江苏省宿迁市高中数学第2章概率第6课时二项分布(1)导学案(无答案)苏教版选修2_3

《概率》班级姓名学习目标：（1）理解并掌握随机事件发生的概率；（2）理解并掌握古典概型及几何概型。

重点、难点：（1）随机事件发生的概率、古典概型及几何概型的特点（2）古典概型及几何概型的解题步骤任务一、复习课本相关的章节并填空【知识梳理】1．古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：(1) ；(2) ．2．在基本事件总数是n的古典概型中，每个基本事件发生的概率是 .如果某个事件A包含了其中个等可能事件，那么事件A发生的概率P(A)＝ . 3．几何概型的基本特点：(1) ；(2) ．4．几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝ .注意：在这里，D的测度不为0，其中“测度”的意义由D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．【基础练习】1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 .2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .第2题图第6题图3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 .4. 设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上” .则P(M)= ,P(N)= .6.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为 .任务2、认真理解古典概型与几何概型的特点完成例题【典型例题】例1.同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率注意：（1）本题中基本事件的总数是多少（2）解题步骤书写的规范性例2.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率.例3.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.【概率】反馈练习1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则P10 P1（填“＞”“＜”或“=”）.2.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是 .S的概率是 .3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于44.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 .5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件C n（2≤n≤5，n∈N），若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为 .6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x+y=5下方的概率是 .7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）.9. 5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.10、已知函数)(,)(2xfcbxxxf++=满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(ff……………………①（1）求)1(f的取值范围；（2）若)(,,,40,40xfZcbcb记函数且∈≤≤≤≤满足条件①的事件为A，求事件A发生的概率。

课时1 随机变量及其概率分布(1)【课前预习案】一、学习目标1．理解随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．二、复习回顾：《必修3》中相关概率的概念基本事件、随机事件、古典概型【课中学习案】一、问题导学1.在一块地里种下10株树苗, 成活的树苗数Ｘ是0 , 1 , …, 10中的某个数.2.抛掷一颗骰子, 向上的点数Ｙ是1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6中的某个数.3.新生婴儿的性别抽查, 男婴用0表示, 女婴用1表示, 那么抽查的结果Z是0和1中的某个数．……上述现象的共同特点有哪些?二、建构数学1.随机变量的定义: 一般地，如果________________，可以用一个________来表示，那么这样的________叫做随机变量，2.随机变量的表示：(1) 通常用大写拉丁字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示;(2) 用随机变量的取值表示随机事件：用形如“X=4”或“ξ<5”的形式来表示相应的随机事件；3. 随机变量取值的概率:4．随机变量的概率分布(1)分布列一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且____________，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的____________，简称为X的分布列．(2)概率分布表将①用下表形式表示出来X x1x2…x nP p1p2…p n则上表称为随机变量X(3)性质①________(i＝1,2，…，n) ②p1＋p2＋…＋p n＝________.三、互动导悟例1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(3)某个人的属相随年龄的变化；(4)在标准状况下，水在0 ℃时结冰．例 2.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次, 用Ｘ表示掷得正面的次数, 则随机变量Ｘ的可能取值有哪些?(2)一个实验箱中装有标号为1 , 2 , 3 , 3 , 4 的五只白鼠, 从中任取1只, 记取到的白鼠的标号为Y, 则随机变量Y的可能取值有哪些?例3.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数,则随机变量X的取值的概率？(2)一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到白鼠的标号为Y，则随机变量Y的取值的概率？例4设随机变量X的概率分布P⎝⎛⎭⎫X＝k5＝ak (k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P⎝⎛⎭⎫X≥35；(3)求P⎝⎛⎭⎫110<X<710.小结随机变量的概率分布的性质可以帮助我们求题中参数a，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率．【课中体验案】一、体验练习：1．下列变量中，不是随机变量的是________．(填序号)①一射手射击一次命中的环数；②标准状态下，水沸腾时的温度；③抛掷两枚骰子，所得点数之和；④某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数．2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是________．(填序号)①取到产品的件数；②取到正品的概率；③取到次品的件数；④取到次品的概率．3．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是_______________________________．4.设ξ是一个随机变量，其概率分布为ξ－10 1P121－2q q2①求二、感悟反思1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值. 3．求随机变量的概率分布的步骤：巩 固 练 习 一 班级______ 学号____ 姓名_______ 1．下列变量中，不是随机变量的是( ) A ．一射击手射击一次命中的环数 B ．标准状态下，水沸腾时的温度C ．抛掷两枚骰子，所得点数之和D ．某电话总机在时间区间(0，T )内收到的呼叫次数 2．若用随机变量X 表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X 的取值不可能为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( ) A ．X 和ξ B ．只有Y C ．Y 和ξD ．只有ξ4．某人射击的命中率为p (0<p <1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…5．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是( )A ．第一枚6点，第二枚2点B ．第一枚5点，第二枚1点C ．第一枚2点，第二枚6点D ．第一枚6点，第二枚1点6．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为( )A ．0≤ξ≤5，ξ∈NB ．－5≤ξ≤0，ξ∈ZC ．1≤ξ≤6，ξ∈ND ．－5≤ξ≤5，ξ∈Z7．随机变量X 的概率分布表如下，则m ＝________.X 1 2 3[来源学科网ZXXK]4P 14 m 13 168. 设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P (12<ξ<52)＝________.9．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．10．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．11. 写出下列随机变量可能取的值, 并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个, 白球5个, 从袋中每次任取1个球, 直到取出的球是白球为止, 所需要的取球次数.(2)从标有1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的6张卡片中任取2张, 所取卡片上的数字之和.12．已知随机变量η的概率分布如下表：η 1 2 3 4 5 6 P 0.2 x [来源:学科网]0.250.1 0.15 0.2求(1)x ； (2)P (η。

2.1 随机变量及其概率分布1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X. 问题1：X 取什么数字？ 提示：X ＝0，1，2， (10)2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果． 问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． 3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球． 问题3：若用X 表示所含红球个数，则X 的取值是什么？ 提示：X ＝0，1，2，3，4.1．随机变量的定义 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量． 2．随机变量的表示方法(1)随机变量通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示． (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示.1．抛掷一颗骰子，用X 表示骰子向上一面的点数． 问题1：X 的可能取值是什么？ 提示：X ＝1，2，3，4，5，6.问题2：X 取不同值时，其概率分别是多少？ 提示：都等于16.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3 只球中的最大号码．问题3：随机变量的可能取值是什么？ 提示：X ＝3，4，5.问题4：试求X 取不同值的概率．提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110；P (X ＝4)＝C 23C 35＝310；P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：试用表格表示X 和P 的对应关系． 提示：问题6提示：其和等于1.1．随机变量X 的分布列一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是x 1，x 2，…，x n ，且P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，3，…，n ，①则称①为随机变量X通常将上表称为随机变量的概率分布表，它和①都叫做随机变量X 的概率分布．显然，这里的p i (i ＝1，2，…，n )满足条件p i ≥0，p 1＋p 2＋…＋p n ＝1．2．0－1分布(或两点分布)随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1分布或X ～两点分布，此处“～”表示“服从”．1．随机变量是将随机试验的结果数量化；2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．[一点通](1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．1．判断下列变量中是否是随机变量．(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；(3)某手机一天内收到短信的次数；(4)1 000 mL水的质量．解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(3)某个人的属相．解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.\[例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[思路点拨]分析随机变量的实际背景―→写出随机变量的可能取值→得出具体随机试验的结果[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________________________．解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；(2)X可取3，4，5，6，7.其中，X＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．[思路点拨] 解答本题先确定X 的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可． [精解详析] 随机变量X 可取的值为2，3，4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12 ＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：[一点通] 随机变量的分布列的作用 对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．5．已知随机变量X 的分布列为则k 的值为________．解析：由k n ＋k n ＋…＋k nn 个k n＝1，得k ＝1. 答案：16．设随机变量X 概率分布P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35； (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710.(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝55 ＝315＋415＋515＝45， 或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110＜X ＜710，所以X ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25.7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0（两球全红），1（两球非全红）.求X 的概率分布． 解：因为X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 26C 211＝311，P (X ＝1)＝1－311＝811.所以X 的概率分布为8. 如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，求X 的概率分布．解：由已知X 的取值为7，8，9，10，∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布为1．随机变量的三个特征 (1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)在试验之前不能确定取值．2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．(1)随机变量X 的分布列实质上就是随机变量X 与这一变量所对应的概率P 的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．课下能力提升(十)一、填空题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中是真命题的有________．(填写序号)解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确． 答案：①②③④2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝5表示的随机试验结果是________． 解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点． 答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点 3则p 的值为________．解析：∵12p ＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.答案：134．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________． 解析：∵随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，∴取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.答案：105．随机变量X 的概率分布规律P (X ＝k )＝ck （k ＋1）(k ＝1，2，3，4，其中c 是常数)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为______．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝1，得c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1. ∴c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1， ∴c ＝54.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝541×2＋542×3＝58＋524＝2024＝56. 答案：56二、解答题6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球，求X 的概率分布；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的概率分布．解：(1)由题意知P (X ＝0)＝34＋3＝37，P (X ＝1)＝44＋3＝47， 故X 的概率分布如下表：(2)由题意知P (X ＝0)＝C 23C 27＝17，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝67，故X 的概率分布如下表：7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的12，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X ，求X 的概率分布及P (X >1)的值．解：依题意得P (X ＝1)＝2P (X ＝2)，P (X ＝3)＝12P (X ＝2)．由于概率分布的总和等于1，故P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝72P (X ＝2)＝1.所以P(X ＝2)＝27.随机变量X 的概率分布如下：所以P (X >1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝37.8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X 的概率分布列．解：得分X 的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3. X ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (X ＝－3)＝C 33C 311＝1165；X ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (X ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，∴P (X ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355； X ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (X ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13； X ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (X ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355； X ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (X ＝2)＝C 23C 15C 311＝111；X ＝3时表示取得3个白球，∴P (X ＝3)＝C 33C 311＝1165；。

二项分布（2）【教学目标】巩固二项分布概型的求法；提高分析问题和解决问题的能力.【自主学习】1．一批玉米种子, 其发芽率是0.8. 若每穴种3粒, 则恰好两粒发芽的概率为 ．2． 某人参加一次考试,若5道题中解对4道则为及格, 已知他解一道题的正确率为0.6, 他能及格的概率为 ．3．有10门炮同时向目标各发一枚炮弹，如果每门炮的命中率都是1.0，则目标被击中的概率为_____________．【展示点拨】例1．某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为32． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．（3）设甲比赛的局数为X ，求X 的概率分布．体验成功：若采用7局4胜制比赛，先胜四局者为胜，求甲获胜的概率．例2．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响．（1）求他在3次射击中，至少有2次连续击中目标的概率；（2）求他第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率．例3．甲投篮的命中率为0.8 , 乙投篮的命中率为0.7 , 每人各投篮3次, 求下列事件的概率：（1）甲恰好投中2次；（2）恰好每人都投中2次；（3）求乙恰好比甲多投中2次的概率；（4）求甲、乙两人共投中5次的概率．例4．设某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元．如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，问：（1)该公司会赔本吗？（2）求该公司盈利额不少于400000元的概率．【学以致用】1．在100件产品中有4件次品.①从中抽2件, 则2件都是次品概率为 ;②从中不放回的抽两次，每次1件，则两次都抽出次品的概率是 ;③从中有放回的抽两次，每次1件，则两次都抽出次品的概率是 .2．某人掷一粒骰子6次，有4次以上出现5点或6点时为赢，则这人赢的概率为___________．3．制药厂组织2组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率都是.0．当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为400万元，若失败则没有收入；40当第二组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入．以X表示这两种新药的年销售总额，求X的概率分布．。

2.4二项分布（2）教学目标（1）进一步理解n 次独立重复试验的模型及二项分布的特点； （2）会解决互斥事件、独立重复试验综合应用的问题。

教学重点，难点互斥事件、独立重复试验综合应用问题． 教学过程一．复习回顾1．n 次独立重复试验。

（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k kn k nC p p --。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n kn C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==L 则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p :。

二．数学运用 1．例题例1： 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且各次射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列。

解：（1）记“射手射击1次，击中目标”为事件A ，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率231()()()20.60.40.60.504P P A A A P A A A P A A A =++=⨯⨯+=gg g g g g 。

（2）22230.60.40.60.2592P C =⨯⨯⨯=。

（3）由题意“k ξ=”的概率为：223233*11()0.60.40.60.60.4(3,)k k k k P k C C k k N ξ----==⨯⨯⨯=⨯⨯≥∈所以，ξ的分布列为：例2：一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13。

（1）设X 为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X 的分布列；（2）设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。

2.4二项分布 教学案学习目标1. 通过具体实例，理解n 次独立重复试验的基本模型；2. 理解二项分布的特点，会解决一些简单的实际问题．重点难点重点：解决二项分布的概率问题难点：n 次独立重复试验计算公式的推导课堂学习问题情境（一）：射击n 次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p 是不变的；抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出“5”的概率p 都是16； 种植n 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%．学生活动（一）：思考：上述试验有什么共同特点？n 次独立重复试验：思考：在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p ，那么，在这n 次试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是多少？我们先研究下面的问题：射击3次，每次射中目标的概率都为0p >。

设随机变量X 是射中目标的次数，求随机变量X 的概率分布。

设“射中目标”为事件A ，则(),()1P A p P A p ==-（记为q ）随机变量X 的概率分布如下表所示。

意义建构（一）：在X k =时，根据试验的独立性，事件A 在某指定的k 次发生时，其余的(3)k - 次则不发生，其概率为3k k p q -，而3次试验中发生k 次A 的方式有3k C 种，故有3(),0,1,2,3k k k P X k C p q k -===。

因此，概率分布可以表示为下表数学理论（一）：一般地，在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为(01)p p <<，即(),()1P A p P A p q ==-=。

由于试验的独立性，n 次试验中，事件A 在某指定的k 次发生，而在其余n k -次不发生的概率为k n k p q -。

又由于在n 次试验中，事件A 恰好发生k (0)k n ≤≤次的概率为(),0,1,2,,k k n k n n P k C p q k n -==L 。

2.4 二项分布1．定义一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．概率公式在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p (0<p <1)，即P (A )＝p ，P (A )＝1－p ＝q ，则事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k ，k ＝0，1，2，…，n .它恰好是(q ＋p )n的二项展开式中的第k ＋1项.连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．用A i (i ＝1，2，3)表示第i 次出现6点这一事件，用B 1表示“仅出现一次6点”这一事件． 问题1：试用A i 表示B 1.提示：B 1＝(A 1A －2A －3)＋(A －1A 2A －3)＋(A －1A －2A 3)． 问题2：试求P (B 1)．提示：∵P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝16，且A 1A －2A －3，A －1A 2A －3和A －1A －2A 3互斥，∴P (B 1)＝P (A 1A －1A －2)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562 ＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562.问题3：用B k 表示出现k 次6点这一事件，试求P (B 0)，P (B 2)，P (B 3)． 提示：P (B 0)＝P (A －1A －2A －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563， P (B 2)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫56，P (B 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163.问题4：由以上结果你得出何结论？提示：P (B k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k ，k ＝0，1，2，3.若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k np k q n －k ，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．1．满足以下条件的试验称为独立重复试验： (1)每次试验是在同样条件下进行的； (2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； (4)每次试验中，某事件发生的概率是相同的．2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．[例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率．[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型． [精解详析] (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01. 所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.[一点通] 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n 次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的和． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为________．解析：恰好成活4棵的概率为C 45×0.94×0.1≈0.33. 答案：0.332. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案：343．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在第一季度里停机维修率为14，已知2台以上(不包括2台)发电机组停机维修，将造成城市缺电，计算：(1)该城市在一个季度里停电的概率； (2)该城市在一个季度里缺电的概率．解：(1)若停电，则表示每台发电机组都不能工作，由于每台发电机组停机维修是互不影响的，故每台发电机组停机维修是相互独立的，该城市停电必须5台发电机组都停机维修，所以停电的概率为C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫145×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－140＝11 024.(2)当3台或4台发电机组停机维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率为 C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫143×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＋C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫144×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝10×143×942＋5×144×34＝1051 024.[例2] 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的概率分布； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的概率分布； (3)求这三名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出x ，y 的可能数值，再根据二项分布的公式求概率分布．(3)可用对立事件求解．[精解详析] (1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是p ＝13，且每次试验结果都是相互独立的，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13. ∴P (X ＝k )＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－k＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k ，k ＝0，1，2，…，6. ∴所求的概率分布为(2)由题意知，Y ＝k (k ＝0，1，2，…，5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，则其概率为P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13，Y ＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236. ∴所求Y 的概率分布为(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－64729＝665729. [一点通] 利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．4．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝________．解析：P (X ＝3)＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.5．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，求面试结束后通过人数X 的概率分布．解析：由题意可知，X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23， 则P (X ＝0)＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝19，P (X ＝1)＝C 12×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (X ＝2)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49.所以X 的概率分布为1．独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．2．独立重复试验是相互独立事件的特例，一般有“恰好”“恰有”字样的问题时用独立重复试验的概率公式计算更简捷，要弄清n ，p ，k 的意义．3．二项分布实际上是对n 次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分布之一．课下能力提升(十四)一、填空题1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．解析：P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49.2．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10，0.6)； ②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )；③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②3．若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ≥2)＝________． 解析：P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝473729.答案：4737294．已知一个射手每次击中目标的概率都是35，他在4次射击中，击中两次目标的概率为________，刚好在第二、三这两次击中目标的概率为________．解析：刚好击中两次目标的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝216625. 在第二、三这两次击中目标的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝36625 . 答案：216625 366255．位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1，0)的概率是________．解析：依题意得，质点P 移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243. 答案：80243二、解答题6．某一中学生心理咨询中心的服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该咨询中心，且每人只拨打一次，(1)求他们三人中恰有1人成功咨询的概率； (2)求他们三人中成功咨询的人数X 的概率分布．解：每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是34.(1)三人中恰有1人成功咨询的概率为P ＝C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.(2)由题意知，成功咨询的人数X 是一随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，34. 则P (X ＝k )＝C k3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k⎝ ⎛⎭⎪⎫143－k，k ＝0，1，2，3.因此X 的概率分布为7.某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 解：(1)由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3，且 P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得X 的概率分布为(2)设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有4－件． 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.8．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的概率分布； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23， P (X ＝k )＝C k6⎝ ⎛⎭⎪⎫23k⎝ ⎛⎭⎪⎫136－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)．X(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 1413⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝3281. 故教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.。

2.4 二项分布（1）【教学目标】（1）理解n 次独立重复试验的模型（n 重伯努利试验）及其意义．（2）理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．【问题情境】1．射击n 次，每次射击可能击中目标，也可能不中目标，而且当射击条件不变时，可以认为每次击中目标的概率p 是不变的；2．抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出 “5”的概率p 都是16； 3．种植n 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67%． 上述试验是由瑞士数学家雅·伯努利首先研究的，所以我们将上述试验称为伯努利试验．伯努利试验有何特征？如何研究随机变量的概率分布？【合作探究】问题1. 分析上述3个试验，列出伯努利试验满足的条件．问题2. 在情境1中，若射击3次，设随机变量X 是射中目标的次数，求X 的概率分布．问题3. 在n 次独立重复试验中，如果每次试验事件A 发生的概率为p ，那么在这n 次试验中，事件A 恰好发生k (n k ≤≤0)次的概率是多少？与二项式定理有何联系？1. n 次独立重复试验：一般地，由____次试验构成，且每次试验____________，每次试验的结果____________，即A 与A ，每次试验中=)(A P _____，我们将这样的试验称为______________，或________．2. 二项分布：若随机变量X 的分布列为==)(k X P __________________，其中10<<p ，1=+q p ，n k ,,2,1,0 =，则称X 服从________________，记作____________．【展示点拨】例1：求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．体验成功：随机抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，求恰好出现k 次“向上的点数为5”的概率．例2．某气象站天气预报的准确率为%80，计算：（保留2个有效数字）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第三次预报准确的概率．例3．批量较大的一批产品中有30%的一级品，进行重复抽样检查，共取5个样品，求：（1）取出的5个样品中恰有2个一级品的概率；（2）取出的5个样品中至少有2个一级品的概率．（3）设5个样品中含有一级品的个数为X,求X的概率分布．【学以致用】1.某种灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000h后，至多只坏1个的概率．2. 甲、乙、丙3人独立地破译一密码，每人译出此密码的概率均为0.25，设随机变量X表示译出此密码的人数．(1)写出X的分布列；(2)密码被译出的概率是多少？。

2.4 二项分布独立重复试验及二项分布1．一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p＞0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．2．若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．预习交流下列随机变量服从二项分布吗？如果服从，其参数各为多少？(1)100件产品有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，取得不合格品的件数；(2)一个箱子内有三个红球，两个白球，从中依次取2个球，取得白球的个数．提示：(1)服从二项分布，其参数n＝3，p＝3100；(2)不服从二项分布，因为每次取得白球的概率不相同．一、独立重复试验概率的求法某气象站天气预报的准确率为80%，计算，(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验．2次准确的概率为：P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的反面为“5次预报都不准确或只有1次准确”．其概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C050.25＋C150.81×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99. (3)说明1,2,4,5次恰有1次准确．所以P ＝C 140.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞碟得2分，击中一个飞碟得1分，不击中飞碟得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．(1)求该运动员得4分的概率为多少？(2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列？ 解：(1)记“运动员得4分”为事件A ，则P (A )＝23×13×23×13＝481.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝481；P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2081；P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝3381；∴X(1)有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．并且独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果，发生与不发生、成功与失败等．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题. 二、二项分布的实际应用某大厦的一部专用电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列．思路分析：每位乘客在每一层下电梯的概率都是13，服从二项分布，利用二项分布的概率公式求解．解：考查每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，5位乘客即5次独立重复试验．即X ～B ⎝ ⎛⎪⎫5，1，也就是P (X ＝k )＝C k 5 ⎛⎪⎫1k ⎛⎪⎫25－k，k ＝0,1,2,3,4,5.从而X 的分布列如表：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率．(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．解：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”．所以事件A 发生的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)记“这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.由于事件B 等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B 发生的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为某一事件的某一类型，最后选用相应的恰当的公式去求解．1．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，则k ＝__________.答案：2解析：依题意有C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫125－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15，∴k ＝2. 2．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝__________.(用式子表示)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568解析：由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，16， ∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫161⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫162⎝ ⎛⎭⎪⎫568.3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝k )最大时，k ＝__________. 答案：1或2解析：依题意P (X ＝k )＝C k5×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)．可以求得P (X ＝0)＝32243，P (X ＝1)＝80243，P (X ＝2)＝80243，P (X ＝3)＝40243，P (X ＝4)＝10243，P (X ＝5)＝1243，故当k ＝1或2时，P (X ＝k )最大．4．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率为110，随机变量X 表示同时被打开的水龙头的个数，则P (X ＝3)＝__________.答案：0.008 1解析：由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，110，∴P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫1103⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝0.008 1.5．在甲、乙两个队的乒乓球比赛中，比赛的规则是“五局三胜制”，现有甲、乙两队获胜的概率分别为23和13.(1)若前2局乙队以2∶0领先，求最后甲、乙两队各自获胜的概率； (2)求乙队以3∶2获胜的概率．解：(1)由于前2局乙队以2∶0领先，即乙队已经赢了2局，所以甲队要想获胜，须在余下的3局中全部获胜，才能最终获胜，所以甲队获胜的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827；从而乙队获胜的概率为P 2＝1－P 1＝1－827＝1927.(2)依题意，乙队以3∶2获胜时，第五局必为乙队获胜，且在前4局中乙队有2局获胜(甲队也有2局获胜)，故乙队以3∶2获胜的概率为P ＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×13＝881.。

2.4 二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考2 试验结果有哪些？思考3 各次试验的结果有无影响？梳理n次独立重复试验的特点(1)由________次试验构成．(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．(3)每次试验中P(A)＝p＞0.特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用B k表示仅投中k次这个事件．思考1 用A i如何表示B1，并求P(B1)．思考2 试求P(B2)和P(B3)．梳理一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P(A)＝1－p＝q.若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．类型一求独立重复试验的概率例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子． (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值．类型二 二项分布例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的概率分布．反思与感悟 (1)当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p . (2)解决二项分布问题的两个关注点 ①对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．反思与感悟对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B 还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，求p与n的值．1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是________．2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为35，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________． 4．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k.此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．答案精析问题导学 知识点一思考1 条件相同．思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生． 思考3 无，即各次试验相互独立．梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A 与A 知识点二思考1 B 1＝(A 1A 2 A 3)∪(A 1A 2A 3)∪(A 1 A 2A 3)， 因为P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝0.8，且A 1A 2 A 3、A 1A 2A 3、A 1 A 2A 3两两互斥， 故P (B 1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2 P (B 2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P (B 3)＝0.83＝0.512.题型探究例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究解 记“甲击中1次”为事件A 4，记“乙击中1次”为事件B 4， 则P (A 4)＝C 12×23×(1－23)＝49，P (B 4)＝C 12×34×(1－34)＝38.所以甲、乙各击中1次的概率为P (A 4B 4)＝49×38＝16.跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， 所以甲坑不需要补种的概率为 1－18＝78. (2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为P 1＝C 13×78×⎝ ⎛⎭⎪⎫182＝21512. 由于3个坑都不需补种的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫783，则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝169512. 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)， 则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ， 则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12×710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的概率分布如下表：跟踪训练2 解 取到黑球个数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150·⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125. 故X 的概率分布为例3 解 (1)由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 故ξ的概率分布如下表：(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ·3，k ＝0,1,2,3,4；P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235.故η的概率分布如下表：(3)所求概率为P (ξ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝211243.********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星 跟踪训练3 解 由题设知，C 24p 2(1－p )2>827. ∵p (1－p )>0，∴不等式化为p (1－p )>29， 解得13<p <23，故2<6p <4. 又∵6p ∈N ，∴6p ＝3，即p ＝12. 由3n ＝12，得n ＝6. 当堂训练1．[0.4,1] 2.81125 3.1626254.①② 5．解 由题意知ξ～B (3，25)， 则P (ξ＝0)＝C 03(25)0(35)3＝27125， P (ξ＝1)＝C 13(25)1(35)2＝54125， P (ξ＝2)＝C 23(25)2(35)1＝36125， P (ξ＝3)＝C 33(25)3＝8125. 所以随机变量ξ的概率分布如下表：。