高等数学 导数概念

好像见过面啊！
三、导数的几何意义
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面 曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :
k tan f (x0 )
此时, 切线方程为: y y0 f (x0 )(x x0 )
f (x0) = 0 y
y=c
2
22
物体由 t 到 t + t 一段的平均速度是
V (t) S(t t) S(t) 1 g(2t t t 2 )
(t t) t 2
t
gt 1 g t 2
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt , 就是 令 t0 的极限过程：
Vt
lim V
t 0
(t)
lim
t 0
S (t
t) t
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十讲 导数的概念
第四章 函数的导数和微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 ▪ 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 ▪ 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 ▪ 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
O
x0
x
y f (x0)不存在
f (x0) = y

例1 已知f ( 3) 2, 求
(1)
f ( 3 h) f ( 3) lim h0 2h
1 f [ 3 ( h)] f ( 3) 解 原式 lim ( ) 2 ( h) h 0
h x
1 f ( 3 x ) f ( 3 ) ( ) lim 2 x 0 x
2°导数的其它形式
f ( x0 x ) f ( x0 ) x x 0 x h lim f ( x0 h) f ( x0 ) h h 0 x x0 x f ( x ) f ( x0 ) lim . x x0 x x0
f ( x0 ) lim
3°在一点的导数是因变量 在点 x0处的变化率,
它反映了因变量随自变量的变化 而变化的 快慢程度.
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t0时刻的瞬时速度
f ( t 0 )
曲线 C : y f ( x ) 在 M 点处的 切线斜率
f ( x0 )
此外在经济学中, 边际成本率, 边际劳动生产率 和边际税率等，从数学角度看就是导数.
证 设
从而 故
在点 x 0处可导, 即
y f ( x0 ) ， 其中 x
x 0
函数 f ( x )在点 x0连续 .
x 1, 例9 讨论 f ( x ) x 1,
解
x 0
x0 x0
在 x 0处的可导性.
y
O x
f (0 ) lim ( x 1) 1 f (0 ) lim ( x 1) 1
h 0
∴
定理成立.
例2 讨论函数 f ( x ) x 在点x 0处的可导性.

高等数学知识点总结高等数学是学习数学的一个重要分支，它包括微积分，线性代数，数学分析等多个学科的内容。

在大学阶段，高等数学是理工科学生必修的一门课程，它为学生提供了深入掌握数学知识的基础。

下面将对高等数学中的主要知识点进行总结。

微积分微积分是高等数学的重要内容，它包括微分学和积分学两个部分。

微分学微分学探讨的是函数的变化趋势，它通过导数定义函数的切线和函数在某一点的波动情况。

常用的微分运算有：1、导数的定义和求导法则导数的定义：对于函数f(x)，当x的增量越来越小时，函数在x处的导数为：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)导数的求导法则:常数乘积法则：(cf(x))'=cf'(x)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g(x)^22、高阶导数高阶导数定义: 给予函数f(x)，可以通过反复求导得到f(x)的高阶导数。

f'(x),f''(x),f'''(x)...3、微分中值定理和Taylor公式微分中值定理：对于函数f(x)，和它的两个不同点a,b(a<b)，则在f(a)和f(b)之间至少存在一个点c将f(b)-f(a)和f′(c)联系起来。

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)Taylor公式: 它用多项式函数来描述函数局部的变化特征。

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示x→a时比(x-a)^n对应的函数趋近于0到一个高阶无穷小量。

h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,

右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为

2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0

第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。

记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。

右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。

【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。

简析导数的概念在高等数学中的综合应用导数是高等数学中一个非常重要的概念，它不仅在微积分中起着至关重要的作用，还在其他数学领域中有着广泛的应用。

本文将就导数的概念在高等数学中的综合应用进行简析，以便读者更好地理解导数在数学中的重要性和广泛应用。

一、导数的基本概念在高等数学中，导数的概念是由函数的变化率引出的。

对于函数y=f(x)，如果函数在某一点x处具有极限\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]那么这个极限就是函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，并称之为函数f(x)在点x 处的导数。

导数的计算方法有很多，例如利用极限定义计算、使用基本导数法则、使用高阶导数等方法。

这些方法在实际应用中都有各自的优缺点，需要根据具体情况灵活运用。

二、导数的在微积分中的应用1.函数的极值点与最值在微积分中，函数的极值点和最值是非常重要的问题。

利用导数的概念，我们可以通过求导来判断函数的极值点和最值。

一般来说，函数在极值点处的导数为0，这是判断极值点的一个重要条件。

通过导数的符号和大小可以精确地确定函数的极值点和最值，这对于函数的性质和图像的研究非常有帮助。

2.函数的凹凸性和拐点利用导数的概念，我们可以对函数的凹凸性和拐点进行研究。

函数的凹凸性和拐点是函数的曲率和曲线形状的重要性质，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

通过求导得到函数的二阶导数，我们可以判断函数的凹凸性和确定函数的拐点，这对于函数的图像和形状的研究非常有帮助。

3.函数的导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是两个基本的概念，它们之间有着密切的联系。

利用导数和积分的关系，我们可以进行函数的求导和积分运算。

导数和积分不仅可以相互转化，还可以通过导数和积分的基本定理来解决实际问题，例如曲线的长度、曲线下的面积等问题。

除了在微积分中的应用外，导数在物理学中也有着广泛的应用。

算法优化中的导数
最优化算法中的导数
在算法优化中，导数是用来估计梯度方向的工具。通过使用导数，可以找到 函数的最小值或最大值，并优化算法的性能。
机器学习中的导数
在机器学习中，导数是用来训练神经网络的工具。通过使用导数，可以训练 神经网络的权重和偏置项，以最小化损失函数并提高模型的性能。
06
导数的进一步学习和研究
导数的四则运算
加法
减法
$f(x)+g(x)$ 的导数为 $f'(x)+g'(x)$
$f(x)-g(x)$ 的导数为 $f'(x)-g'(x)$
乘法
除法
$f(x)g(x)$ 的导数为 $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
$f(x)/g(x)$ 的导数为 $(f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2$
在计算机动画中，导数被用来计算物体的运动速度和加速度。通过使用导数，可 以创建更自然和平滑的动画效果。
数据拟合中的导数
线性回归中的导数
在线性回归中，导数是用来计算回归系数的工具。通过使用 导数，可以找到最佳拟合数据点的线性回归方程。
曲线拟合中的导数
在曲线拟合中，导数是用来估计曲线参数的工具。通过使用 导数，可以找到与数据点最接近的曲线参数。
THANKS
感谢观看
导数的定义式
$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d}{dx}f(x)$
导数的性质
导数的加法
$[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)$

高数导数第一章知识点总结高数导数第一章知识点总结高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它是微分学的基础。

导数的概念由牛顿和莱布尼兹在17世纪发现，并逐渐发展为现代微分学的基础。

导数的概念在物理、数学、经济等多个领域中起着重要的作用。

在高等数学教学中，导数一般是在第一章进行介绍和讲解的。

本文将对高数导数第一章的知识点进行总结。

一、导数的定义及基本概念导数的定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若极限lim┬(Δx→0)⁡[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记作y’（x0）或f’（x0）。

导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数等于函数的图象通过点（x0，f（x0））处的切线的斜率。

导数的基本运算法则：和差乘商，复合函数的导数法则。

二、常见初等函数的导数常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的导数。

三、高阶导数和高阶可导性定义：设函数f（x）在开区间I上有定义。

若对I上每一个x，f（x）的导数f’（x）在I上有定义，则称f（x）在I上可导。

定义：若函数f（x）在区间I上f上连续，且在I上每一点可导，那么f（x）在I上的导函数f’（x）在I上也是可导的，则称f（x）在I上二阶可导。

定义：若函数f（x）在区间I上连续，且在I上的每点可导。

在I上的每点的导数f’（x）都在I上可导，则称f （x）在I上三阶可导。

依此类推，我们还可以定义四阶可导，五阶可导等等。

四、隐函数和参数方程的求导隐函数导数的求法：设有方程F（x,y）=0确定一个隐函数y=f（x），当x在一定范围内，由方程F（x,y）=0所确定的y唯一存在并连续。

求y关于x的导数。

参数方程导数的求法：设x=g（t），y=h（t）是由参数方程所确定的函数y=f（x）=h（t）/g（t），求y关于x的导数。

五、高中常见函数的求导法则概率函数，指数函数，幂函数，对数函数，三角函数的求导法则。

x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束

第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程

，即 = . 对于变速直

时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，



→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值

x
log

1+
1

= 1 +



y
1

1

1 +
→0




y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y

点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )

(2)可导函数的极值点 x0 一定满足 f (x0 )＝0，但当 f (x1)＝0 时，x1 不一定是极值点．如 f(x)＝x3， f (0)＝0， 但 x＝0 不是极值点．
核心导语
3 个必知条件——导数应用中的三个重要结论
(1) f (x)>0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充
导数
知识网络
导数概念 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
核心导语
一、导数概念及运算
1个重要区别——“过某点”与“在某点”的区别
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线” 的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定 在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2项必须防范——导数运算中应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子符号，防 止与乘法公式混淆． (2)含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
核心导语
3种必会方法——求导数的基本方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导． (2)根式形式：先化为分数指数幂、再求导． (3)复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差， 再求导.
内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的
个数为 1 .
第1讲 导数及其应用
考向一 导数的基本运算
例1 求下列函数的导数．
热 点
(1)y＝exlnx；
考 向
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

∆y ∆y = f ′( x 0 ) + α lim = f ′( x0 ) ⇒ ∆ x →0 ∆ x ∆x
其中 α → 0 ( ∆ x → 0) . 则
∆ y = f ′( x 0 ) ∆ x + α ∆ x
∆x → 0
lim ∆ y = lim [ f ′( x0 )∆ x + α ∆ x ] = 0 ,
N 沿曲线C → M , x → x0 ,
切线 MT 的斜率为
由上可得: 由上可得: 1) 变速直线运动的瞬时速度
2) 曲线切线的斜率
两个问题的共性: 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 函数增量
二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 y = f ( x)在点x0的某个邻域内有定义,
当自变量 x在 x0处取得增量∆x(点 x0 + ∆x仍在该邻域 ) 内 时, 相应地函数 y取得增量∆ y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); 如果∆ y与∆x 之比当∆x → 0 时的极限存在, 则称函数 y = f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y = f ( x) 在点x0处的导数, 记为
1 1 = ( )′ 1 = − 2 x x= 2 x
1 x= 2
= −4 .
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ) , 即 4 x + y − 4 = 0 . 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ) , 即 2 x − 8 y + 15 = 0 . 4 2
四、函数可导性与连续性的关系 定理 凡可导函数都是连续函数 . 证 设函数 f ( x ) 在点 x0 可导 , 得

导数的概念和定义高数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。

它在数学和物理学等领域中具有广泛应用，并且是理解微积分的基础之一。

本文将详细介绍导数的概念和定义，并探讨其在高等数学中的意义和应用。

一、导数的概念导数描述了函数在某一点的切线斜率，或者说函数在该点的瞬时变化率。

对于函数f(x)，若它在某一点x处的导数存在，那么导数f'(x)表示函数在该点的切线斜率。

如果函数在每一个点的导数都存在，那么这个函数被称为可导函数。

导数的概念可以用极限来精确定义。

设函数f(x)在点x处连续，那么该点的导数f'(x)可以通过以下极限公式来计算：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```其中，h表示自变量的增量，即x+h代表一个比x更接近的点。

上述极限即为切线的斜率。

二、导数的定义导数的定义是导数概念的具体表达，用来计算函数在某一点处的导数值。

根据导数的概念，导数的定义可表示为：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```这就是导数的一种常见形式定义。

根据这个定义，我们可以计算函数在某一点的导数值。

三、导数的意义和应用导数在高等数学中具有重要的意义和应用。

首先，导数可以用来求函数的极值点。

对于一个可导函数，在其极值点处导数等于0。

通过求导，我们可以找到函数的极值点，并进一步研究函数的性质。

其次，导数可以用来描述函数的变化趋势。

函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化快慢。

如果导数为正，表示函数在该点递增；如果导数为负，表示函数在该点递减；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。

此外，导数还可以用来求解曲线的切线方程。

利用导数的概念，我们可以求得曲线在某一点的切线斜率，并通过点斜式方程来求解切线方程。

切线方程在物理学等应用领域中具有重要意义。

导数的概念和定义在高数中是非常基础的概念，它为后续的微积分学习奠定了坚实的基础。

y f (x) BB
y
x
xx0 0xx
C x
(2)切线AC的斜率为割线AB的斜率的极限。
即
tatng llixximm00ttagnllxiixmm00
yy xx
lim x0
f (x0 x) f (x0 ) 。 x
变化率数学模型
以上例子如果不考察问题的实际内容，从研究的问题 来看，都是瞬时变化率问题，从数学结构来看，都具有 完全相同的数学模型
联系：函数 f (x)在点 x0处的导数 f (x0) 就是导函数
f (x) 在 x x0处的值，即
f (x0 ) f x xx0
注：通常，导函数也简称为导数．
练习1 [电流强度]
设有非稳恒电流通过导线．通过该导线横截面的电量为
Q Qt. 求时刻 t0 的电流强度 I t0 .
I t0
一、引例
1.变速直线运动的瞬时速度问题
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。
求t0时刻的瞬时速度v(t0 )：从t0到t0 t这段时间内,
平均速度
v s f (t0 t) f (t0 )
t
t
当 t 0时, 平均速度的极限为
s
f (t0 ) f (t0 t)
瞬时速度
v(t0 )
（导数的几何意义）
y
f(x0) O
y=f(x)
法线
M
x0
切线方程为：
yy 0f (x 0)(xx 0)。 法线方程为：
yy 0
f
1 (x0 )
(xx 0)。．
x
例:求 y 1 在x=1处的导数，并求曲线在这点处的 切线方程、x 法线方程。
解 (1)y f (1 x) f (1) x

高等数学导数概念“嘿，同学们，今天咱们来好好聊聊高等数学导数概念。

”导数啊，它可是高等数学中非常重要的一个概念。

简单来说，导数就是用来描述函数变化率的工具。

就好比说，我们要研究一辆汽车行驶速度的变化情况，导数就能告诉我们在某个时刻它速度变化的快慢。

举个例子吧，假设有个函数f(x)=x²。

那它的导数 f'(x)就是 2x。

这意味着什么呢？当 x 取不同的值时，2x 就告诉我们了函数在那个点处变化的快慢程度。

比如说，当 x=1 时，导数就是 2，这就表示在 x=1 这个点，函数的变化率是 2。

再比如说，我们看一个自由落体运动的例子，物体下落的高度 h 与时间 t 的关系可以用h=1/2gt²来表示，这里的 g 是重力加速度。

那么对这个函数求导，得到的导数就是速度 v=gt，它就告诉我们物体在不同时刻的下落速度。

导数的应用那可太广泛了。

在物理学中，它可以用来分析各种运动的规律；在经济学中，可以帮助我们研究成本和收益的变化情况；在工程学中，对于设计和优化各种系统也起着关键作用。

再比如，我们考虑一个企业的成本函数 C(x)，它表示生产 x 个产品的总成本。

那么导数 C'(x)就表示生产额外一个产品所增加的成本，也就是边际成本。

通过研究边际成本，企业可以做出更合理的生产决策。

导数还有很多重要的性质和定理。

比如，导数为零的点可能是函数的极值点，通过求导我们可以找到函数的最值，这在优化问题中非常重要。

总之，导数是高等数学中一个极其重要的概念，它为我们理解和分析各种函数的行为提供了有力的工具，在各个领域都有着广泛的应用。

同学们一定要好好掌握它，这样才能在后续的学习和实际应用中更加得心应手啊！。