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两个重要极限公式的推广

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极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限

y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y


1

1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn

a xn

a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)

1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn

A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn

a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn

lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1

1 2 ( xn

a xn
)(
n

1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e

两个重要极限及其应用

两个重要极限及其应用

189科技资讯 科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2011 NO.31

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《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式 sinlim1,li0xxxx

11,lim(1)xexx

，这两个重要极限的变形，在求解极限问题时也有

一些重要应用。

1 第一个重要极限 sinlim10xxx的推广式 lim1sin0()sin()lim1,lim1sin()()()0()0xxxxxxxxx



其中 ()x是连续的函数。也就是说首先分子分母的比值是 00型，其次正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的，这时就可以

应用重要极限的推广式。

例1:求 0sin2limxxx。

解： 00sin2sin2limlim222xxxxxx



例2:求 lim2sin(0)2nnnxx。

解： sin2lim2sin(0)lim22nnnnnnxxxxxx

例3:求 sinlimcosxxxx。解： sinsin()limcoslim[]coslimcos1xxxxxxxxxx

从以上三例题可以看出，只要是 ()0x，都有 ()lim1sin()()0xxx，

而 ()0x又分为 0lim()0,lim()0,lim()0xxaxxxx这三种情况。

2 第二个重要极限 1lim(1)xexx的两种推广形式(1)1()1.lim(1()),()0xxex

例4:求 12lim()xxxx。

解： 22112lim()lim[(1)]exxxxxxx



例5:求 2lim(cos)0xxx。解： 2(cos1)22cos1lim(cos)lim[1(cos1)]lim[1(cos1)]0002(cos1)()(cos1)0{lim[1(cos1)]}10xxxxxxxxxxxxxxxex

两个重要的极限

两个重要的极限

例7 求 解 令 arcsin x t ,则 且 x 0时，t 0
arcsin x lim x 0 x
x sin t
arcsin x t lim lim 1 x 0 t 0 sin t x
(2)
定义
1 x lim (1 ) e x x 1 n lim (1 ) e n n
arccot x 3、 lim __________. x 0 x
4、 lim x cot 3 x __________.
x 0
sin x 5、 lim __________. x 2 x
6、 lim (1 x ) _________.
x 0
1 x
1 x 2x 7、 lim ( ) _________. x x 1 x 8、 lim (1 ) _________. x x
xn 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 3 n 1 3, xn 是有界的; 2 1 n lim x n 存在. 记为 lim (1 ) e (e 2.71828) n n n2例5 求 解Fra biblioteklim
x 0
tan x sin x lim x 0 x3
tan x sin x tan x(1 cos x) 1 sin x 1 cos x lim lim ( ) 3 3 2 x 0 x 0 x x cos x x x
1 sin x 1 cos x 1 (lim )( lim )( lim ) 2 x 0 cos x x 0 x 0 x 2 x
sin口 lim （口代表同样的变量 1 口0 口

极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则 两个重要极限

∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + L + < 1 + 1 + + L + n −1 2! n! 2 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1n ) ∴ lim x n 存在. 记为lim(1 + ) = e (e = 2.71828L n→∞ n→∞ n
x → +∞
)
= lim (9
x → +∞
x
1 x x
)
1 x + 1 3
0
1 x
3 1 = 9 ⋅ lim 1 + x x → +∞ 3

1 3x ⋅x
= 9⋅e = 9
∴ lim cos x = 1,
x→0
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 Q lim 1 = 1,
x→0
sin x ∴lim = 1. x→0 x
例3
1 − cosx . 求 lim 2 x→0 x
x 2sin2 2 lim 2 x→0
解: 原式 =
x
1 sin = lim x 2 x→0 2
1 令t= , x
x→0
1t lim(1 + x) = lim(1 + ) = e. x→0 t →∞ t
1 x
1 x
lim(1 + x) = e
例.
解: 令 t = −x, 则
t →∞
lim(1+ 1)−t t
1
= lim

经济数学1.4两个重要极限

经济数学1.4两个重要极限

三.无穷小量的等价代换
tan x sin x （3） lim x 0 tan 3 3 x
sin 2 x （4）lim x 0 (1 cosx )arctan x 2
tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim 解（3） 3 x 0 x 0 tan 3 3 x tan 3 x 1 2 x x 1 2 lim 3 x0 (3 x ) 54
n
ESC
二.第一个重要 极限
sin x 1 1. lim x 0 x
(1.4.1)
因为 sin( x) sin x sin x ，所以 x x x 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 证
作单位园O， 设圆心角 AOB x ,延长 OB 交过 A点的切线于于 D ， 则 AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ AOD 面积．即 ESC
1 x 3 1 5 lim(1 ) (1 ) e 1 e x x 3 x 3 2 2 x2 x2 x x 2 lim ( ) lim (1 ) e （4） x2 2 2 x2
ESC
三.无穷小量的等价代换
1.无穷小的比较（复习） 一般的, 设 ， 是同一极限过程中的两个无穷小， 1）若 lim 0 ，则称 是比 高阶的无穷 小，也可以称 是比 低阶的无穷小； 2）若 lim c （c为非零常数），则称 与 是同阶的无穷小； 特殊地，若 lim 1 ，则称 与 是等价的无 ESC 穷小， 记为 ～ .
1 2 x 5 1 2x 1 5 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) x x x x x x 1 x 2 [lim(1 ) ] e 2 x x

3-4 两个重要的极限

3-4 两个重要的极限
注：在上例中，应用公式时，我们使用了代 换 t = 5 x ,在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin 5 x sin 5 x = 5 lim =5 lim x →0 x →0 x 5x
例4 . 求极限:
lim
sin 3 x x →0 sin 2 x
sin 3x sin 3x 3 ⋅ lim ⋅ 3x sin 3 x x →0 3x 3x = 解： lim = lim sin 2 x x →0 sin 2 x x →0 sin 2 x 2 ⋅ lim ⋅ 2x x →0 2x 2x
3 ⋅1 3 = = 2 ⋅1 2
求极限: 例5. 求极限
3 解 : lim x sin x →∞ x3
= lim (
x → ∞
3 lim x sin x→∞ x
3 sin x = 3 lim x →∞ 3 x
sin
3 x
x ⋅3)
= 3 ⋅1 =3
2
1 x lim(1 + ) = e x→ ∞ x
∴ lim(1 − cos x ) = 0,
x→0
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
sin x sinx ∴lim = 1. x→0 x
注
此结论可推广到
sinϕ( x) lim =1 x→a ϕ( x)
条件是x → a时,ϕ( x) → 0，其中a可为 有限值， 有限值，也可为∞
sinα(x) sin x =1 lim =1(α(x)→0). , lim x→0 x α(x) 例1 求lim tan x . x→0 x 解 lim tan x =lim sin x ⋅ 1 = lim sin x ⋅lim 1 =1. x→0 x x→0 x cosx x→0 x x→0 cosx 例2 求lim 1−cosx . x→0 x2 x x 2 2 2sin sin 1 1−cosx 2 = lim 2 解 lim = lim x→0 x2 x→0 x2 2 x→0 x 2 ( ) 2 x 2 1 sin 2 1 2 1 = lim x = 2⋅1 = 2 . 2 x→0 2

两个重要极限

这即证明了当 x 当x
sin x x tan x

2
(x 0 )时 , sin x x tan x

2
时 , sin x 1<

2
x.
证毕 !
(2)

证明 当 0 x
2 sin x 1, sin x x tan x , 即 cos x
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1
lim n s in
n
n
1 n
首页 ×
导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的 基础是基本初等函数的导数公式. 其中求三角函数 y sinx
sin x 1, 求对数函数 y log a x 的导数公式必须使用极限 lim x 0 x 1 1 x (1 ) lim (1 y ) y e . 的导数公式必须使用极限 lim x y 0 x
因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不 能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.
首页
×
二
函数
y
s in x lim 1的证明 x 0 x
s in x x
的图象如图3-5所示.
首页

极限存在准则与两个重要极限


100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1

极限存在准则两个重要极限公式


令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
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三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x

两个重要极限的应用探讨

两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘 要微积分中的两个重要极限是:①1sin lim 0=→x x x ; ②e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 对∞1型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.Key words：Two important limits; calculus; application;第1章 绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。

准则1（夹逼准则）：如果（1）当x ∈U （x 0，r ）或（｜x ｜>M ）时，()()()g x f x h x ≤≤ （2）()()A x h A x g x x x x ==→→0lim ,lim 或()()A x h A x g x x ==∞→∞→lim ,lim那么()x f x x 0lim →或()x f x ∞→lim 存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。

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两个重要极限公式的推广第一个重要极限的公式：lim sinx / x = 1 (x->0)。

当x→0时，sin / x 的极限等于1，特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0；第二个重要极限的公式：lim (1+1/x) ^x = e （x→∞）。

当x → ∞ 时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x → 0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改
进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。