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高中数学课件-排列组合的应用-高中数学ppt课件

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排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT

排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT

组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．

高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)

高中数学排列组合的应用-ppt课件(课堂教学)

2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？
从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
用符号 Anm 表示
3、排列数的两个公式是什么？
Am n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
Anm
(n
n! m)! （n，m∈学校N课堂*，m≤n）
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
学校课堂
11
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
分析:可看作甲固定,其学余校课全堂 排列 A66 720
5
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在 两端的排法共有多少种？
解:将问题分步
第一步:甲乙站两端有A22 种
第二步:其余5名同学全排列有A55 种
共有A22 A55＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
学校课堂
6
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在 排头和排尾的排法共有多少种？
若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
解：先把四个男孩排成一排有A44种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入
空档中有A53种方法，所以共有： A44 A53 1440 （种）
排法。
学校课堂
15
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩， 三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.2.1排列与排列数课件新人教B版选择性必修第二册

高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.2.1排列与排列数课件新人教B版选择性必修第二册

3.5A！××33××22×1＝15.
4．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是 _1_2_3_,_1_3_2_,2_1_3_,_2_3_1_,3_1_2_,_3_2_1______． 解析：用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321， 共 6 个．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 两 个 排 列 的 对 象 相 同 ， 则 这 两 个 排 列 是 相 同 的 排 列．( ) × 因为相同的两个排列不仅对象相同，而且对象的排列顺 序相同．
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛， 共有多少种选法属于排列问题．( )
2．由 1 知 A24 ＝4×3 ＝12，A34 ＝4×3×2 ＝24，你能否 得出 A2n的意义和 A2n的值？
[提示] A2n的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n 个对 象 a1，a2，…，an 中任取 2 个对象去填空，一个空位填一个对象， 每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样
题型三 排列数公式的推导及应用
状元随笔 1.两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡
片进行组数字游戏．从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成 多少个无重复数字的两位数或三位数？
[提示] 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A24 ＝4×3 ＝12 个无重复数字的两位数；若选出 3 个能构成 A34 ＝4×3×2 ＝24 个无重复数字的三位数．
题型一 排列的概念
例 1 判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票 的价格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信．

排列组合 局部定序与相同元素消序、隔板法 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

排列组合 局部定序与相同元素消序、隔板法 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册



①定序消序问题:
例题5：
（1）有5盘菜，张三，李四，王五各选一盘
有多少种选法？




或

��

分步计数原理：

第一步：先从5盘菜里面选3盘菜。


第二步：再把3盘菜分配给3个人。




总结：
局部元素定序的解决方法：
从n个不同元素中有顺序的选取m个元
素，其中有p个元素定好了顺序！计算
①标准隔板法（原球数不变隔板法）:
将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至
少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______________种（用数字作答）
此题解决方法采用标准隔板法：其思想是利
用①10个志愿者在中间腾出9个空，②再次
采用插空法9个空插3个隔板，一定会出现四

堆每堆一定至少1个。
（ C )种排法。
A ,1160
E . 1260
B .
1280
C. 1220
D.1240
步骤分析： 第一步：全部全排列
第二步：消序（有几组相
同元素 ， 就除以几组各自相同元素个数的全
排列）。我们把它叫做“密西西比法则”
②局部元素相同消序问题
例3如果把mississippi(密西西比）这
个单词打乱顺序进行随机排列，请问
球，投放方法有______种方法？
解题分析：第一步：选不放球的1个盒子。4个盒子中任选一个不放球方法

数为：C =4

第二步：题目转化为将10个球放入剩余3个不同盒子中，在采用标准

隔板法，从9个空隙中插2个隔板。C =36

排列组合ppt课件

排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。

组合与组合数公式课件

组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。

专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性

专题课排列组合综合应用课件高二下学期数学人教A版选择性

类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有
多少种不同的选法？ 方法一 直接分类（从元素考虑）
由图可知既会英语又会日语的有
7+3-9=1人，记为甲，只会英语6人，只会日语2人。
Ⅰ类：甲去教英语，有 N1 C12 2种方法； Ⅱ类：甲去教日语，有 N2 C16 6 种方法； Ⅲ类：甲未被选中，有 N3 C16C12 12 种方法； 由分类加法计数原理得 N N1 N2 N3 20
专题课 排列组合综合应用
排列组合题 型
有条件的抽（选）取问题 多面手问题 分组分配问题
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选.
类型一：有限制条件的抽(选)取问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各 有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (2)至多有两名女生当选； 解 直接法（分类加法原理，从元素角度考虑）
Ⅰ类：0名女生当选，有 N1 C85 56 种方法； Ⅱ类：1名女生当选，有 N2 C15C84 350 种方法； Ⅲ类：2名女生当选，有 N3 C52C83 560 种方法； 由分类加法原理得 N N1 N2 N3 966
英语 日语 7人 3人
类型二：多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英
语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有

人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1

人教版A版高中数学选修2-3：排列与组合_课件1

(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分 步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法， 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后 让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三 几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个． 所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.

精品课件：排列与组合

精品课件：排列与组合

解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故 先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排 列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种， 余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行 全排列，共有 A33A55＝720(种)．
A77＝N×A33，∴N＝AA7733＝840(种)． (7)与无任何限制的排列相同，有 A77＝5 040(种)． (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A53种，
甲、乙和其余 2 人排成一排且甲、乙相邻的排法有 A22A33种，最后再把选 出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可，共有 A53×A22×A33＝720(种)．
24 种，于是符合题意的排法共有 144－24＝120 种．
• 答案：B
• 角度二 特殊元素、特殊位置问题
• 2．1名老师和5位同学站成一排照相，老 师不站在两端的排法共有( )
• A．450种
B．460种
• C解．析：4解8法0一种 (元素分析法)先排老师D有．A14种50方0法种，再排学生有 A55
(3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C62C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六 本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三 步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB， EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共有 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因 此只能作为一种分法，故分配方式有C26AC2433C22＝15(种)． (4)有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给 3 个人， 共有分配方式C62AC2433C22·A33＝C62C24C22＝90(种)．

高中数学排列组合问题的几种方法ppt课件

高中数学排列组合问题的几种方法ppt课件

2019/9/6
4
2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有 A55=120种 排 法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
2019/9/6
6
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
A
5 5
种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
C
2 6
15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
2019/9/6
11
7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手
名额分配到高三年级的1到4 班4个教学班,每班的名额
不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，
再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子

高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件

高中数学选修2-3《排列与组合》全部课件
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的

《排列组合公式》课件

《排列组合公式》课件

便确定排列或组合的基数。
区分排列与组合
02 排列组合公式包括排列公式和组合公式，使用时应明
确所需的是排列还是组合，并选择相应的公式。
考虑顺序
03
排列公式需要考虑元素的顺序，而组合公式则不考虑
元素的顺序。
公式应用范围的限制
元素互异
排列组合公式的应用前提是所涉及的 元素必须互不相同，否则公式不适用 。
组合公式的推导过程
组合公式的基本形式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
推导过程
通过排列与组合的数学关系，利用阶乘的性质进行推 导，最终得到组合公式的形式。
组合公式的数学证明
可以通过数学归纳法或组合恒等式进行证明，确保公 式的正确性。
组合公式的应用实例
概率计算
在概率论中，组合公式常用于计 算事件发生的可能性，如组合概 率和条件概率。
无限制条件
对于某些特定问题，可能需要添加额 外的限制条件，如去除重复、特定顺 序等，此时公式应用范围需相应调整 。
避免常见的计算错误
基数不为零
01
排列组合公式的基数不能为零，否则会导致计算错误。
重复计算
02
在使用排列组合公式时，应避免重复计算相同的情况，确保每
种情况只计算一次。
正确使用括号
03
在应用排列组合公式时，应正确使用括号，以确保计算的准确
排列公式的扩展形式
排列组合混合公式
除了单纯的排列公式外，还有排列组合混合公式， 可以用来计算同时涉及排列和组合的问题。
有限制条件的排列公式
在一些特定的问题中，可能需要对元素进行限制， 此时需要使用有限制条件的排列公式。
高阶排列公式
对于较大规模的排列问题，需要使用高阶排列公式 来计算。

人教A版高中数学选修排列组合新(1)课件

人教A版高中数学选修排列组合新(1)课件
在前4次中出现，从而前4次有1件正品出现.
所以共有不同测试方法 C61C43 A44 =576种.
点评：解决排列组合综合问题，应遵循三 大原则，掌握基本类型，突出转化思想.三大原 则是：先特殊后一般、先取后排、先分类后分 步的原则.基本类型主要包括：排列中的“在与 不在”、组合中的“有与没有”，还有“相邻 与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等. 转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型 相联系，从而把问题转化为基本类型，然后加 以解决.
的两个数时，重复 A42个.
所以共有C51C51A22 - 4 - A42 =34(个).
2.四个不同的小球放入四个不同的盒子里， 求在下列条件下各有多少种不同的放法?
(1)恰有一个盒子里放2个球；
(2)恰有两个盒子不放球.
解：(1)分两步：首先将四个小球按2，1， 1的个数分成三组，有 种C42分法；再将三组球
(3)如果每个公司均承包两项，有多少种 承包方式?
解：(1)从6项工程中选一项给甲有 C61种， 从余下的5项中选两项给乙有 C52种，
最后的3项给丙有C33 种，由分步计数原理
共有 C61C52C33 =60种.
(2)将6项工程依条件分为三组共有C61C52C33
种，而将三组分给甲、乙、丙三公司有A33
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，
有 A64种不同测试方法，再从4件次品中选2
件排在第5和第10的位置上测试，
有C42 A22 A42种测法，再排余下4件的测试
位置，有A44 种测法.
所以共有不同的测试
方法 A64 A42 A44 =103680种.
(2)第5次测试恰找到最后一件次品，另3件
由分类计数原理，共有

高中组合问题ppt课件

高中组合问题ppt课件

统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧

高中数学选修课件：组合与组合数公式

高中数学选修课件：组合与组合数公式
排列与组合的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n，m与n均为自然数,下同）个不同元素按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合数公式推导过程
推导过程
考虑从n个元素中取出m个元素的所有可能情况，这相当于对n个元素进行全排 列，然后除以m个元素的全排列和剩余(n-m)个元素的全排列，以消除排列中 的重复情况。
进行快速计算。
组合的应用
在概率统计、排列组合问题、 编码理论等领域有广泛应用。
易错点剖析及注意事项
区分排列与组合
排列是有顺序的，而组合是无顺序的。在计算时，要注意题目要求的 是排列数还是组合数。
注意组合数的范围
由于组合数是从n个元素中取出m个，因此必须满足0≤m≤n的条件， 否则组合数无意义。
阶乘的计算
解答题思路剖析
仔细审题
明确题目要求，理解题意。
制定解题计划
根据题目条件和所学知识，制定详细的解 题步骤和计划。
执行解题计划
检查答案
按照计划逐步进行计算和推导，注意每一 步的正确性和合理性。
对答案进行检验和审查，确保没有遗漏和错 误。如果答案不符合题目要求，需要重新检 查和修正解题过程。
05 练习题巩固提高
证明组合数恒等式
利用组合数的性质和递推关系可以证 明一些组合数恒等式，如范德蒙德恒 等式等。
在概率统计中作用
计算事件概率
在概率论中，组合数经常用于计 算一些事件的概率，如超几何分
布、二项分布等。
抽样问题
在统计学中，组合数也常用于解决 一些抽样问题，如从总体中抽取一 定数量的样本进行检验等。

高中数学 1.4 第2课时 排列、组合的综合应用课件 北师大版选修23

高中数学 1.4 第2课时 排列、组合的综合应用课件 北师大版选修23
第十四页，共46页。
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取 法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
第十五页，共46页。
【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数 值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则 有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
第十六页，共46页。
(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花 色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种． 所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
第二页，共46页。
2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素 与位置？
【提示】 在排列、组合问题中，元素与位置没有严格 的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方 式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问 题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
第三页，共46页。
在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基 本原理，要注意准确区分是排列问题还是 组合(z问ǔh题é)，要注 意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利 用 间接(jiàn ji解ē)法题．
第二十页，共46页。

排列组合基本原理.课件

排列组合基本原理.课件

排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
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r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，
再分给m个人，则共有 C
r1 n
C
r2 n r1
C
r3 n r1 r2
C A
rm rm
m m
种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元
素， m2个组有r2个元素，…… mk个组有rk个元素， 则共有
插空法:
对于不相邻问题,先将其余元素全排 列,再将这些不相邻的元素插入空挡 中,这种方法就是插空法.
例3、1.将四个小球分成两组，每组两个， 有多少分法？ 4种
2、将四个小球分给两人，每人两个， 有多少分法？ 6种
甲
乙
甲
乙
3、将四个小球分成两组，一组三个，一组 一个，有多少分法？ 4种
4、将四个小球分给两人，一人三个， 一人一个，有多少分法？ 8种
7 6 5 4 3 2 1 7! 5040
(3) 7位同学站成一排，其中甲列
A 720
6 6
(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两 端的排法共有多少种？
解:将问题分步
2 第一步:甲乙站两端有 A2种
2、一般情况下应遵循先取元素，后排列的原则；
3、对于某些特殊问题要能熟练使用相应方法解 决，如：隔板法、均匀分组（局部均匀分组） 等问题.
课堂小结：
基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特 殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置） 法（优先法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作 一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内 部排列，这种方法称为“捆绑法”；
第二步:其余5名同学全排列有 A5 种
5
共有A A ＝2400种
2 2 5 5
答：共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 头和排尾的排法共有多少种？
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾, 2 A5 种; 有 第二步:剩下的全排列,有 A
m n
Cm = Cn-m 组合数的两个性质:（1） n n
m m m-1 （2）Cn+1 = Cn + Cn
例1：（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的排法？
7 分析：问题可以看作7个元素的全排列. A7 5040
(2) 7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种 不同的排法？
分析:根据分步计数原理
(3)非均匀、无序分组:
把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组
r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素，
则共有C
r1 n
C
r2 n r1
C
r3 n r1 r2
C
rm rm 种分法.
(其中r1+r2+r3+…+rm=n) (4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素， 实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法. ⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
搞清限制条件的真正含义，做针对性文章！
CCCC 20 3 2 1 3 20 或C 6 20 3 A3 6
3 6 1 3 1 2 1 1
（4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少 种分法？
C C C C 15 6 2 1 45 A A 2 2
2 6 2 1 4 2 2 2 2 2 1 1
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞 赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
6
2 2
5 5
答：共有2400种不同的排列方法。
优限法:
对于“在”与“不在”等类似有限制 条件的排列问题,常常使用“直接 法”(主要为“特殊位置法”和“特殊 元素法”)或者“排除法”,即优先考 虑限制条件.这种方法就是优限法.
【总结归纳】
⑴直接计算法
一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法：
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一 起，有多少种不同的排法？
不同的排法有：
2 3 4 A2 A3 A4 288 （种）
说一说
捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。
捆绑法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
C C
r1 n
r1 n r1
C
m1 m1
r1 n ( m1 1 ) r1 m2 m2
C
A A A
r2 n mr1 mk mk
C
rk rk
种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
例4:有6本不同的书，分成4堆. （3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多 少种分法？
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
4 解：先把四个男孩排成一排有A4 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A5种方法，所以共有： A4 A5 1440 （种） 空档中有 排法。
（2）如果分成一堆1本，一堆2本，一堆3 本，有多少种分法？
2 6
2 4 3 3
2 2
C C C 60
1 6 2 5 3 3
分组分配问题主要有分组后有分配对象(即 组本身有序)的均分与不均分问题及分组后无分 配对象(即组本身无序)的均分与不均分问题四种 类型，常见的情形有以下几种:
(1)均匀、无序分组:
甲
乙
甲
乙
若分成的m组是有组别的， 只需在原来的分组基础上再
A
m m
例3:有6本不同的书，分成3堆. （1）如果每堆2本，有多少种分法？
分析:这与例2不同，区别在于把 6本不同的书分给甲、 乙、丙3人，每人2本，相当于把6本不同的书先分成3 堆，再把分得的3堆分给甲、乙、丙3人.
CCC 90 15 A 6
总 结：
把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，
C C 则共有
r n
r n r
C A
r n 2 r m m
C
r r
种分法.(其中mr=n)
(2)均匀、有序分组:
把n个不同的元素分成有序的m组，每组r个元素， 则共有C
r n
C
r n r
C
r n 2 r
C
r r 种分法.(其中mr=n)
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
插空法
4 解：先把四个男孩排成一排有A4 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A3种方法，所以共有： A4 A3 144 （种） 空档中有 排法。
C 20
3 6
变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒 子，每盒可空，不同的放法有多少种？
C 120
3 10
课堂练习：
7 A . A7 4 3 B . A4 A3 2 3 2 C . A2 A3 A2 2 3 3 D . A4 A3 A3
1、4个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端， 且老师必须排在一起的不同排法种数是（ ） D 2、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画， 5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在 一起，那么不同的陈列方式有（ ）B 3 4 5 4 5 B．A3 A4 A5 A．A4 A5 2 4 5 1 4 5 D．A2 A4 A5 C．A3 A4 A5 3、在7名运动员中选出4名组成接力队，参加4×100米 接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法 有多少种？
分析:问题相当于把30个相同的球放入6个不同盒 子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔 板法”处理. 5
C29 118755
小结：把n个相同元素分成m份，每份至少1 个元素，问有多少种不同分法的问题可以 采用“隔板法”.共有： m 1
Cn 1
变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同 盒子，每盒至少1球的放法有多少种？
三门峡市实验高中
1、掌握优先处理元素（位置）法；
2、掌握捆绑法；
3、掌握插空法。
4、隔板法
4、分组分配问题： 1、是否均匀； 2、是否有组别。
复习引入：
①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？ 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列. ②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？ 从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. m 用符号 An 表示
A A A A A A 400(种)
4 5 1 2 1 2 3 5 2 2 2 5
练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个 组，则分组的种数是多少？
C C C C C 2 A A2
2 12 2 10 3 3 2 8 3 6
3 3
练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人， 则分组的种数是多少？