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3+sin x+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f （2015）＝（）A．0B．2014C．4028D．4031【解答】解：∵f（x）＝x3+sin x+1，∴f′（x）＝3x2﹣cos x，f''（x）＝6x+sin x 又∵f''（0）＝0而f（x）+f（﹣x）＝x3+sin x+1+﹣x3﹣sin x+1＝2，函数f（x）＝x3+sin x+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2＝0时，总有f（x1）+f（x2）＝2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）＝2×2015+f（0）＝4030+1＝4031．故选：D．12．（5分）在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y＝3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN＝，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2＝2，∴a﹣b＝1，∴a＝b+1，∴0≤b≤2，∴＝（a，3﹣a）•（b，3﹣b）＝2ab﹣3（a+b）+9＝2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b＝1时有最小值4；当b＝0，或b＝2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若，则a10＝96．【解答】解：在等比数列{a n}中，由，得，∴．故答案为：96．14．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是＝50．故答案为：5015．（5分）已知，那么cos2α＝．【解答】解：∵⇒sin cosα+cos sinα＝⇒cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2﹣1＝．故答案为：．16．（5分）给定方程：（）x+sin x﹣1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sin x﹣1＝0的一个解，则满足（）α＝1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1＝﹣sin x，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y＝﹣sin x的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sin x＝﹣1，因此函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sin x﹣1＝0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x＝1﹣sin x，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sin x≤1且x＝﹣1不是方程的解∴函数y＝（）x﹣1与y＝﹣sin x的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2b sin A＝a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc＝0得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，∴由余弦定理得：cos A＝＝，∵A为三角形内角，∴A＝，由2b sin A＝a，利用正弦定理化简得：2sin B sin A＝sin A，即sin B＝，则B＝；（Ⅱ）由A＝B，得到AC＝BC＝x，可得C＝，由余弦定理得AM2＝x2+﹣2x••（﹣）＝14，解得：x＝2，则S＝AC•BC•sin C＝×2×2×＝2．△ABC18．（12分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．（Ⅰ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（Ⅱ）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解答】解：用（x，y）（x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2、5）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3、5）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）共25个；（1）．则事件A包含的基本事件有：（2，1）、（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）、（4，3）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、共有10个；则．）（2）．设：甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C．事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的基本事件有：（1，1），（1，2）、（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2.3），（3，1），（3，2），（4，1）共有10个；则P（B）＝＝所以P（C）＝1﹣P（B）＝1﹣＝．因为P（B）≠P（C），所以这样规定不公平．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC ＝90°，Q 为AD的中点，所以N 为AC 的中点．…（2分）当M 为PC 的中点，即PM ＝MC 时，MN 为△P AC 的中位线，故MN ∥P A ，又MN ⊂平面BMQ ，所以P A ∥平面BMQ ．…（5分）（2）由（1）可知，P A ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ﹣BMQ ＝V A ﹣BMQ ＝V M ﹣ABQ ，取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，，…（7分） 又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ．又，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，，…（10分） 所以V P ﹣BMQ ＝V A ﹣BMQ ＝V M ﹣ABQ ＝.，…（11分） 则点P 到平面BMQ 的距离d ＝…（12分）20．（12分）已知动点P 到定点F （1，0）和直线l ：x ＝2的距离之比为，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx +n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点（与A ，B 不重合）（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆x 2+y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）设点P （x ，y ），由题意可得，， 整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2＝1相切，可得：，即m2+1＝n2，联立消去y得．，，所以，，＝＝．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y＝g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y＝h （x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝g（x）的“转点”．当a＝8时，问函数y＝f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f′（x）＝2x﹣3+＝，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴x＝时，f（x）＝﹣+ln，极大值x＝1时，f（x）极小值＝﹣2；（Ⅱ）a＝8时，由y＝f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）＝（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）＝f（x）﹣h（x）＝，则F（x0）＝0，F′（x）＝f′x）﹣h′（x）＝（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）＝（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时＜0，∴y＝f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x0＝2时，F′（x）＝（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y＝f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG＝PD，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∵∠EGA＝∠PGD，∴∠EGA＝∠DBA，∴∠DBA+∠BAD＝∠EGA+∠BAD，从而∠PF A＝∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PF A＝90°，则∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA．又∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE＝AB＝5．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△P AB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2＝，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t＝x代入y＝﹣1+2t可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|＝2＝＝，点P直线AB 距离的最大值为，．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m＝5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝5时，，…（3分）由f（x）＞2得不等式的解集为．…（5分）（2）由二次函数y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，该函数在x＝﹣1取得最小值2，因为，在x＝﹣1处取得最大值m﹣2，…（8分）所以要使二次函数y＝x2+2x+3与函数y＝f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…（10分）第21页（共21页）。

郑州外国语学校2015高三数学(理）周练（一）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分。

每小题所给四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设集合{}0,2|<==x y y M x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x N 1|，则“M x ∈”是“N x ∈”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则( )A ．p 是假命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥B ．p 是假命题; 00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥C ．p 是真命题; :(0,),()02p x f x π⌝∀∈>D.p 是真命题; 00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥3．已知f （x ）是R 上的偶函数，将f （x ）的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若(2)1,(1)(2)(3)(2013)f f f f f =-++++=则( ) A ．1 B ．0 C ．—1 D ．—1005.54．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]5．已知函数)3(log )(25.0a ax x x f +-=在),2[+∞单调递减，则a 的取值范围( ) A.]4,(-∞ B.),4[+∞ C. ]4,4[- D. ]4,4(-6.设函数x x x f )41(log )(4-=，x x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则( ) A. 121=x x B. 0＜21x x ＜1 C.1＜21x x ＜2 D. 21x x 2≥7．已知函数f(x)＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22<m<2＋2 2B ．m<2C ．m<2＋2 2D ．m ≥2＋2 28. 已知函数()21(0)x f x a a =⋅+≠,定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题: ①()()F x f x =; ②函数()F x 是奇函数;③当0a <时,若0mn <,0m n +>,总有()()0F m F n +<成立,其中所有正确命题的序号是（ ）A ．②B ．①②C ．③D ．②③9．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．2 10. 已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 （ ） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[2,1]- D ．[2,0]-11. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0 12．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A,B,M ()(),x y x 是f 图象上任意一点，其中()()()1,1x a b R ON OA OB λλλλλ=+-∈=+-向量，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()[],f x a b 在上“k 阶线性近似”．若函数[]112y x x =+在，上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是( ) A．32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ B．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)1+∞， D ． [)0+∞，填空题：本大题共4个小题，每题5分，共20分。

2017-2018学年高三上期周周练六测试卷数 学 （文科）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．集合A=错误！未找到引用源。

，集合B=错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D 错误！未找到引用源。

2．设2cos17),2cos 131,a b c =︒+︒=︒-=则c b a ,,的大小关系是 ( ) A c a b << B.a c b << C. b a c << D c b a << 3.已知错误！未找到引用源。

A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D 错误！未找到引用源。

4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是A. B ． C ． D5. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ）A. 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C 错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

6.抛物线错误！未找到引用源。

上的点到直线错误！未找到引用源。

距离的最小值是（ ） A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

7 .若三棱锥错误！未找到引用源。

的底面是以错误！未找到引用源。

为斜边的等腰直角三角形，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

8.已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,若k 为满足错误！未找到引用源。

的一随机整数，则错误！未找到引用源。

是直角三角形的概率为（ ）（A ）错误！未找到引用源。

2015-2016学年河南省郑州外国语学校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={﹣1，0，1，2，4}，集合∁U M={﹣1，1}，则集合M等于（）A．{0，2} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lgx D．y=x33．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．4．函数，若f（x）=2，则x的值是（）A．B．C．0或1 D．5．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB6．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．107．设A在x轴上，它到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，那么A点的坐标是（）A．（1，0，0）和（﹣1，0，0）B．（2，0，0）和（﹣2，0，0）C．（，0，0）和（，0，0）D．（，0，0）和（，0，0）8．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=09．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④10．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能11．已知定义在实数集上的偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，那么，和之间的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y112．已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f （x）≤1，则c的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线x﹣2y+1=0，则l的方程是．14．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为．15．若，，则log2（a+b）=．16．函数的零点的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在（﹣1，1）上是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．19．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．21．已知点P（2，1）．（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？22．已知圆O：x2+y2=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．2015-2016学年河南省郑州外国语学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={﹣1，0，1，2，4}，集合∁U M={﹣1，1}，则集合M等于（）A．{0，2} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}【考点】补集及其运算．【分析】由C U M={﹣1，1}，可知﹣1∉M，1∉M，可求出M【解答】解：∵C U M={﹣1，1}，故M={0，2，4}，故选D【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lgx D．y=x3【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A．的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，所以不满足条件．B．y=3x为非奇非偶函数，在定义域上单调递增，所以不满足条件．C．y=lgx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，所以不满足条件．D．y=x3为奇函数，在定义域R上单调递增，所以满足条件．故选D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的基本性质，比较基础．3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，且底面圆的半径以及圆柱的高已知，故可以求出底面圆的周长与圆柱的高，计算出其侧面积．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选C【点评】本题考点是由三视图求表面积，考查由三视图还原实物图的能力，及几何体的空间感知能力，是立体几何题中的基础题．4．函数，若f（x）=2，则x的值是（）A．B．C．0或1 D．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行求解即可．【解答】解：若x≤﹣1，由f（x）=2得x+1=2，得x=1，此时不成立，若﹣1＜x＜2，由f（x）=2得x2=2，得x=或x=﹣（舍），此时x=，若x≥2，由f（x）=2得2x=2，得x=1，此时不成立，综上x=，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式分别进行求解即可．5．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有（）A．平面SAC⊥平面SCB B．平面SAB⊥平面ABCC．平面SCB⊥平面ABC D．平面SAC⊥平面SAB【考点】平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线线垂直得到线面垂直，再根据线在面内，得出面面垂直．【解答】解：∵SC⊥AB，AC⊥SC，AC∩AB=A∴SC⊥平面ABC，又SC⊂平面SCB，SC⊂平面SAC∴平面SCB⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC故选：C．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理，关键是找线面的关系，属于基础题．6．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10【考点】斜率的计算公式．【专题】计算题．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．【点评】本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．7．设A在x轴上，它到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，那么A点的坐标是（）A．（1，0，0）和（﹣1，0，0）B．（2，0，0）和（﹣2，0，0）C．（，0，0）和（，0，0）D．（，0，0）和（，0，0）【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【专题】计算题．【分析】根据A在x轴上，设A点的坐标是（x，0，0），根据A到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，写出关于x的关系式，求出点的坐标．【解答】解：∵A在x轴上，∴设A点的坐标是（x，0，0）∵A到点的距离等于到点Q（0，1，﹣1）的距离的两倍，∴|AP|=2|AQ|∴∴x=±1，故选A．【点评】本题考查空间中点的坐标和两点之间的距离，本题解题的关键是根据点的位置，设出点的坐标，设出简单的坐标形式是解题的捷径．8．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C【点评】本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【专题】证明题．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离小于半径，求出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到该直线的距离小于圆的半径得到关于a和b的关系式，然后再根据点与圆心的距离与半径比较即可得到P的位置．【解答】解：由圆x2+y2=1得到圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线与圆相交，所以圆心到该直线的距离d=＜1，即a2+b2＞1即P点到原点的距离大于半径，所以P在圆外．故选B【点评】考查学生掌握直线与圆的各种位置关系所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题的那里．以及会判断点与圆的位置关系．11．已知定义在实数集上的偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，那么，和之间的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先由函数的奇偶性和单调性判断函数的图象特征，再通过比较自变量的大小比较函数值的大小即可【解答】解：∵偶函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是增函数∴|x|越大，函数值就越大∵≥3，∴＞＞∴y1＜y3＜y2故选A【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合运用，解题时要综合分析函数的图象特征，利用图象的对称性和单调性提高解题速度12．已知函数f（x）=log2x﹣2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f （x）≤1，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．【解答】解：由f（x）≤1，得：log2x﹣2log2（x+c）≤1，整理得：，所以x+c≥，即c≥（x＞0）．令（t＞0）．则．令g（t）=，其对称轴为．所以．则c．所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是．故选D．【点评】本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知直线l在x轴上的截距为1，且垂直于直线x﹣2y+1=0，则l的方程是2x+y﹣2=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．【解答】解：垂直于直线x﹣2y+1=0的直线的斜率为：﹣2．直线l在x轴上的截距为1，可知所求直线方程为：y=﹣2（x﹣1）．即：2x+y﹣2=0．故答案为：2x+y﹣2=0．【点评】本题考查直线方程的求法，直线与直线的垂直关系的应用，是基础题．14．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的外接球表面积为6π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π，故答案为：6π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．15．若，，则log2（a+b）=2．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】利用分母有理化以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：若，，可得a+b==2=4．log2（a+b）=log24=2．故答案为：2．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．16．函数的零点的个数为3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】方法1：由f（x）=0，得x2=|x﹣|，转化为2个函数的交点个数问题进行求解即可．方法2：直接由定义解方程f（x）=0即可．【解答】解：方法1：∵函数，∴由f（x）=0，得x2=|x﹣|，作出函数y=x2和y=|x﹣|的图象如图：则两个函数有3个交点，即函数的零点个数为3个．法2：当x≥时，f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2，由f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2=0得x=，当x＜时，f（x）=x2+x﹣=（x+）2﹣由f（x）=（x+）2﹣=0得x+=±=，则x=﹣，即函数有3个零点，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合或定义法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在（﹣1，1）上是减函数，解不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数是奇函数，且单调递减将不等式进行转化即可．【解答】解∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（1﹣x）+f（1﹣x2）＜0得f（1﹣x）＜﹣f（1﹣x2）．∴f（1﹣x）＜f（x2﹣1）．又∵f（x）在（﹣1，1）上是减函数，∴，解得0＜x＜1．∴原不等式的解集为：（0，1）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间角．【分析】（1）在正方体中AD1⊥A1D，又可得AD1⊥A1B1，由线面垂直的判定定理可得；（2）连接B1D1，AB1，可得∠AD1B1即为所求的角，解三角形可得．【解答】解：（1）∵在正方体中AD1⊥A1D，A1B1⊥面ADD1A1，且AD1⊂面ADD1A1，∴AD1⊥A1B1，而A1D，A1B1在平面CDA1B1内，且相交∴AD1⊥平面CDA1B1；（2）连接B1D1，AB1，∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1即为所求的角，而三角形AB1D1为正三角形，故∠AD1B1=60°，∴直线AD1与直线BD所成的角为60°【点评】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定，属中档题．19．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO，先利用三角形中位线定理证明BC1∥DO，从而利用线面平行的判定定理证明所证结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可【解答】解：如图，（1）连接AC1，交A1C于点O，连接DO在△ABC1中，点D是AB的中点，点O是A1C的中点∴BC1∥DO，BC1⊈平面CA1D，DO⊆平面CA1D∴BC1∥平面CA1D（2）∵AC=BC，D是AB的中点∴CD⊥AB∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB∴CD⊥平面AA1B1B，又CD⊂平面CA1D∴平面CA1D⊥平面AA1B1B【点评】本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性21．已知点P（2，1）．（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【考点】点到直线的距离公式．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可．【解答】解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），故过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．若斜率存在，设l的方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0．由已知，过P点与原点距离为2，得=2，解之得k=．此时l的方程为3x﹣4y﹣2=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x﹣4y﹣2=0．（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k l•k OP=﹣1，所以k l=﹣=2．由直线方程的点斜式得y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0，即直线2x﹣y﹣3=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=．【点评】本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于中档题．22．已知圆O：x2+y2=5和定点A（4，3），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（1）求实数a、b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P点的轨迹方程；（2）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，即可求出半径最小的圆的方程．【解答】解（1）连接OQ、OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|=|PA|，所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=5+|PA|2，所以a2+b2=5+（a﹣4）2+（b﹣3）2，故4a+3b﹣15=0．（2）由|PQ|2=|OP|2﹣5=a2+b2﹣5=（a﹣）2+4，得|PQ|min=4．（3）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0，所以r=3﹣，又l′：3x﹣4y=0，联立l：4x+3y﹣15=0得P0（，）．所以所求圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2=（3﹣）2．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1．在复平面内，复数201523Z i i=+-对应的点位于 （ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则()M N =R ð（ ）A ．{x |10＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2} 3．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（ ） A ．－15 B ．15 C ．－75 D ．754．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x －x e －（e 为自然对数的底数），则)6(ln f 的值为（ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－65．已知向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365 B ．6365- C ．6365± D ．5136．执行下图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( ) A ．870 B ．30C ．6D ．37．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，则函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A． B ．12- C ．12D8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92正视图 侧视图xC ．32D ．39. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10131003a a ，296=⋅b b ，则1201578tan1a a b b +=+（ ）A .1B .1- CD10．若点M （y x ,）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则y x 2+的最大值是( )A ．-1B ．12- C ．0D ．111．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是( )A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2， 2015] 12. 已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+∞上是增函数，不等式(1)(2)f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A .[]3,1--B . []2,0-C . []5,1--D . []2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 设a 为324()2313g x x x x =+--的极值点，且函数,0,()log ,0,x aa x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则211log 46f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 ．15．设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()(2)f x f x =-，已知当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（1）()f x 的周期是2； （2）()f x 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的命题的序号是 .DCBAFE三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+ （1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),22f A b c π-=+=，求a 的最小值.18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，22n n S a =- . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设2log n n b a =，11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和T n .若对n ∈N *，()4n T k n ≤+恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED ⊥面ABCD ，3BAD π∠=．(1)求证://BCF AED 平面平面；(2)若BF BD a A BDEF ==-，求四棱锥的体积．20. （本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数． （1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分） 选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的BD AC =，过C 点的圆的切 线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）求证：∠ACE ＝∠BCD ； （Ⅱ）若BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长．23．（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝(t 为参数)恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)的右焦点F ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |·|FB |的最大值与最小值．24. （本小题满分10分） 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x ……………3分 )(x f 的最大值为2 ………………………………………4分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分 （2）由题意；23)(=-A f π，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ……………………………………………………8分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………9分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π………10分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，………………………………11分 当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解： （1）当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 n n a 2=∴ （2）由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n＝n ，则c n ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +， T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1n n +. ∵1n n +≤k(n＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n＋＋.∵n ＋4n＋5＝9，当且仅当n ＝4n，即n ＝2时等号成立，∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k 的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 19．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE ∴面………………3分由BDEF 是矩形//BF DE∴,BF ADE DE ADE ⊄⊂面面//BF ADE∴面,,BC BCF BF BCF BC BF B ⊂⊂=面面……………6分（2）连接AC ，ACBD O =由ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ⊂面 ED AC ∴⊥ ,,ED BD BDEF ED BD D ⊂=面AO BDEF ∴⊥面，………………8分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==，2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅=………………………………………12分 20. 解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. …………………………………4分 (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c3， 即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . ………………10分设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.………………12分 21解：（1）函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/xa x x f ++= a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立③0<a 时，由0)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x xx a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，x xx x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x xx a ，01<<-a 综上所述，常数a 的取值范围01≤<-a …………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g 1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e a e e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<， 因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且 01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg 综上所述，R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ………………12分（22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………（2分）又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………（5分）（Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………（7分）∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3．……………………（10分） （23）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0).直线l 经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………（4分） （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分）当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………（10分） 24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x -------------------------------5分（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ------------------8分4|1|>-∴a 5,3>-<∴a a 或------10分。

2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值范围为．17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值范围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014宜春二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值范围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014焦作一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的范围结合已知数据即可算出|的取值范围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值范围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的范围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014新余二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015陕西模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014湖北校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。

郑州外国语学校2015-2016学年高一上学期期末测试试卷数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}4,2,1,0,1-=U ，{}1,1-=M C U ，则集合=M （）A ．{}2,0B ．{}4,0C ．{}2,4D ．{}4,2,02.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A ．x y =B ．x y 3=C ．x y lg =D ．3x y =3.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A ．4πB ．45πC ．πD ．23π4.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2(2)21()1(1)(2x x x x x x x f ，若2)(=x f ，则x 的值是（）A ．2B ．2±C ．0或1D ．35.在空间四面体SABC 中，AB SC ⊥，SC AC ⊥，且ABC ∆是锐角三角形，那么必有（）A ．平面⊥SAC 平面SCB B ．平面⊥SAB 平面ABCC ．平面⊥SCB 平面ABCD ．平面⊥SAC 平面ABC6.已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（）A ．0B ．8-C ．2D ．107.设A 在x 轴上，它到)3,2,0(P 的距离为到点)1,1,0(-Q 的距离的两倍，那么A 点的坐标是（）A ．)0,0,1(和)0,0,1(-B ．)0,0,2(和)0,0,2(-C ．)0,0,21(和)0,0,21(- D ．)0,0,22(-和)0,0,22( 8.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A ．052=--y xB ．032=-+y xC ．01=-+y xD ．03=--y x9.设n m ,是不同的直线，γβα,,是不同的平面，有以下四个命题：①γβγαβα∥∥∥⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m ∥；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥∥m m ；④αα∥∥m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂，其中，真命题是（）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④10.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点),(b a P 与圆的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都不可能12.已知函数)(log 2log )(22c x x x f +-=，其中0>c .若对于任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f ，则c 的取值范围是（）A ．]41,0(B ．),41[+∞C ．]81,0(D ．),81[+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线l 在x 轴上的截距为1，且垂直于直线012=+-y x ，则l 的方程是________. 14.三棱锥ABC P -三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22，23，26，则该三棱锥的外接球表面积为______.15.若1)32(-+=a ，1)32(--=b ，则=+)(log 2b a ________.16.函数41)(2--=x x x f 的零点的个数为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，且)(x f 在)1,1(-上是减函数，解关于x 的不等式：0)1()1(2<-+-x f x f .18.（本题满分12分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求证：⊥1AD 平面11B CDA ；（2）求直线1AD 与直线BD 所成的角.19.（本题满分12分）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过%1.0，若最初时含杂质%2，每过滤一次可使杂质含量减少31，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知3010.02lg =，4771.03lg =）20.（本题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，BC AC =，点D 是AB 的中点.（1）求证：∥1BC 平面D CA 1；（2）求证：平面⊥D CA 1平面B B AA 11.21.（本题满分12分）已知点)1,2(P .（1）求过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？22.（本题满分12分）已知圆5:22=+y x O 和定点)3,4(A ，由圆O 外一点),(b a P 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =.（1）求实数a 、b 间满足的等量关系；（2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程.。

2018郑州外国语学校高三文科数学周练一一．选择题：1．已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是( )(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 92. ．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝ （ ）A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1 3． 集合A ＝｛x |11+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ） （A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1 （D ）－1≤b ＜2 4.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z}与N ={x |x =4πk ,k ∈Z}之间的关系是 ( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅5. 函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是 （ ）A ．20B ．18C ．3D ．06. 设a=3log 2, b=In2, c=125-,则 ( )A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a7．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 8.已知sin sin αβ>,那么下列命题成立的是( )A.若αβ、是第一象限角，则cos cos αβ>B.若αβ、是第二象限角，则tan tan αβ>C.若αβ、是第三象限角，则cos cos αβ>D.若αβ、是第四象限角，则tan tan αβ>9.已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则 b 的取值范围为( )A．[2+ B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3)10、函数sin()(0,0,||,)2y A x k A x R πωϕωϕ=++>><∈的部分图象如图所示，则函数表达式为 （ ） A.2sin()136y x ππ=-+ B. 2sin()63y x ππ=-C. 2sin()136y x ππ=++ D. 2sin()163=++y x ππ11、已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞C ．11[,)(1,)84+∞D ．11[,)64 12. 已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(,4)x ∃∈-∞-, )(x f 0)(<x g 。

2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. [2,)+∞B. ()2,+∞C. (),0-∞D. (,0]-∞ 3. 设i 是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）A. 100B.200C.360D.400 5.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ）A. 2B.3C.4D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.2C.2D. 227.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a =14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足22230a b c bc --+=，2sin b A a =，BC 边上中线AM 的长为14.（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--. （I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为122x ty t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--2223cos ,22b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分(2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分 解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分 (2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，3,1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=. 2,BQM S ∆=…………………11分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122222,,2121mn mn x x m m -+∆--∆==++ 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++ ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m =22.122||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时6.2n =±经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-= 002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=，则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB- 11 - 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。

郑州外国语学校2012-2013学年上期高三12月末月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

1．设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则 （ ） A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b ==2．集合},{},,sin |{2a a M R x x y y P =∈==.若P M P =⋃,则a 的取值范围是（ ）A ．]1,1[-B ．)1,0()0,1(⋃-C ．)1,0()0,1[⋃-D ．),1(]1,(+∞⋃--∞3．关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()+∞,2,则关于x 的不等式03>-+x bax 的解集为( ) A.()3,2- B.()()+∞⋃-∞-,32, C.()3,2 D.()()+∞⋃-∞-,23,4．平面向量a ，b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒，“m=1”是“()a mb a -⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 如图，给出的是11113599++++的值的一个程序 框图，判断框内应填入的条件是 （ ）A ． 99i <B ．99i ≤ C. 99i >D ．99i ≥6．已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则 ( ) A ．p 是假命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ B ．p 是假命题;00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥C.p 是真命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈>D.p 是真命题00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥7．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ， 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 （ ）A ．16B ．13 C ．23 D ．458．从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =．设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．159．设n m l ,,表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若α⊥l ，α⊥m ，则m l //；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，l m ⊥，则n m ⊥； ③若α⊂m ，n m //，则α//n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为（ ）A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④10.已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－111．已知函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2013)f = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．0 12、设{}n a 是等比数列，公比q =n S 为{}n a 的前n 项和．记*2117,n nn n S S T n a +-=∈N ，设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .14．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为2，一个内角为60的菱形，俯视图为正 方形，那么这个几何体的表面积为____________.15、如图，已知两个同心圆的半径分别为1、2，PQ 是大圆的割线， 它与小圆距P 最近的公共点是M ，则OM OQ ⋅的取值范围是_______．16．给出下列四个命题： ①)42sin()(π-=x x f 的对称轴为;,832Z k k x ∈+=ππ ②函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值为2； ③函数()sin cos 1f x x x =⋅-的周期为;2π ④函数()sin(2)[0,]42f x x ππ=+在上的值域为22[-．其中正确命题的是______.P 第15题郑州外国语学校2012-2013学年上期高三12月末月考数学（文）答题卷填空题答题卡:13. ；14. ；15. ；16. . 三 解答题：（17—21题每题12分，22、23、24题中任选一题10分）17.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，向量)cos ,sin 2(),sin ,(cos A A n A A m -== ，若.2||=+n m18、2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．19. 如图，在四棱锥ABCD S -中，2==AB SA ，SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面SAE ？并证明你的结论．20.已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=,(20)M ，满足MC BM =,点(11)T -，在AC 所在直线上且0=⋅AB AT ． （Ⅰ）求ABC ∆外接圆的方程；（Ⅱ）一动圆过点(20)N -，，且与ABC ∆的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹E 的方程； （Ⅲ）过点A 斜率为k 的直线与曲线E 交于相异的,P Q 两点，满足6OP OQ ⋅>，求k 的取值范围．21. 已知a 为实数，函数)()(23R x ax x x f ∈-=．（1）若5)1(='f ，求a 的值及曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 在区间]2,0[上的最大值．（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，本小题10分 ）22． 选修4—1；几何证明选讲． 如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求AB DC的值； （Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.24.选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1|||.f x x x a =-+- (1)若1a =-,解不等式()3f x ≥；(2)如果,()2x f x ∀∈R ≥，求a 的取值范围．选做题解答：郑州外国语学校2012-2013学年上期高三12月末月考数学（文）参考答案ACBCB DCCAB AB 100； 4；[]2,1-；①②17、解：（1）),4cos(44)sin (cos 224)cos (sin )sin 2(cos ||222π++=-+=++-+=+A A A A A A A n m∴4)4cos(44=++πA ，∴.0)4cos(=+πA∵A 为三角形的内角，∴.4π=A ……………………… 6分（2）由余弦定理知：,cos 2222A bc c b a -+=即 4cos2242)2()24(222πa a a ⨯⨯-+=，解得24=a ，∴8=c ，∴.162282421sin 21=⨯⨯⨯=⨯=∆A bc S ABC……………… 12分19．解:（1）,2===AD AB SA 22==SD SB ，则有222AB SA SB+=，222AD SA SD +=，AB SA ⊥∴，AD SA ⊥ 又A AD AB =⊥∴SA 底面ABCD ，………………………(2分)13S ABCD ABCD V S SA -=⨯四边形122sin 6023=⨯⨯⨯⨯=……………(5分)（2）F 为侧棱SB 的中点时，//CF 平面SAE ． ………………(7分)证法一：设N 为SA 的中点，连FC NE NF ,,，则NF 是SAB ∆的中位线，AB NF //∴且AB NF 21=，又//CE 且AB CE 21=， NF CE //∴且NF CE =，∴四边形CENF 为平行四边形， NE CF //∴，⊂NE 平面SAE ，⊄CF 平面SAE ，//CF ∴平面SAE ． ………………(12分)证法二：设M 为AB 的中点，连FC MC MF ,,，则MF 是SAB ∆的中位线，SA MF //∴，⊂SA 平面SAE ，⊄MF 平面SAE ，//MF ∴平面SAE ．同理，由AE CM//，得//CM 平面SAE ．又M MC MF = ，∴平面//FMC 平面SAE ，又⊂CF平面FMC ，//CF ∴平面SAE ． ……………………………(12分)20．解：（Ⅰ） 0=⋅AB AT AT AB ∴⊥,从而直线AC 的斜率为3-．所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，得点A 的坐标为(02)-，，(2,0)BM MCM Rt ABC =∴∆为外接圆的圆心又rAM ===．所以ABC ∆外接圆的方程为:22(2)8x y -+=．（Ⅱ）设动圆圆心为P ，因为动圆过点N ，且与ABC ∆外接圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为，半焦距2c =的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹方程Γ为221(0)22x y x -=<． (Ⅲ)PQ 直线方程为：2y kx =-,设1122(,),(,)P x y Q x y由222(0)2x y x y kx ⎧-=<⎨=-⎩得22(1)460(0)k x kx x -+-=< 222122122212122101624(1)04016012261k k k k x x k x x k k OP OQ x x y y k ⎧⎪⎪-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪∴+=<⎨-⎪⎪=>⎪-⎪+⎪⋅=+=>⎪-⎩解得：1k <<- 故k的取值范围为(1)-21.解：(1)23)(ax x x f -=则ax x x f 23)(2-=' 523)1(=-='a f ， 1-=∴a又当1-=a时，23)(x x x f +=，2)1(=f ，所以，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(52-=-x y 即35-=x y ．……………………………………（2）令023)(2=-='ax x x f ，解得01=x ，322a x =， 当032≤a，即0≤a 时，在)2,0(上0)(>'x f ，)(x f 在]2,0[上为增函数， a f x f 48)2()(max -==∴ 当232≥a，即3≥a 时，在)2,0(上0)(<'x f ，)(x f 在]2,0[上为减函数， 0)0()(max ==∴f x f当2320<<a，即30<<a 时，在)32,0(a 上0)(<'x f ，在)2,32(a 上0)(>'x f ， 故)(x f 在]32,0[a 上为减函数，在]2,32[a上为增函数， 故当)0()2(f f ≥即048≥-a 即20≤<a 时，a f x f 48)2()(max -==当)0()2(f f <即048<-a 即32<<a 时，0)0()(max ==f x f综上所述，max84,2()0,2a a f x a -≤⎧=⎨>⎩……………………… 22．（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．证明：（1）D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠， ∴CED ∆∽AEB ∆，ABDCEB ED EA EC ==∴，23.解：23．（1）1C 的普通方程为10)2(22=++y x ，—————3分2C 的直角坐标方程为06222=--+y x y x —————5分（2）相交，公共弦所在的直线方程01=-+y x ，圆1C 的圆心到直线的距离为223，所以公共弦长为22—————10分24.解：⑴ 当1a =-时，()11f x x x =-++.由()3f x ≥得11 3.x x -++≥当1x -≤时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3(,]2-∞-． 当11x -<<时,不等式化为113x x -++≥,不可能成立，其解集为∅．当1x ≥时, 不等式化为113,x x -++≥即23x ≥，其解集为3[,)2+∞． (3分)综上，()3f x ≥的解集为3(,]2-∞-3[,)2+∞． (5分)⑵(方法一)()|1|||f x x x a =-+-≥|1|a -， (7分) ∴|1|a -≥2，∴a ≥3或a ≤－1. (10分)(方法二)若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件．若()()21,1,1,121,1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪<=-<<⎨⎪-+⎩≥≤，则()f x 的最小值1a -≥2，∴a ≤－1.若()()21,11,1,121,x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪>=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，则()f x 的最小值1a -≥2，∴a ≥3． (8分)∴a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞ (10分)FED CBA。

河南省郑州外国语学校2013届高三12月月末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分．1．（5分）设a ，b 为实数,若复数,则（ ） A ． B ． a =3，b=1 C ． D ． a =1，b=3考点: 复数相等的充要条件．分析：先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．解答：解：由可得1+2i=（a ﹣b ）+（a+b ）i ，所以，解得，，故选A ．点评: 本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 2．（5分）集合P=｛y ｜y=sinx ，x∈R},M={a，a 2｝．若P∪M=P，则a 的取值范围是（ ）A ． ［﹣1，1]B ． (﹣1，0）∪（0，1)C ． ［﹣1,0）∪（0，1）D ． （﹣∞，﹣1]∪(1，+∞）考点: 并集及其运算．3797161分析： 由于集合P={x ｜﹣1≤x≤1｝，M={a,a 2｝，且 P∪M=P，可得M ⊆P ，从而得到a 的取值范围．解答：解：∵集合P={y｜y=sinx，x∈R｝={x|﹣1≤x≤1｝,M={a，a2｝，且P∪M=P，∴M⊆P，∴解得﹣1≤a＜1且a≠0，故a的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1)故选：C点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的并集的定义，判断M⊆P是解题的关键，属于基础题．3．(5分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（2，+∞),则关于x的不等式的解集为（)A．（﹣2，3）B．（﹣∞,﹣2）∪（3,+∞）C．（2,3）D．（﹣∞，﹣3）∪（2,+∞）考点:其他不等式的解法．3797161专题：计算题．分析：根据所给的不等式的解集，看出不等式中两个字母系数之间的关系，利用穿根得到结果．解答：解：因为x的不等式ax﹣b＞0的解集为（2，+∞)，所以a大于0，b=2a，所以关于x 的不等式的解集可以利用穿根得到结果是(﹣∞，﹣2）∪（3，+∞)故选B点评:本题考查分式不等式的解法和一元一次不等式的解法，本题解题的关键是看出a，b之间的关系．4．（5分)（2013•成都模拟)已知平面向量，满足，与的夹角为60°,则“m=1"是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;数量积判断两个平面向量的垂直关系．3797161专题：证明题．分析：由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1"⇒“”与“"⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．解答:解：∵向量，满足,与的夹角为60°，∴=1，•=1当m=1时,==﹣•=0故当时,﹣m •=1﹣m=0，故m=1故“m=1”是“”的充要条件故选C点评:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据已知条件判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1"的真假，是解答本题的关键．5．（5分）（2012•包头一模）如图,给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是( ）A．i≤99B．i＜99C．i≥99D．i＞99考点：程序框图．3797161专题：规律型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99,即小于等于99的数满足循环条件,大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值,由循环变量的初值为1,步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是:i≤99故选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误．6．（5分）（2012•葫芦岛模拟）已知f(x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈(0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，)，f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈(0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f(x）＞0D．p是真命题,￢p:∃x0∈（0,），f（x0）≥0考点：复合命题的真假；命题的否定．3797161专题:应用题．分析：由三角函数线的性质可知,当x∈（0，）时，sinx＜x可判断p 的真假,根据全称命题的否定为特称命题可知￢p．解答:解：由三角函数线的性质可知,当x∈（0,）时，sinx＜x∴3sinx＜3x＜πx∴f(x)=3sinx﹣πx＜0即命题p:∀x∈（0,）,f（x）＜0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知￢p：∃x0∈（0,），f （x0)≥0故选D点评：本题看出命题真假的判断,本题解题的关键是先判断出条件中所给的命题的真假，本题是一个基础题．7．（5分）(2012•辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为( ）A．B．C．D．考点：几何概型．3797161专题：计算题；压轴题．分析：设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围,利用几何概率的求解公式可求解解：设AC=x，则BC=12﹣x答：矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于20cm2的概率P==故选C点评：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题8．（5分）从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM｜=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为（）A．6B．8C．10D．15考点：抛物线的简单性质．3797161专题：计算题．分析:根据抛物线方程设出点P的坐标，根据｜PM｜=5求得|y0｜，最后利用三角形面积公式求得答案．解解：设P （，y）答:则|PM｜=+1=5所以|y0｜=4所以△MPF的面积=×4×5=10故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对基础知识的灵活运用和数形结合的数学思想的运用．9．（5分）设l，m，n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α,则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n；③若m⊂α,m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为( ）A．①②B．①②③C．②③④D．①③④考点：平面的基本性质及推论．3797161分析：选项①结论是根据直线与平面垂直的性质定理得出的故其正确，选项②根据由三垂线定理的逆定理可证，选项③n也可能在平面α内时不正确,选项④举反例，如正方体共顶点的三个平面．解答：解：选项①，可以根据直线与平面垂直的性质定理得出的，故其正确；选项②，根据由三垂线定理的逆定理可证可知正确；选项③,n在平面α内时不正确;选项④，若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β，不正确，如正方体共顶点的三个平面；故选A．点评:本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定等有关知识，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．10．（5分）已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax（a∈R)，若对任意实数m,直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f(x）的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0)B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣1,0）∪（0，+∞）D．a∈R且a≠0，a≠﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．3797161专题：计算题．分析：先将条件“对任意实数m直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x）的切线”转化成f'（x）=﹣1无解，然后求出2sinxcosx+2a=﹣1有解时a的范围，最后求出补集即可求出所求．解答：解:∵对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线∴曲线y=f（x）的切线的斜率不可能为﹣1即f’(x）=2sinxcosx+2a=﹣1无解∵0≤sin2x+1=﹣2a≤2∴﹣1≤a≤0时2sinxcosx+2a=﹣1有解∴对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f(x）的切线，则a的取值范围是a＜﹣1或a＞0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及转化的数学思想，解题的关键是对条件“对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x)的切线”的理解，属于基础题．11．（5分）（2012•淮南二模）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f(x)=2f（2)，若y=f（x﹣1)的图象关于直线x=1对称,且f（1）=2，则f（1003）=( ）A．2B．3C．4D．6考点：抽象函数及其应用；函数的值．3797161专题：函数的性质及应用．分析：由函数f(x﹣1）的图象关于直线x=1对称且由y=f(x﹣1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=﹣2可求f（2）=0,从而求得函数的周期,利用所求周期以及偶函数的性质即可求解．解答：解：：∵函数f(x﹣1)的图象关于直线x=1对称且把y=f（x﹣1）向左平移1个单位可得y=f(x）的图象，∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f(x）为偶函数．∵f（x+4）﹣f（x）=2f(2），令x=﹣2可得f（2）﹣f（﹣2)=2f(2），则f（2）=0．从而可得f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，∴f（1003）=f（250×16+3）=f（3）=f（﹣1)=f（1）=2，故选A．点评:本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值,函数周期的求解是解答本题的关键所在，属于中档题．12．（5分)设｛a n}是等比数列,公比q=，S n为{a n｝的前n 项和．记，n∈N*，设T n0为数列{T n}的最大项，则n0=（) A．3B．4C．5D．6考点:数列递推式;等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．3797161专题：综合题；等差数列与等比数列．分析:首先用公比q和a1分别表示出S n和S2n,代入T n易得到T n的表达式，再根据基本不等式得出n0．解答:解:设等比数列的首项为a1，则a n=a1（）n﹣1，S n =∴==•[+﹣17]∵+≥8,当且仅当=，即n=4时取等号，所以当n0=4时，T n有最大值．故选B．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）等差数列｛a n｝中，若a1+a2=4，a10+a9=36，则S10= 100 ．考点：等差数列的前n项和．3797161专题:计算题．分析：要求S10,根据等差数列的和公式可得，只需求a1+a10，而由已知a1+a2=4，a10+a9=36可知只要把两式相加，再利用等差数列的性质可求解解：∵a1+a2=4，a10+a9=36答：∴a1+a10+a2+a9=40由等差数列的性质可得，a1+a10=a2+a9∴a1+a10=20由等差数列的前n 项和可得，故答案为:100点评:本题主要考查了等差数列的性质（若m+n=p+q．则a m+a n=a p+a q）的应用，考查了等差数列的前项和公式，灵活运用性质是解决本题的关键．14．（5分)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 4 ．考点：由三视图求面积、体积．3797161专题：计算题．分析：由题意求出菱形的边长,由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，求出正四棱锥侧面积，即可求解．解答:解:一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，所以菱形的边长为：1,由三视图可得，几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成，底面边长为1,侧面的底边长为1，斜高为1，侧棱长为:=，所以几何体的表面积为：=4．故答案为：4．点评:本题是基础题，考查三视图推出几何体的判断，几何体的表面积的求法，注意视图的应用．15．（5分）如图，已知两个同心圆的半径分别为1、2,P(x1,y1)，Q（x2，y2）是大圆的割线,它与小圆距P最近的公共点是M,则的取值范围是[﹣2，1］．考点：向量在几何中的应用．3797161专题：综合题；平面向量及应用．分析:设出M，Q的坐标，求出，结合图象，即可求得取值范围．解解：设M(cosα,sinα)，Q（2cosβ,2sinβ），则答：=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α﹣β）如图所示，α﹣β=∠QOx,则当PQ与x 重合时，（）min=2cosπ=﹣2;当PQ 与小圆相切时，（）max =2cos=1，∴的取值范围是[﹣2，1］故答案为:[﹣2,1]点评：本题考查向量的数量积，考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）给出下列四个命题:①f（x)=sin（2x ﹣）的对称轴为；②函数f(x)=sinx+的最大值为2；③函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为2π；④函数f（x)=sin(2x+）在［0,］上的值域为［﹣］．其中正确命题的是①②．考点：命题的真假判断与应用．3797161专题：计算题；三角函数的求值．分析：①f（x）=sin（2x ﹣）的对称轴满足2x ﹣=kπ+，k∈Z，由上能判断①的真假;②函数f（x）=sinx+=2sin（x+），由此能判断②的真假;③函数f（x）=sinx•cosx﹣1=﹣1,由此能判断③的真假；④函数f(x）=sin（2x+）在［0，]上的值域为[﹣，1］，由此能判断④的真假．解答：解:①f（x）=sin(2x ﹣）的对称轴满足2x ﹣=kπ+，k∈Z，解得,故①是真命题;②∵函数f（x)=sinx+=2sin（x+）∈［﹣2，2］，∴函数f(x）=sinx+的最大值为2，故②是真命题；③∵函数f（x）=sinx•cosx﹣1=﹣1，∴函数f（x）=sinx•cosx﹣1的周期为π，故③是假命题；④∵x∈[0，］,∴2x+∈［，]，∴函数f（x)=sin（2x+）在［0,]上的值域为[﹣，1］,故④是假命题．故答案为：①②．点评：本题考查命题的真假判断与应用，是基础题．解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（10分）（2013•辽宁二模）在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA)，=(）,若|｜=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．考点：余弦定理的应用．3797161专题:综合题．分析：（1)先根据向量模的运算表示出,然后化简成y=Asin(wx+ρ）+b的形式,再根据正弦函数的性质和|｜=2可求出A的值．（2）先根据余弦定理求出a,c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．解答:解：（Ⅰ）∵∴===∵∴又∵0＜A ＜π∴∴,∴（Ⅱ)由余弦定理，,即∴c=8∴点评:本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．18．(10分）（2012•福建模拟）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2。

2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. [2,)+∞B. ()2,+∞C. (),0-∞D. (,0]-∞ 3. 设i 是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ） A. 100 B.200 C.360 D.4005.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ）A. 2B.3C.4D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.C.2D. 7.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a = 14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos 2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且满足2220a b c --=，2sin b A a =，BC 边上中线AM（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--. （I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--222cos 2b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分(2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分 解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分 (2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=.BQM S ∆=…………………11分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m，12x x == 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++ ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m时等号成立，此时2n =± 经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-= 002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=，则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。

郑州外国语学校2013—2014学年上期高三11月月考试试卷数 学 （文）（120分钟 150分）命题人：夏文来一、选择题：（本大题共12个小题，每题5分，共60分）1.若集合{|23},M x x =-<<2{|1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N = ( ) A. (2,)-+∞ B. (2,3)- C. [1,3) D. R2. 关于x 的二次方程)(,01)2(2R a ai x i x ∈=+++-有实根，则复数ia aiz +-=2对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是( )A.(,2]-∞-B.[2,1]--C.[1,2]-D.[2,)+∞4.直线l 与函数[]sin (0,)y x x π=∈的图像相切于点A ，且//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极大值点，与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC=（ ）A. 2B.2πC. 24πD.244π- 5.已知 a b ，为非零向量，则“函数2()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．已知z=2x +y ，x ，y 满足,2,,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值为（ ）A.12 B. 14 C. 2 D. 47．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D.68.平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.π23 B. π3 C. π32 D. π2 开始 输出 结束是否输入x[2,2]x ∈-()2x f x =()f x ()2f x =9、已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是( ) （A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位即得② （C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同10．设F 1, F 2分别为双曲线2221x a b 2y －＝（0,0a b >>）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。

郑州外国语学校2016届高三年级周练4数 学 试 题（文） 出题人：刘红昌 审题人:王淑娟（请注意：第一考场同学做A 组题）一、选择题：（本大题共14小题,每小题5分，满分70分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若错误!＝3，则错误!＝（ ）A ．2 B. 错误! C. 错误! D ．3 2。

正方体1111ABCD A BC D -中，1BB 的中点为M ，则异面直线AM 与1D C 所成的角的余弦值为( )A 。

12B. 55C. 1010-D 。

10103。

长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AD ＝1，AA 1＝错误!，E 为线段AB 上一个动点，则 D 1E+ CE 的最小值为（ ）A 。

22B 。

10C 。

15+D 。

22+4。

若非零向量,a b 满足,()a b a b b =2+⋅=0，则a 与b 的夹角为 （ ）A. 1200B 。

600C 。

300D 。

15005。

已知2a＝3，2b＝6,2c＝12，则a ，b ,c ( )A ．成等差数列不成等比数列B ．成等比数列不成等差数列C ．成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列6。

圆心在曲线2(0)y x x =>上,且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）A 。

22(2)(1)25x y -+-=B 。

22(2)(1)5x y -+-= C 。

22(1)(2)25x y -+-= D.22(1)(2)5x y -+-= 7。

设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=，则2y xz 的最小值是( )A 。

1 B. 2 C. 3 D. 48。

已知直线m ,l 和平面αβ，，且,l m αβ⊥⊂，给出下列四个命题:①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒;③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.其中真命题的个数为( ）A. 1B. 2 C 。

郑州外国语学校2017-2018学年高三数学（理）周练（三）一、选择题（本大题共13个小题，每题5分，共65分）1.要得到函数的图像，只要将函数的图像（）.A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移个单位D. 向右平移个单位2.当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知,则的值域为的充要条件是（）A. B.C. D.4.在平面直角坐标平面中，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为（）A. B. C. D.5. 的大小关系是（）A. B. C. D.6.在中，若,，则此三角形为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）A. B.C. D.8.正实数及函数满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.9.若函数在上有最小值，（为常数），则函数在上（）A.有最大值B.有最小值C.有最大值D.有最大值10.已知是△ABC所在平面上的一点，若,则点是△ABC的（）A.重心B.垂心C.内心D.外心11.定义在上的函数；当时，，若，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.12.定义在上的函数满足，，且已知时，，则函数的零点个数为（）A. B. C. D.613.已知两条直线和：(),与函数的图像从左至右相交于点A,B,的图像从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为( ).A.16B. 8C. 8D. 4二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）14.函数的定义域为,则函数的值域为.15.为锐角三角形，若终边上一点的坐标为(,),则.16.已知关于的方程的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则的取值范围是.17.已知函数，若对任意的实数,不等式恒成立，则实数的取值范围是.18.若以曲线任意一点为切点作切线,曲线上总存在异于的点,以点为切点作切线,且,则称曲线具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为(写出满足条件的函数的编号)○1○2○3○4三、解答题（本大题共5个小题，每题12分，共60分）19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值（2）若，△ABC的周长为5，求b的长．20．已知f（Ⅰ）求函数f的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，f，若与)共线，求a，b的值．21．已知函数f.（1）讨论函数f在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f在处取得极值，对，f恒成立，求实数b的取值范围；22．已知，函数f,（其中e为自然对数的底数）．（1）求函数f在区间上的最小值；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．23．已知函数f．（I）求f的单调区间和极值；（II）求证：(n+1)] (．郑州外国语学校高三数学（理）周练（三）答案一、选择BDBAA DCCDC BCB二、填空14. 15.3 16. 17. 18.②③）因为所以所以=2cosB=…④﹣=sin﹣T==﹣，∴﹣＜﹣C=∵）与=∴=由正弦定理得，=①（Ⅰ）得得上递减，在∴令，即）∵∴．上的最小值为．+1=时，．，，∴））证：要证即证即证即证令令故累加得，故。

2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（七）一、选择题1．（5分）（2014•陕西一模）已知集合A={x∈R|2x＜e}，B={x∈R|＞1}，则A∩B=（）A．{x∈R|0＜x＜log2e} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|1＜x＜log2e} D．{x∈R|x＜log2e}2．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线l的方程为3x+4y+m=0，若圆与直线相切，则实数m的值为（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．03．（5分）（2016春•高密市期末）命题“若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数，则m＞1”的否命题是（）A．若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上不是减函数，则m≤1B．若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数，则m≤1C．若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数D．若m≤1，则函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上不是减函数4．（5分）（2012•安徽模拟）下列说法不正确的是（）A．“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”B．命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是假命题C．∃a∈R，使方程2x2+x+a=0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2”和“函数f（x）=log2（ax﹣1）在[1，2]上单调递增”同时为真D．△ABC中，A是最大角，则sin2B+sin2C＜sin2A是△ABC为钝角三角形的充要条件5．（5分）（2014•眉山一模）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．5，2 B．5，5 C．8，5 D．8，86．（5分）（2016•沈阳校级一模）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[，] C．（﹣∞，0）∪[，] D．（﹣∞，﹣1]∪[，]7．（5分）（2015•张掖模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．4 B．C．2 D．8．（5分）（2014秋•沙坪坝区校级月考）若函数f（x）=asinωx﹣cosωx的相邻两个零点的距离为π，且它的一条对称轴为x=π，则f（﹣）等于（）A．﹣2 B．﹣C．D．29．（5分）（2015•上饶校级一模）已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a （x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3] B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）10．（5分）（2012•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4 B．3 C．2 D．111．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）﹣f（x+2）f（x）=f（x）+1，f（1）=﹣，f（2）=﹣，则f（2014）=（）A．0 B．C．2 D．412．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）点F为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F的直线l交双曲线右支于点E，若圆x2+y2=上一点P满足+=2，且∠FOP 为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（，2）B．（，）C．（，2）D．（，+∞）二、填空题13．（5分）（2014秋•万州区校级月考）已知=a+bi，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a+b= ．14．（5分）（2013•宁波模拟）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．15．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知E，F为圆O：x2+y2=9一直径的两个端点，D 为直线x﹣y+6=0上一动点，则•的最小值为．16．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为．三、解答题17．（19分）（2014•重庆三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n=2n a n，求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=a n，若T n=c1+c2+…+c n，求T n．18．（12分）（2014春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2﹣cos2A=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=且a≤b，求b﹣c的取值范围．19．（12分）（2016春•重庆校级月考）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求该几何体的体积．20．（12分）某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35至50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．21．（12分）（2014•大庆一模）在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．22．（12分）（2014秋•万州区校级月考）已知函数f（x）=ax+﹣lnx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求正数a的取值范围．2014-2015学年河南省郑州外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（七）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2014•陕西一模）已知集合A={x∈R|2x＜e}，B={x∈R|＞1}，则A∩B=（）A．{x∈R|0＜x＜log2e} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|1＜x＜log2e} D．{x∈R|x＜log2e}【分析】求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A不等式中2x＜e，变形得x＜log2e，∴A=（﹣∞，log2e），由集合B中不等式＞1，去分母得：0＜x＜1，即B=（0，1），∴A∩B=（0，1）．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，直线l的方程为3x+4y+m=0，若圆与直线相切，则实数m的值为（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．0【分析】利用圆心（1，0）到直线3x+4y+m=0的距离d=1即可求得实数m的值．【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心A（1，0），半径r=1，又方程为3x+4y+m=0的直线l与该圆相切，设圆心（1，0）到直线3x+4y+m=0的距离d，则d==1，即|3+m|=5，解得：m=2或m=﹣8．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，着重考查点到直线间的距离公式，属于中档题．3．（5分）（2016春•高密市期末）命题“若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数，则m＞1”的否命题是（）A．若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上不是减函数，则m≤1B．若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数，则m≤1C．若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数D．若m≤1，则函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上不是减函数【分析】直接写出命题的否命题，即可得到选项．【解答】解：否定命题的条件作条件，否定命题的结论作结论，即可得到命题的否命题．命题“若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上是减函数，则m＞1”的否命题是：若函数f（x）=e x﹣mx在[0，+∞）上不是减函数，则m≤1．故选：A．【点评】本题考查命题的否命题的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2012•安徽模拟）下列说法不正确的是（）A．“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”B．命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题是假命题C．∃a∈R，使方程2x2+x+a=0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2”和“函数f（x）=log2（ax﹣1）在[1，2]上单调递增”同时为真D．△ABC中，A是最大角，则sin2B+sin2C＜sin2A是△ABC为钝角三角形的充要条件【分析】逐个选项验证，分别判断它们的正误，其中ABD均正确，选项C的a值不能使两者同时成立，故可得答案．【解答】解：由特称命题的否定可知选项A正确；命题“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的逆命题为“若x+y＞0，则x＞0且y＞0”且为假，故“若x＞0且y＞0，则x+y＞0”的否命题也为假，故选项B正确；记函数f（x）=2x2+x+a，则方程2x2+x+a=0的两根满足x1＜1＜x2，即f（1）＜0，解得a＜﹣3，此时f（x）=log2（ax﹣1）在[1，2]上单调递增不正确，故选项C错误；在三角形ABC中，A是最大角，△ABC为钝角三角形的充要条件是b2+c2＜a2，即＜sin2A，故选项D正确．故选C【点评】本题考查命题的正误的判断，涉及特称命题的否定，以及命题真假的关系，属基础题．5．（5分）（2014•眉山一模）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．5，2 B．5，5 C．8，5 D．8，8【分析】由甲组数据的中位数求出y的值，乙组数据的平均数求出x的值．【解答】解：∵甲组数据的中位数为15，∴10+y=15，∴y=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴9+15+（10+x）+18+24=16.8×5，∴x=8；∴x，y的值分别为8，5；故选：C．【点评】本题考查了应用茎叶图求中位数与平均值的问题，是基础题6．（5分）（2016•沈阳校级一模）下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[，] C．（﹣∞，0）∪[，] D．（﹣∞，﹣1]∪[，]【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由程序框图可知：f（x）=∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，∴必有当x≤0时，；当x＞0时，．解得x≤﹣1或．故答案为．故选D．【点评】正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键．7．（5分）（2015•张掖模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．4 B．C．2 D．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面为三角形，高为2的三棱锥，且底面三角形的底边长为4，底边上的高为2，如图所示；∴该三棱锥的体积是V几何体=S△ABC•h=×4×3×2=4．故选：A．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．8．（5分）（2014秋•沙坪坝区校级月考）若函数f（x）=asinωx﹣cosωx的相邻两个零点的距离为π，且它的一条对称轴为x=π，则f（﹣）等于（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【分析】根据函数f（x）=asinωx﹣cosωx的相邻两个零点的距离为π，求得ω=1．再根据函数的一条对称轴为x=π，可得asin﹣cos=±，平方求得a=，可得函数f（x）的解析式，从而求得f（﹣）的值【解答】解：∵函数f（x）=asinωx﹣cosωx的相邻两个零点的距离为π，∴•=π，求得ω=1．再根据函数的一条对称轴为x=π，可得asin﹣cos=±，平方可得=0，求得a=．则f（x）=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），f（﹣）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣2sin=﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．（5分）（2015•上饶校级一模）已知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log a （x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A．（1，3] B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】由函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，可知：y′==0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，利用根与系数的关系可得：（x1﹣1）（x2﹣1）=+m+1＜0，得到平面区域D，且m＜﹣1，n＞1．由于y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，可得＞1，进而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴y′==0的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=﹣m，x1x2=＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=+m+1＜0，即n+3m+2＜0，∴﹣m＜n＜﹣3m﹣2，为平面区域D，∴m＜﹣1，n＞1．∵y=log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，∴log a（﹣1+4）＞1，∴＞1，∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得1＜a＜3．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．（5分）（2012•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．【解答】解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT1|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D【点评】本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．11．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知f（x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）﹣f（x+2）f（x）=f（x）+1，f（1）=﹣，f（2）=﹣，则f（2014）=（）A．0 B．C．2 D．4【分析】通过算出几组来找出规律．将f（1）代入题目中的式子，可以得到f（3）的值，依次算下去，找到其规律，最后求出值．【解答】解：∵f （x）是定义在实数集R上的函数，且满足f（x+2）﹣f（x+2）f（x）=f（x）+1，f（1）=﹣，f（2）=﹣，令x=1，则f（1+2）﹣f（1+2）f（1）=f（1）+1，∴f（3）=，令x=2，则f（2+2）﹣f（2+2）f（2）=f（2）+1，∴f（4）=，同理可求f（5）=2，f（6）=4，f（7）=﹣3，f（8）=，f（9）=，f（10）=，…所以，这个函数是以8为周期的．∵2014除以8余6，∴f（2014）=f（6）=4．故选：D．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，赋值法式常用的方法，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．12．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）点F为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F的直线l交双曲线右支于点E，若圆x2+y2=上一点P满足+=2，且∠FOP 为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（，2）B．（，）C．（，2）D．（，+∞）【分析】确定P是EF的中点，再结合余弦定理，可得结论．【解答】解：设右焦点为F′，∵+=2，∴P是EF的中点，∴EF′=2OP=a，∴EF=3a，∵∠FOP为锐角，∴∠FEF′为钝角，∴（3a）2+a2＞4c2，∴e＜，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．二、填空题13．（5分）（2014秋•万州区校级月考）已知=a+bi，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a+b= ﹣2 ．【分析】利用复数的代数形式的混合运算可求得a+bi=﹣1﹣i，从而可得答案．【解答】解：∵===﹣1﹣i=a+bi，∴，∴a+b=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数相等的概念及应用，属于基础题．14．（5分）（2013•宁波模拟）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为 1 ．【分析】作出x、y满足约束条件的图象，由图象判断同最优解，令目标函数值为6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出的最小值，代入求解即可【解答】解：由题意、y满足约束条件的图象如图目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6从图象上知，最优解是（2，4）故有2a+4b=6∴=（2a+4b）=（10+）≥×（10+2）=3，等号当且仅当时成立故的最小值为log33=1故答案为1【点评】本题考查简单线性规划的应用及不等式的应用，解决本题，关键是根据线性规划的知识判断出取最值时的位置，即最优解，由此得到参数的方程，再构造出积为定值的形式求出真数的最小值．15．（5分）（2014春•沙坪坝区校级月考）已知E，F为圆O：x2+y2=9一直径的两个端点，D 为直线x﹣y+6=0上一动点，则•的最小值为9 ．【分析】根据题意画出图形，可设动点D的坐标为（x，x+6），得到•=2x2+12x+27=2（x+3）2+9≥9，问题得以解决．【解答】解：如图所示，∵E，F为圆O：x2+y2=9一直径的两个端点，∴E的坐标为（﹣3，0），F的坐标为（3，0），D为直线x﹣y+6=0上一动点，可设动点D的坐标为（x，x+6），∴=（﹣3﹣x，﹣x﹣6），=（3﹣x，﹣x﹣6），∴•=2x2+12x+27=2（x+3）2+9≥9，当x=﹣3时取等号．∴•的最小值为9，故答案为：9．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，直线与圆的关系性质，考虑到本题是一个填空题，我们可以用特殊值法，解答本题．16．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为 5 ．【分析】由等差数列的通项公式求出数列{}的通项公式，证明数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，可求其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=1，a6=21=a1+5d，∴公差 d=4，a n=1+（n﹣1）d=4n﹣3，=．记数列的前n项和为S n，则S n=+++…+，∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（++…+）﹣（++…+）=﹣﹣=﹣﹣=（﹣）+（﹣）＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=+=，∴由题意可得，只需≤，即 m≥，又∵m是正整数，∴m的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题考查数列与不等式的结合，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列并求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．三、解答题17．（19分）（2014•重庆三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．（1）令b n=2n a n，求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令c n=a n，若T n=c1+c2+…+c n，求T n．【分析】（1）根据数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）利用得出再利用b n=2n a n，可得当n≥2时b n﹣b n﹣1=1即得出数列{b n}是等差数列，进而可求出b n然后求出a n．（2）由（1）可求出再结合其表达式的特征知可用错位相减法求T n．【解答】解：（1）在S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2中令n=1可得s1=﹣a1﹣1+2=a1即a1=当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+∴2a n=a n﹣1+（即∵b n=2n a n，∴b n﹣b n﹣1=1即当n≥2时b n﹣b n﹣1=1又∵b1=2a1=1∴数列{b n}是首项和公差均为1的等差数列．∴∴（2）由（1）得，∴…+（n+1）①=2×+3×+4×+…+（n+1）②由①﹣②得=1+++…+﹣（n+1）=﹣（n+3）（）n+1∴T n=3﹣（n+3）（）n【点评】本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和，属常考题，较难．解题的关键是公式以及错位相减法求和的应用!18．（12分）（2014春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2﹣cos2A=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=且a≤b，求b﹣c的取值范围．【分析】（Ⅰ）把已知等式利用二倍角公式化简整理可求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用正弦定理分别表示出b和c，进而利用角的正弦表示出b﹣c进而根据三角函数的性质和B的范围求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴，∵4sin2﹣cos2A=4cos2﹣cos2A=2（1+cosA）﹣（2cos2A﹣1）=∴整理得（2cosA﹣1）2=0解得cosA=，∴A=（Ⅱ）∵，∴b=2sinB，c=2sinC∴∵a≤b，∴≤B，∴≤B﹣＜∴【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的性质，二倍角公式等知识点．19．（12分）（2016春•重庆校级月考）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求该几何体的体积．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用分割法，即可求该几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵AC=，AB=2，BC=1，∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC．（ II）解：过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N于是：V=V E﹣AMD+V EDM﹣FCN+V F﹣CNB=2V E﹣AMD+V EDM﹣FCN∵AC=，AB=2BC=2，∴ED=CD=1，DM=，∴∴【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式是解题的关键．20．（12分）某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35至50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【分析】（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l人的学历为研究生的概率．（2）由题意得：，由此能求出N，从而能求出x，y的值．【解答】解：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人设本科生为A1，A2，A3，研究生为B1，B2，从中任取2人的所有基本事件共10个：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A1A2，A1A3，A2A3，B1B2，其中至少有一人的学历为研究生的基本事件有7个：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，∴至少有一人为研究生的概率为：p=．（2）由题意得：，解得N=78，35至50岁中抽取的人数为78﹣48﹣10=20，∴，解得x=40，y=5．【点评】本题考查概率的求法，考查分层抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．21．（12分）（2014•大庆一模）在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．【分析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，∴，整理，得，x≠，∴动点E的轨迹C的方程为，x．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，并整理，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，△=8k2+8＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，设MN的中点为Q，则，，∴Q（，﹣），由题意知k≠0，又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，令x=0，得y P=，当k＞0时，∵2k+，∴0＜；当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞y P≥﹣=﹣．综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．22．（12分）（2014秋•万州区校级月考）已知函数f（x）=ax+﹣lnx﹣1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求正数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导后根据导数正负判定单调性并求极值（Ⅱ）恒成立问题转化为最值问题．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣lnx﹣1，，令f'（x）＞0得x＞1，则函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），令f'（x）＜0得0＜x＜1，则函数f（x）的单调减区间为（0，1），则函数f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．（Ⅱ）依题意有：f min（x）≥0，x∈[1，+∞）=，①当即时，f'（x）≥0，x∈[1，+∞），则f（x）在[1，+∞）单调递增，则f min（x）=f（1）=a+a﹣1﹣1=2a﹣2≥0，解得：a≥1，②当即时，函数f（x）在单调递减，在单调递增，则，不合题意．综上所述：正数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数求单调区间及极值，同时考查了恒成立问题及讨论的思想．。