实数完备性定理相互等价的证明

目录1毕业论文正文2皖西学院本科毕业论文（设计）任务书3皖西学院本科毕业论文（设计）开题报告4皖西学院本科毕业论文（设计）中期检查表5皖西学院本科毕业论文（设计）指导教师意见表6皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表7皖西学院本科毕业论文（设计）答辩记录表皖西学院本科毕业论文（设计）任务书系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）开题报告系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）中期检查表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）指导记录表系别：数理系专业：数学与应用数学注：本表由指导教师根据毕业论文（设计）指导工作方案和实际指导情况填写，在指导工作完成后交系保存。

皖西学院本科毕业论文（设计）指导教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）答辩记录表（小组答辩）系别：数理系专业：数学与应用数学问题与解答：1、具体阐述有限覆盖定理的内容?答：闭区间的任一开覆盖都含有一个有限子覆盖, 即H 中可找出有限个开集覆盖。

2、定理的等价性证明顺序性有何要求？答：文章中只是给出了一种证明的顺序，对顺序没有要求，只要能够形成一个环形结构证明即可。

3、用柯西准则判断敛散性的优越性体现在哪里？答：作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点。

其一，条件的充分必要条件决定其适用范围更广、更普遍;其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果。

答辩小组评语：该生基础知识扎实，知识的综合运用能力较强，文章选题实用性较强，内容充实，有一定的创新，质量较高。

答辩小组评定等级良好答辩小组组长签字：年月日。

一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(1)（用确界定理证明单调有界定理）(2)（用单调有界定理证明区间套定理）(3)（用区间套定理证明确界原理）*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）*(6)（用聚点定理证明柯西准则）*(7)（用柯西准则证明单调有界定理）(1)（用确界定理证明单调有界定理）〔证毕〕(返回)(2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套．若另有使，则因．［证毕］[推论]设为一区间套，．则当时，恒有．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(返回)(3) （用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．［证毕］(返回)*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理，．导出矛盾：使记由［推论］，当足够大时，这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．［证毕］［说明］当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．(返回)*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］［推论（致密性定理）］有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点．(返回)*(6)（用聚点定理证明柯西准则）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性．已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有令，则有．．由致密性定理，存在收敛子列，设．．最后证，由条件，当时，有．于是当（同时有）时，就有．［证毕］(返回)*(7)(用柯西准则证明单调有界原理) 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有．倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．[例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使．证：(i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii），取，；再取；……一般取；……由的取法，保证，，．(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]。

实数完备性定理的等价性证明及其应用一、实数完备性定理的等价性证明：1.柯西收敛准则证明实数完备性：我们假设存在一个无穷序列{an}，满足对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当m > n > N时，有，am - an，< ε。

由于{an}是有序序列，它必然有上确界和下确界。

我们将上确界记为A，下确界记为B。

首先，我们来证明A和B是相等的。

假设A > B，那么A - B > 0，根据柯西收敛准则，我们可以找到正整数N1，使得当p > q > N1时，有，ap - aq， < A - B。

由于A是上确界，所以存在一个正整数n1，使得an1 > A - (A - B) = B。

同样地，我们可以找到正整数N2，使得当r >s > N2时，有，ar - as， < A - B。

由于A是上确界，所以存在一个正整数n2，使得an2 > A - (A - B) = B。

由于n1和n2是正整数，所以我们可以取N = max{N1, N2}，使得当p > q > N时，有，ap - aq， < A- B。

但是，同时存在正整数n1和n2，使得an1 > B和an2 > B，与前面所述矛盾。

因此，A和B必然相等，记为C。

接下来，我们证明C是这个序列的极限。

假设对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，有，an - C，< ε。

我们取ε =ε/2，那么根据柯西收敛准则，必然存在一个正整数N，使得当p > q >N时，有，ap - aq，< ε/2、由于C就是上确界和下确界，所以必然存在正整数n > N，使得，an - C，< ε/2、根据三角不等式，我们有，ap - C，≤ ，ap - aq， + ，aq - C，< ε/2 + ε/2 = ε。

因此，C就是这个序列的极限，这就证明了实数完备性。

《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明在数学分析中，实数完备性是一个非常重要的概念。

实数完备性是指实数轴上不存在任何空缺的性质，即任何实数序列都有收敛的子序列。

实数完备性可由七大定理进行证明，并且这七个定理之间也可以相互证明。

下面将对这七大定理进行证明，并且展示它们之间的相互证明。

第一个定理是确界定理（或称上确界定理）。

它的表述是：有上界的非空实数集必有上确界。

证明如下：先证明存在性，假设S是有上界的非空实数集，令M为S的一个上界，那么对于S中的任意元素x，都有x≤M。

接下来我们来证明M是S的上确界。

首先，我们要证明M是S的一个上界，即对于任意x∈S，x≤M。

其次，我们要证明对于任意ε>0，存在一个元素s∈S，使得M-ε<s≤M。

这两点都可以使用导致上确界的性质来证明。

因此，我们证明了确界定理。

第二个定理是区间套定理。

它的表述是：若{[an,bn]}是一个递减的闭区间序列，并且满足an≤bn，则存在一个唯一的实数x同时含于所有闭区间[an,bn]中。

证明如下：首先，我们证明了区间套的任意两个闭区间之间的交集不为空。

其次，我们证明了{an}是一个递增有上界的实数序列，{bn}是一个递减有下界的实数序列。

因此，根据实数完备性的定义，存在唯一的实数x满足an≤x≤bn，即x属于所有闭区间的交集。

第三个定理是柯西收敛准则。

它的表述是：一个实数序列是收敛的充分必要条件是它满足柯西收敛准则，即对于任意ε>0，存在自然数N，使得当m,n≥N时，有，am-an，<ε。

证明如下：首先，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的有界性。

其次，我们证明了柯西收敛准则蕴含了实数序列的单调性。

因此，根据实数完备性的定义，实数序列的柯西收敛准则是实数序列收敛的充分必要条件。

第四个定理是实数域的离散性。

它的表述是：任意两个实数之间必存在有理数和无理数。

证明如下：假设a和b是两个实数，并且a<b。