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人教A版高中数学选修2-2 3.1.2 导数的概念PPT

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人教版高中数学选修2-2全套课件

人教版高中数学选修2-2全套课件

(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量

人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件

人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)

人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内

高考数学一轮复习第二篇第10节导数的概念与计算课件理新人教A版

高考数学一轮复习第二篇第10节导数的概念与计算课件理新人教A版

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解：(1)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x； (2)因为 y＝sin 2x(－cos 2x)＝－12sin x， 所以 y′＝(－12sin x)′＝－12(sin x)′＝－12cos x.
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修2-2)
第 10 节 导数的概念与计算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3， y＝ x的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数.
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【教材导读】 曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”有何不 同？ 提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜 率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以 是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
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【即时训练】 求下列函数的导数： (1)y＝( x＋1) 1x－1； (2)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2； (3)y＝ee2xx＋＋ee－－x2x.
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解：(1)因为 y＝ x·1x－ x＋ 1x－1
＝－x12＋x－12，
所以 y′＝－(x12)′＋(x－12)′＝－12x－12－12x－32

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
复习课件
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C

人教a版数学【选修2-2】1.1.2《导数的概念》ppt课件


常数 叫做t0时刻的瞬时速度．即 常数 ，我们就把这个______ 于______
st0＋Δt－st0 Δs lim Δt Δt→0 v＝ lim ＝ ______________________. → Δt
Δt 0
故瞬时速度就是运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的 单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为( ) A．3m/s B．2m/s C．1m/s D．0m/s [答案] D
Δx 0
典例探究学案
瞬时速度
1 2 已知自由落体的运动方程为s＝2gt ，求： (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； (2)落体在t0时的瞬时速度； (3)落体在t0＝2秒到t1＝2.1秒这段时间内的平均速度； (4)落体在t＝2秒时的瞬时速度．
[分析] 平均速度 v 即平均变化率，而瞬时速度即是平均 速度 v 在Δt→0时的极限值，为此，要求瞬时速度，应先求出 平均速度，再求 v 当Δt→0时的极限值．
)
f1＋Δx－f1 1 1 [解析] 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δx Δx→0
4．(2013· 揭阳一中段考)若f(x)＝x3，f ′(x0)＝3，则x0的值 为( ) A．1 C．± 1 [答案] C B．－1 D．3 3
fx0＋Δx－fx0 [解析] ∵f ′(x0)＝ lim Δx Δx→0 x0＋Δx3－x3 0 ＝ lim Δx Δx→0
3．对导数定义的理解要注意： 第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但 Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0； 第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自 变量改变量之___的极限．因此，它是一个常数而不是变量 ； 比

3.1.2导数的概念课件人教新课标1


二、问题探究
问题1.已知高台跳水运动员距水面的高度 （h 单位:m）
与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系 h(t) 4.9t2 6.5t 10
求运动员在 t=1时的瞬时速度.
分析：我们先考察在 t=1附近的情况.
在 t=1之后（或之前），任选一个时刻 1+t ，
计算 1，1+t（ 或1+t，1）上的平均速度，在表格
人教A版实验教科书 选修1-1 第三章 第一节 第二课时《导数的概念》
导数的概念
一、复习回顾
探究：某高台跳水运动员距水面的高度与起跳 后的时间存在函数关系：h(t) 4.9t2 6.5t 10 计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度；
49
思考并回答下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？如何解决这个问题？
x
分享课前作业：
收集你身边的“变化率”
三、抽象概念 数学表达
从数学的角度思考上述5个实例，在“过程与 方法”、“结果的情势”上有哪些共性？
过程与方法
结果的情势
1、用运动变化的观点 研究问题；
2、应用了极限的思 想；
3、用平均变化率 逼近瞬时变化率.
1、结果都是一个确 定的值；
2、具有一样的表现 情势.
0.000001
-3.3000049
-0.000001 -3.2999951
我们发现，当t 趋近于0 时，即无论1 t 从小于
1的一边，还是从大于1 的一边趋近于1 时，平均速
度都趋近于一个确定的值 3.3.
v h(1 t) h(1) 4.9t 3.3
t
从物理角度看，时间间隔 t 无限变小时，平均速 度 v 就无限趋近于 t=1 时的瞬时速度.

高二数学选修2-2课件：1.2 导数的计算2(新人教A)


其中g(x) 0
例1、求下列函数的导数：
1.y
(x3
2x)(
1 x3
4);
2.y x2 ln x;
3.y ex ; x
4.y tan x.
例2、 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不 断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为：
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.
a
8.(ln x) 1 x
2、导数的运算法则
1.[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
2.[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x)
推论：[Cf (x)] Cf (x)
3.[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
求f (0), f (5)的值.
《学海》习题讲解
作业： 1、《学海》第5课时 2、教材P18：A组5、6、7.
（1）90%；（2）9来自%.c(x ) = 5284 (80 < x < 100) 100 - x
c¢(90) =
5284 (100 - 90)2
=
52.84
c¢(98) =
5284 (100 - 98)2
=
1321
例3、求和：1 2x 3x2 nxn1 (x 0, x 1)
例4、已知f (x) x(x 1)(x 2)x 8)
高中数学新课程选修2-2
第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算
第二课时
1、基本初等函数的导数公式
1.（C） 0
2（. xn ) nxn1(n Q )
3.(sin x) cos x

高中数学3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版选修1_1


判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)sin

π3′＝cos
π 3.(
×
)
(2)因为(ln x)′＝1x，则1x′＝ln x．( × )
(3)运用导数的运算法则求导时，不用考虑 f′(x)，g′(x)是否存
在．( × )
下列结论不正确的是( )
A．若 y＝0，则 y′＝0
3
解：(1)y′＝(lg x)′＝llnn1x0′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln
1 2
＝－12xln 2.
(3)y′＝(x x)′＝(x32)′＝32x12＝32 x.
(4)y′＝(log1x)′＝ 3
1 1＝－xln1 3.
B．若 y＝5x，则 y′＝5
C．若 y＝x－1，则 y′＝－x－2
D．若
1
y＝x2，则
y′＝12x12
答案：D
若 y＝2x3＋cos x，则 y′等于( )
A．6x2－sin x
B．2x3－sin x
C．6x2＋sin x
D．6x2－cos x
答案：A
函数 y＝x·ln x 的导数是( A．x C．ln x＋1 答案：C
数学运算
则
数的运算Βιβλιοθήκη 导数公式与运 能利用导数公式及运算法则解 算法则的应用 决切线问题
数学运算
问题导学 预习教材 P81～P85，并思考下列问题： 1．函数 y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝ x的导数分别是什 么？能否得出 y＝xn 的导数公式？ 2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式 是什么？ 3．导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？
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例
1 已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x3时，f '(x)0; f(x )在 此 区 间 递 减
当x 3或x 2时，f '(x) 0; f(x )在 此 区 间 递 增
当x 3或x 2时，f '(x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
则a的取值范围为( )
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
∴f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，（2，+∞)； f(x)的单调递减区间是（0，2)。
说明:当函数的单调增区间或减区间有多 个时，单调区间之间不能用 连接，只 能分开写，或者可用“,”“和”连接。
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y f(x) 的定义域D
(2)求导数 f (x).
(3)解不等式组 ;
例2：求曲 y线1 在点 P(1， 1)处 x
的切线的斜率。
练习:如图,已知曲线 y1x3上一P(点 2,8), 求:
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
解(： 1)y(2)1点x3P, 处y的 切lim 线D方y 程li.m13(xDx)3
1 3
x3
4
y y
1
x3
3
3
Dx0 Dx Dx0
Dx
3
1 3x2Dx3x(Dx)2 (Dx)3 lim
形状是( D ）
y
y
y
y
o1 4
A
x o1 4
B
x o1 4
C
xo 1 4 x
D
例
2．应用导求函数的单调区间
2.求函数 y3x2 3x 的单调区间。
解： y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x的单调递增区间为 ( 1 , )
2
单调递减区间为 ( , 1 )
2
f '(x) 0 f(x ) 在 (a ,b ) 内 单 调 递 增 f '(x) 0 f(x )在 (a ,b ) 内 单 调 递 减
y
y
注意： y=f(x)
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
应正确理解 “ 某个区间 ”的含义，它必是定义
域o 内a的某个区间。b x
oa
bx
1．应用导数信息确定函数大致图象
y f (x)的图象大致是（Ｃ ）
-2
2 1x
-１ -２ ２
Ａ
２ -１ １
-２ -１ １
Ｂ
Ｃ
-１ -２
Ｄ
巩
固
f(x )1x 31x27单 调 区 间 322
（第一步）定义域R , f (x) =x2-x=x(x-1)
（第二步）令x(x-1)>0, 得x<0或x>1，则 f(x)单调 递增区间（－∞，0）,（1， +∞）
导数的概念
基本初等函数的导数公式：
(1)(x)' x1(为常数）
(2)a (x)'axln a0且 (,a a1)
(3)l(o ax)g '1 xlo ae gx1l(a n0 a ,且 a1)
(4)(ex)' ex
(5)(lnx') 1 x
(6)(sinx)' cosx (7)(co' sxs)inx
P
2
3Dx0
Dx
1
1 l i m[3x2 3xDx(Dx)2] x2.
3yDx| x 02224.
-2 -1 O -1
-2
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y16=0.
函数单调性与导数正负的关系
在 某 个 区 间 (a,b)内 ,
（第三步）令x(x-1)<0,得0<x<1,则f(x)单调递增
注意: 区间(0,1).
求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接
一、函数的极值定义
y
使函数取得极值的 y 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
yA
Hale Waihona Puke 解： f ( x ) 的大致形状如右图： y f (x)
这 里 ， 称 A , B 两 点 为 “ 临 界 点 ”
B
o 2 3x
已知导函数 f ' ( x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
变1：求函数 y3x33x2 的单调区间。
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
令y' 0得03x 2
3
2
2. 利用导数判断、证明函数的单调性
？
例2 确定函数f(x)=2x3－6x2+7的单调区间
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
问题：已知函数y xf ' (x)的 图象如图（其中f '(x)是f (x) 的导函数）下列四个图象中
y 2
-1 -2
1 -1
f (x) > 0 xD
得f(x)的单调递增区间
f (x) < 0
解不等式组 x D 得f(x)的单调递减区间 .
例2. 判断下列函数的单调性 ，并求出单调区间
（1） f(x)x33x
（2） f(x)x22x3
（3） f(x ) si x n x ,x ( 0 , )
（4） f(x ) 2 x 3 3 x 2 2x 4 1
1. 利用导数求瞬时速度
例1:物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 2
gt
2 其中位
移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.则 物体在t=2 s时
的瞬时速度为
.
例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程.
yQ
y = x 2+1
Dy
P
M
Dx
1j
x
-1 O 1