第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38 No.24 D ecem.,2008 教学园地实数系基本定理等价性的完全互证刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州 310027)摘要: 综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法.关键词: 实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从.我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为:1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界.2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34).3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n…,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞n =1I n 必不空且为单点集.4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列.5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列.6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n .在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难.定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理6))是属于另一种类型,它是前5个定理的逆否形式.1 教材中的证明教材[1]中完成的证明如图1所示.另外,教材中给出练习的有:图1 教材[1]中完成的基本定理之间的证明4)!2)pp.453)!1)pp.471)!6)pp.3096)!1)pp .3095)!1)pp.309我们首先回顾一下教材中给出的证明过程[1].分析:单调有界数列必收敛,事实上就是收敛到其确界.有了这个理解后,就很容易利用确界存在定理1)来证明2)了:只要将确界找到,证明此确界就是数列极限即可.证明 不妨设数列{x n }单调递增.由于{x n }有界,由1)知它的确界存在且有限,设为 .由上确界定义, 是{x n }的上界,即∀n ∈N ,x n # ;且∀ >0, - 不是上界,即∃N ,使得x N > - .由于{x n }单调递增,所以∀n >N , %x n %x N > - ,即 x n - < .由极限定义可知,lim n →∞x n = ,即{x n }收敛.2)!3)pp.41分析:由于闭区间套的每个区间的左端点单调递增有上界,右端点单调递减有下界,即可得它们都收敛,然后利用闭区间套的长度趋向零证明这两个极限相等,为所有闭区间的公共点,并且唯一性也易得证.证明 设I n =[a n ,b n ],a n #b n ,由I n +1 I n 可知a n #a n +1,b n +1#b n ,由此可见a n ↑且a n #b 1,b n ↓且b n %a 1,因此!=lim n →∞a n ,∀=lim n →∞b n 都存在,并且!为{a n }的上确界,∀为{b n }的下确界.因为 I n =b n -a n →0,故∀=lim n →∞a n +lim n →∞(b n -a n )=!,这说明!=∀∈I n ,从而.至此已证明∩∞n =1I n 非空.再由∩∞n =1I n I n 及 I n →0可知集合∩∞n =1I n 至多包含一点.3)!4)pp .44分析:按二等分取闭区间,每个闭区间含有数列的无穷多项.由闭区间套定理套住的唯一点就是某个子列的极限.证明 设{x n }是有界数列,则存在闭区间I 1使得∀x n ∈I 1.将I 1等分为左右两个闭区间,则至少有一个半区间包含{x n }中的无穷多项,取为I 2.同样的办法将等分后取出I 3,…最终得到一闭区间套I 1 I 2 … I n …, I n →0,每个I n 中包含{x n }中的无穷多项.根据闭区间套定理,存在唯一点∩∞n =1I n ={!}.下面构造收敛到!的子列:任取x n 1∈I 1,由于I 2包含{x n }中的无穷多项,故必能在I 2取出n 1项以后的项n 2,即x n 2∈I 2,n 2>n 1.类24724期刘利刚:实数系基本定理等价性的完全互证似地,∃x n 3∈I 3,n 3>n 2,…最后得到一子列{x n k },x n k ∈I k ,从!-x n k # I n →0 (k →∞)得x n k →!(k →∞).{x n k }就是要找的子列.4)!5)pp.299分析:首先易知Cauchy 数列有界,从而存在收敛子列,再证明此收敛子列的极限就是原数列的极限.证明 易知Cauchy 基本数列有界,由Bolzano -Weierstrass 定理,{x n }存在收敛的子列{x n k },设其极限为!.由{x n }是Cauchy 基本数列,故∀ >0,∃N 0,∀n %N 0, x n -x N 0 < ;由x n k →!(k →∞),对于上述的 ,∃K ,∀k %K , x n k -! < ;取N =max (n k +1,N 0+1),当n >N 时,取k 0>K 使得n k 0>N ,x n -! # x n -x n k 0 + x n k 0-! <2 , 这说明x n →!(n →∞)3)!6)pp.308分析:用闭区间套定理反证.取不存在开覆盖的半区间构成闭区间套,由此易得矛盾.证明 反证法.假设[a ,b ]不存在有限开覆盖,则将[a ,b ]等分后至少有一个半区间也不存在有限开覆盖,记为I 1;同样将I 1等分后至少有一个半区间也不存在有限开覆盖,记为I 2;…这样得到一闭区间套I 1 I 2 … I n …, I n →0,每个I n 都不存在有限开覆盖.设∩∞n =1I n ={!},由于!∈[a ,b ],必∃O !,使得!∈O !.由于 I n →0,故n 充分大时,I n O !,这与I n 不存在有限开覆盖矛盾.现在给出教材中给出的习题的证明.4)!2)pp .45分析:由有界性知数列有收敛子列,由单调性可知数列收敛到此子列的极限.证明 不妨设数列{x n }单调递增.由于{x n }有上界,下界即为x 1,由Bo lzano -Weierstrass 定理,{x n }存在收敛的子列{x n k },设其极限为!.于是∀ >0,∃K ,∀k %K , x n k -! <由于{x n }也是单调递增数列,!必为{x n k }的上界,于是对上述的 ,当n >n K , x n -! =!-x n <!-x n K < ,这说明x n →!(n →∞).3)!1)pp.47分析:按二等分取闭区间,使每个闭区间含有数集的确界.由闭区间套定理套住的唯一点就是数集的确界.证明 只证上确界的情况.假设非空集合A 有上界M ,取a 1∈A ,b 1=M ,则a 1#b 1.记I 1=[a 1,b 1].令c =a 1+b 12,若c 为A 的上界,则取a 2=a 1,b 2=c ,否则取a 2=c ,b 2=b 1,显然都有a 2#b 2,且A ∩[a 2,b 2]≠#.记I 2=[a 2,b 2].以此类推,得到闭区间套I 1 I 2 … I n …, I n →0,每个I n 与A 的交非空.由闭区间套定理,存在唯一的!,∩∞n =1I n 248数 学 的 实 践 与 认 识38卷={!}.由于b n →!,且∀∀<!,∃I k ,a k >∀,而I k ∩A ≠#,必∃x ∈A ,x %a k ,从而x %∀,即∀不是A 的上界.由此得知!为A 的上确界.1)!6)pp .309分析:这个技巧在于取能被有限覆盖的闭区间右端点的上确界,证明此上确界就是整个区间的右端点.证明 设{O }为闭区间[a ,b ]的开覆盖.定义A ={x [a ,x ]能被有限覆盖,x ∈[a ,b ]}.由于a ∈A ,可知A 是有界非空集,由确界存在定理,知 =sup A 存在.显然 #b ,若 <b ,设 ∈O 0,则闭有[ , ′] O 0,且 ′<b ,可知[a , ′]也能被有限覆盖,从而 ′∈A ,这与 =sup A 矛盾.5)!1)pp.309分析:事实上,由5),2),4)证明1)的思路是一样的,类似于由3)证1)的方法,构造闭区间套,然后不是直接利用闭区间套定理,而是来证明数列{a n }和{b n }的收敛性即可.证明 5)!1):证明{a n },{b n }为Cauchy 基本数列,得知它们都收敛.2)!1):由{a n },{b n }为单调有界数列得知它们收敛.4)!1):由{a n },{b n }为有界数列,得知它们存在收敛子列,然后再利用单调性得出它们都收敛(即利用4)!2)的方法).2 闭区间套定理与其他定理互证的方法用闭区间套定理证明问题时,关键是要构造一个满足一定条件的区间套序列,然后由区间套定理套出一个公共点,这个点往往就是满足问题要求的点.在构造闭区间套序列时,常采用二等分法,其过程一般为:Step 1 先考虑一个区间[a 1,b 1],使它具有某种性质P ;Step 2 然后把[a 1,b 1]二等分,证明至少有一个子区间里具有性质P ,记这个子区间为[a 2,b 2];Step 3 不断重复这一步骤,于是得到一个区间列{[a n ,b n ]},它满足条件:(i)[a n ,b n ] [a n +1,b n +1],n =1,2,…(ii)lim n →∞(b n -a n )=lim n →∞b 1-a 12n -1=0(iii )每一个区间[a n ,b n ]都具有性质P .由3)证明其他定理:3)!1),3)!6)已在上面给出.3)!2),3)!4),3)!5)证明类似于3)!1)的证明,所不同的是要证明唯一公共点!就是数列的极限(或某子列的极限).至于由其他定理来证明3),2)!3),6)!3)已给出,而1)!3),4)!3),5)!3)的过程都类似于2)!3)的过程,只是分别利用1),4),5)去证明{a n }和{b n }的确界,子列的极限,或极限就是公共点.24924期刘利刚:实数系基本定理等价性的完全互证3 有限开覆盖定理与其他定理互证的方法不论用6)来证明前面5个定理,还是由前面5个定理来证明6),都是用反证法.一般地,利用定理6)来证明闭区间[a ,b ]具有某种性质P ,其一般步骤为:Step 1 证明对于[a ,b ]中的每一点x ,都有一个邻域O ∃(x ),而此邻域具有性质P ,所有这样的邻域构成闭区间[a ,b ]的一个开覆盖;Step 2 根据有限开覆盖定理,可从中选取有限个O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k )来覆盖[a ,b ];Step 3 利用O ∃i (x i )(i =1,2,…,n )具有的性质P ,证明闭区间[a ,b ]也具有这种性质P .6)!1)pp .309分析:由上确界的否定可知,某数不是上确界,则必有其一邻域都是上界或都不是上界,这些邻域构成开覆盖,若能选取有限多个则得到矛盾.是有界数集A 的上确界 (i ) 是上界,且(ii )任何小于 的数都不是上界.其否定为: 是有界数集A 的上确界 (i) 不是上界,或(ii)还有比 小的数成为上界证明 用反证法.假设有界数集A 没有上确界,设其上界为M ,任取a 1,a 2∈A ,不妨设a 1<a 2(若数集A 是单点集,则证明是平凡的),取a =a 1.考虑闭区间,对其中任何的数x ∈[a ,M ],由假设x 不是上确界,则存在x 的某一开邻域O ∃(x ),其中都是A 的上界;或存在x 的某一开邻域O ∃(x ),其中都不是A 的上界.这样内的每一点x ,都找到一个开邻域O ∃(x ),它要么属于第一类,要么属于第二类.这些邻域构成闭区间的一个开覆盖.由有限开覆盖定理,必存在有限个子覆盖O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k ).由于M 是上界,所以M 所在的区间应为第一类的,相邻接的开区间有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接,可知a 所在的开区间也是第一类的,这便得出矛盾.6)!3)分析:若闭区间套的交为空,则对任何元素都至少不属于某一个闭区间,这样就有它的一个开邻域都不包含于这个闭区间;于是若只有有限个的话就导致矛盾了.证明 用反证法.假设区间的交∩∞n =1I n =#,则∀x ∈[a 1,b 1],∃I x ,x &I x ,于是∃∃x ,使得O ∃x (x )∩I x =#.这样[a 1,b 1]内的每一点x ,都找到一个开邻域O ∃(x ),它与区间套内的某一区间的交为空.这些邻域构成闭区间[a 1,b 1]的一个开覆盖.由有限开覆盖定理,必存在有限个子覆盖O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k ).设O ∃i (x i )∩I n i =#,则取N =max {n 1,n 2,…,n k },有O ∃i (x i )∩I N =#,∀i =1,2,…k ,这与O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k )构成[a 1,b 1]的开覆盖矛盾,由此证明了∩∞n =1I n ≠#.证明交集的唯一性是简单的,略.6)!4)分析:用有限开覆盖定理证明2),4),5)的做法是一样的,由反证假设,对任何一点,可找到一个开邻域,其邻域内至多包含数列中的有限项.若只有有限个开覆盖,则得到矛盾.证明 设A 是有界无限数集,界为[m ,M ].用反证法.假设A 没有任何子列收敛,即∀x ∈[m ,M ],x 不是A 的极限点,即∃∃,使得O ∃(x )至多包含A 中的有限项.这样[m ,M ]内的每一点x ,都找到一个开邻域O ∃(x ),它至多包含数集的有限项.这些邻域构成闭250数 学 的 实 践 与 认 识38卷区间[m ,M ]的一个开覆盖.由有限开覆盖定理,必存在有限个子覆盖O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k ),由于每个开邻域至多包含数集的有限项,这与A 是无限数集矛盾.6)!2)证明 设{x n }是单调递增上有界数列,界为[x 1,M ].用反证法.假设{x n }不收敛,则∀x ∈[m ,M ],∃∃,使得O ∃(x )至多包含{x n }中的有限项(若对任何邻域都有无穷多项,利用{x n }的单调性可知x 为{x n }的极限,见下面附证).这样[m ,M ]内的每一点x ,都找到一个开邻域O ∃(x ),它至多包含{x n }的有限项.这些邻域构成闭区间[m ,M ]的一个开覆盖.由有限开覆盖定理,必存在有限个子覆盖O ∃1(x 1),O ∃2(x 2),…,O ∃k (x k ),由于每个开邻域至多包含数集的有限项,矛盾.上面证明过程中用到一个命题:设{x n }为单调递增数列,若点x 的任何邻域都有{x n }的无穷多项,则x n →x (n →∞).其证明为:首先可知x 为{x n }的上界(否则不可能邻域包含无穷多项).且∀ >0,∃x n 0,x n 0∈O (x ),即x -x n 0= x n 0-x < .于是∀n >n 0,x -x n <x -x n 0< ,这说明x n →x (n →∞).6)!5)证明 用反证法.假设Cauchy 基本数列{x n }不收敛.首先易知{x n }有界[m ,M ],则∀x ∈[m ,M ],x 不是{x n }的极限,则∃ 0>0,∀M ,∃n >M , x n -x % 0.对上述的 0,由{x n }是Cauchy 基本数列,∃N ,∀n ,m >N , x n -x m < 02.这样,∃m 1>N , x m 1-x % 0,因此当n >N 时,x n -x % x m 1-x - x n -x m 1 >02, 从而O 02(x )中至多包含{x n }中的有限项.这样[m ,M ]内的每一点x ,都找到一个开邻域O ∃(x ),它至多包含{x n }的有限项.这些邻域构成闭区间[m ,M ]的一个开覆盖.以下同上,略.由其他定理证明6):3)!6),1)!6)的证明上面已给出.而仿照3)!6)的证明,容易给出2)!6),4)!6),5)!6)的证明方法.4 其他定理互证的方法定理1),2),4),5)的互证相对容易些.有时可采用构造闭区间套的方法来得到{a n },{b n }其确界,极限就是所要找的点(类似用闭区间套定理来证明).事实上,只要能用闭区间套定理的方法,都可以类似改动利用1),2),4),5)来证明,所不同的是利用1),2),4),5)去证明唯一公共点!是{a n }和{b n }的确界,极限(或某子列的极限).如仿照3)!6)的证明,容易给出2)!6),4)!6),5)!6)的证明方法.至此,我们已完成了实数系六个基本定理的完全互证方法的分析,归纳了从任何一个定理到其他定理的证明方法.这些定理的互证被这样梳理后,使得学生理解这些证明不再那么抽象和无所适从了.参考文献:[1] 欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析(上册)[M ].上海:复旦大学出版社,2003.25124期刘利刚:实数系基本定理等价性的完全互证252数 学 的 实 践 与 认 识38卷[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1980.[3] 王向东,高成修,安枫灵.数学分析的概念与方法(上册)[M].上海:上海科学技术文献出版社,1988.Complete Proof for Equivalence of FundamentalTheorems of Real Number SystemLIU Li-gang(Depar tment of M athematics,Z hejiang U niver sity,Hangzhou310027,China)Abstract: T his paper presents complete pro of o f the equiv alence o f six fundamental theor emsof r eal number sy stem.T he g ener al appro aches for the pr oo f ar e comprehensively summar ized,w hich ma kes all t he abstr act pro of be an easy task and be easily under stoo d.Keywords: Stolz theor em;L′Hospital r ule;limit;differ ence。
