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不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
认识不等式及其性质不等式在数学中是一个重要的概念，它用于描述数值之间的大小关系。
通过学习不等式，我们可以更深入地理解数学的性质和规律。
本文将介绍不等式的基本概念、性质以及与之相关的重要定理和推论。
一、不等式的基本概念1. 定义不等式是用不等号连接的数学表达式，表示两个数值的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。
2. 不等式的解集一个不等式可以有无穷多个值满足，这些满足不等式的值构成了不等式的解集。
解集可以用数轴上的线段表示，也可以用集合表示。
二、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果 a>b 且 b>c，则有 a>c。
这个性质在解不等式时非常有用。
2. 加法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a+c>b+c。
3. 减法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a-c>b-c。
4. 乘法性1）对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 ac>bc。
2）对于任意的实数 a、b 和负数 c，如果 a>b 且 c<0，则 ac<bc。
5. 除法性对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 a/c>b/c。
三、一元一次不等式一元一次不等式是一个最简单的不等式形式，形如 ax+b>0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。
1. 解一元一次不等式的基本步骤对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以按照以下步骤解决：1）如果 a>0，则不等式解集为 x>-b/a。
2）如果 a<0，则不等式解集为 x<-b/a。
2. 一元一次不等式的规范形式规范形式是指将不等式整理成 a>0 或 a<0 的形式。
通过规范形式，我们可以更方便地求解不等式。
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的定义与性质不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数、变量或数与变量之间的大小关系。
在代数学和几何学中，不等式具有重要的作用，而理解不等式的定义与性质对于解决各种数学问题至关重要。
一、不等式的定义在数学中，不等式是指通过不等号（<，>，≤，≥）来表示两个数或表达式之间的大小关系。
一个基本的不等式方程形式为：a > b，其中a和b是两个数或表达式。
不等式的表示方式可以分为两种形式：严格不等式和非严格不等式。
严格不等式使用大于号（>）或小于号（<）来表示，表示不等式两边的值不相等；非严格不等式使用大于等于号（≥）或小于等于号（≤）来表示，表示不等式两边的值可以相等。
二、不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，a≥a或a≤a是成立的，即任何数与自身相等或小于等于自身。
2. 传递性质：如果a>b且b>c，则a>c。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而这个数又大于另一个数，那么第一个数一定大于最后一个数。
3. 相加性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
也就是说，对不等式两边同时加上相同的数，不等式的大小关系保持不变。
4. 相乘性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。
也就是说，如果一个数大于另一个数，而且还与一个正数相乘，那么乘积的大小关系保持不变。
以上性质在解决不等式问题时经常会使用，可以帮助我们推导和证明不等式的结果。
三、解不等式的方法解不等式是求解满足给定条件的变量范围。
常用的解不等式的方法包括移项法、分段法和因式法等。
1. 移项法：将含有未知数的项移到一边，常用于解一元一次不等式。
例如，对于不等式3x+5>7，我们可以通过将5移到不等式的右边，得到3x>2，再将不等式两边同时除以3，得到x>2/3。
2. 分段法：将不等式根据不同的条件范围进行分段，进而分别求解不等式。
初中不等式知识点公式总结初中不等式知识点公式总结初中阶段是学习不等式的重要阶段。
不等式作为数学中的重要概念和工具，在解决实际问题和进行数学推理推导时起着重要的作用。
下面将对初中不等式的知识点和相关公式进行综合总结。
一、不等式的概念与性质1. 不等式的定义：不等式是用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示的数之间的大小关系。
2. 不等式的性质：(1) 等价不等式：对于同一不等式，若在两边同时加（或减、乘、除）相同的非负数，则不等号的方向不变。
(2) 字母互换不等号改变：若将一个不等式中的两个数的位置调换，不等式的符号必须改变。
(3) 不等式两边乘以同号数：若不等式两边乘以同号数，则不变不等式的符号。
(4) 小于0整体取反：若不等式两边乘以同号数时，若乘积小于0，则不变不等式的符号。
(5) 加减不等式：若两个不等式都成立，则其代数和（或代数差）也成立。
(6) 乘除不等式：若两个不等式都成立，其代数积（或代数商）也成立。
二、常见的不等式及其性质1. 平均值不等式(1) 算数平均数和几何平均数不等式：对于正数a1，a2，...，an，有2/(1/a1+1/a2+...+1/an) ≤ (a1+a2+...+an)/n ≤√(a1*a2*...*an)(2) 算术平均不等式：对于非负数a1，a2，...，an，有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)(3) 加权平均不等式：对于正数a1，a2，...，an和权重w1，w2，...，wn，有(w1*a1+w2*a2+...+wn*an)/(w1+w2+...+wn) ≥√(w1*a1*w2*a2*...*wn*an)2. 差积等式(1) 平方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a²-2ab+b²(2) 立方差等式：对于任意实数a和b，有(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³3. 等差数列与等差不等式(1) 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d其中，a1为首项，d为公差。
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。
一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。
这一性质在比较大小时起到了重要的作用。
2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。
这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。
3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。
4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。
例如，如果a>b，则-b>-a。
这一性质在求解不等式时需要注意。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。
通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。
3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。
例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。
4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。
例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。
例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。
不等式的基本性质及求解方法在数学中，不等式是描述数值之间关系的一种表达方式。
与等式不同，不等式表达了两个数中的一个大于、小于或不等于另一个数的关系。
本文将介绍不等式的基本性质以及常见的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式的关系具有传递性，即一个数大于另一个数，那么它也大于另一个与后者相等的数。
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b。
这个性质说明了不等式的关系具有反对称性，即一个数小于等于另一个数，同时另一个数也小于等于前者，则这两个数相等。
3. 相反数性质：如果a>b，则-a<-b。
这个性质说明了不等式的两边取相反数后，不等号的方向会发生翻转。
4. 倍增性：如果a>b，并且c>0，则a*c>b*c。
这个性质说明了不等式在两边同时乘上正数的情况下，不等关系保持不变。
二、求解方法1. 加减法求解：如果a+b>c，则a>c-b；如果a-b>c，则a>c+b。
这种方法适用于对不等式进行加减运算求解的情况。
2. 乘除法求解：如果a*b>c (且b>0)，则a>c/b (其中b>0)；如果a*b<c (且b<0)，则a<c/b (其中b<0)。
这种方法适用于对不等式进行乘除运算求解的情况。
需要注意的是，在乘除法求解中，当乘（除）以负数时，不等号需要进行反向翻转。
3. 绝对值法求解：对于形如|a|>b的不等式，有两种情况：a>b 或 a<-b。
取其并集，即a>b 或 a<-b。
4. 平方法求解：对于形如x^2>a的不等式，有两种情况：x>√a 或 x<-√a。
取其并集，即x>√a 或 x<-√a。
5. 区间法求解：对于形如a<x<b的不等式，解集为(a, b)。
一、不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．（1）4＜5；（2）x2+1＞0；（3）x＜2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a≥4a-2．变式练习：1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤272.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④31y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x -3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子： 3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x -1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）A ．两种客车总的载客量不少于500人B ．两种客车总的载客量不超过500人C ．两种客车总的载客量不足500人D ．两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m •n 0；（6）m+1 0．例2．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．举一反三：【变式】的值一定是（ ）．A. 大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.个 个 个 D. 4个要点二、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ） A.x x 5> B ．2x ＞1-x 2C ．x+2y ＜1D ．2x+1≤3x变式练习2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）11..>+x x A B ．x 2-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-23．（2016春•永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（） A ．a≠1 B ．a=0 C ．a=1 D ．a=24.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．①x＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④132≤-xx ；⑤11>+x x ；A ．1B ．2C ．3D ．4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c＞b±c .不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)．例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．【巩固练习】一、选择题1. （2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个 D．5个2．下列不等式表示正确的是( ).A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.>c <c <b <c6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则C．若，则x＞-5 D．若，则二、填空题7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a ﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为．9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解．10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b；(3)_______； (4)a+l________b+1．11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．(1)2a________a+b (2)_______(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）三、解答题13．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______；②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________；③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________；④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______；⑤用a、b的其他值检验你的猜想______．15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C.2. 【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。
3.【答案】B.4.【答案】D；【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．5.【答案】A.6.【答案】B；【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。
