函数及其图象(卷三)

高考数学函数的图像专题卷一、单选题（共28题；共56分）1. ( 2分) （2020高三上·兴宁期末）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )．A. B.C. D.2. ( 2分) （2021高三上·宝安月考）函数的图象大致为（）A. B.C. D.3. ( 2分) （2021高三上·河南月考）函数的大致图象为（）A. B.C. D.4. ( 2分) （2021高三上·河北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.5. ( 2分) （2021高三上·湖北期中）函数的图象大致为（）A. B.C. D.6. ( 2分) （2021·芜湖模拟）函数的部分图象可能为（）A. B.C. D.7. ( 2分) （2020高三上·天津月考）函数的图象大致是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 函数的图象大致为（）A. B.C. D.9. ( 2分) （2020高三上·杭州期中）函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.10. ( 2分) （2021高三上·赣州期中）已知函数，则函数的大致图象为（）A. B.C. D.11. ( 2分) （2021高三上·湖州期中）函数的图象可能是（）A. B. C. D.12. ( 2分) （2021高三上·金华月考）已知，函数，，则图象为上图的函数可能是（）A. B. C. D.13. ( 2分) （2021高三上·杭州期中）函数的图象可能是（）A. B.C. D.14. ( 2分) （2021高三上·陕西月考）在同一直角坐标系中，函数，，（，且）的图像可能是（）A. B.C. D.15. ( 2分) （2021高三上·贵州月考）函数f（x）= 的大致图象不可能是（）A. B.C. D.16. ( 2分) （2020高三上·温州月考）函数的图像可能是（）A. B.C. D.17. ( 2分) （2021·四川模拟）函数及，则及的图象可能为（）A. B.C. D.18. ( 2分) 已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=log a （x﹣k）的大致图象是（）A. B. C. D.19. ( 2分) （2021高三上·重庆月考）函数的大致图象如图所示，则a，b，c 大小顺序为（）A. B. C. D.20. ( 2分) （2021·株洲模拟）若函数的大致图象如图所示，则（）A. B. C. D.21. ( 2分) （2020高三上·浙江开学考）已知函数的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（）（1），（2），（3），（4）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22. ( 2分) 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A. B.C. D.23. ( 2分) （2021·新乡模拟）如图，在正方形中，点M从点A出发，沿向，以每2个单位的速度在正方形的边上运动；点N从点B出发，沿方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点M第一次到达点A 时，的图象为（）A. B.C. D.24. ( 2分) （2017高三上·九江开学考）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（0，1）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.25. ( 2分) 在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A. B. C. D.26. ( 2分) 如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A. B.C. D.27. ( 2分) （2013·江西理）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A. B.C. D.28. ( 2分) （2016高三上·崇明期中）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f （x），则y=f（x）的大致图象是（）A. B.C. D.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除B，由当时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.由此可排除A和C，故正确的选项为D.故答案为：D.【分析】利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称的性质结合特殊值法及函数值与0的大小关系，再利用排除法得出函数y＝xcos x＋sin x的大致图象。

八函数及其图象一、平面直角坐标系（一）平面直角坐标系如图，在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，编号如下图所示．注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限．坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的．也就是说坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．在这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其它区域之间均没有公共点．（二）点的坐标的概念点的坐标用()ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，()bb,是两个不同a,和()a 点的坐标．注意：数轴上的点与实数是一一对应的，而对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；对于任意的一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的点M和它对应．也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．（三）不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标有如下特征(如右图所示)：点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0。

点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y>0．点P(x，y)在第三象限⇔x<0，y<0．点P(x，y)在第四象限⇔x>0，y<0．2、坐标轴上的点有如下特征：点P(x，y)在x轴上⇔y为0，x为任意实数．点P(x，y)在y轴上⇔x为0，y为任意实数．点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x、y同时为零，即点P坐标为()0,0．3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x，y)在第一、三象限的夹角平分线上⇔x与y相等．点P (x ，y )在第二、四象限的夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数． 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同．5、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标特征：点P 与点'P 关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P 与点''P 关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点P 与点'''P 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．（四） 点到坐标轴及原点的距离点(),P x y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P (x ，y )到x 轴的距离等于|y |；(2)点P (x ，y )到y 轴的距离等于|x |；(3)点P (x ，y )到原点的距离等于22y x +． 二、 函数（一） 函数及其相关概念1、在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量． 注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的．2、一般的，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数．3、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式vt ，2x -1，22-+x x ，x1，3-x 等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法．4、使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．5、对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x =a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x =a 时的函数值，简称函数值．注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．（二） 函数的三种表示法及其优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． 2、列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律． 3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．三、函数的图象（一）函数图象的概念：1、对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2、由函数解析式画其图象的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 3、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点()y x P ,中的x ，y 是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．4、通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然．注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组． 四、一次函数（一） 正比例函数和一次函数的概念1、一般的，如果b kx y +=(b k ,是常数，0≠k )，那么y 叫做x 的一次函数．2、特别的，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =(k 为常数，0≠k )．这时，y 叫做x 的正比例函数．3、一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：若0=k ，则b y =(b 为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示： （二）正比例函数和一次函数的图象和性质1、一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数b kx y +=的图象，也称作直线b kx y +=． 2、一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数b kx y +=的图象是经过点(0，b )的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点(0，0)的直线．注意：点(0，b )是直线b kx y +=与y 轴的交点．当b >0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b <0时，此交点在y 轴的负半轴上；当0=b 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．3、因为一次函数解析式b kx y +=中的b 决定直线b kx y +=与y 轴交点的位置，所以通常把b 叫做直线b kx y +=在y 轴上的截距．4、正比例函数的性质:一般的，正比例函数kx y =有下列性质：(1)当k >0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； (2)当k <0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 5、一次函数的性质:一般的，一次函数b kx y +=有下列性质： (1)当k >0时，y 随x 的增大而增大； (2)当0<k 时，y 随x 的增大而减小．（三） 两条直线的位置关系设直线1l 和2l 的解析式为11b x k y +=和22b x k y +=，则它们的位置关系可由其系数确定： 相交与2121l l k k ⇔≠；平行与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧≠=；重合与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧==． （四） 正比例函数和一次函数解析式的确定1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =(0≠k )中的常数k ．确定一个一次函数， 需要确定一次函数定义式b kx y +=(0≠k )中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中的未知数系数也称为待定系数．如正比例函数kx y =中的k ，一次函数b kx y +=中的k 和b ，都是待确定的系数． 2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 五、二次函数（一）二次函数的概念1、一般的，如果)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数． 注意：(1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的形式，因此，把)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数叫做二次函数的一般式．(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了．(3)二次函数c bx ax y ++=2的结构特征是：等号右边是关于自变量x 的二次多项式． 2、二次函数常用的表达式为：(1)一般式：c bx ax y ++=2(0≠a )．(2)顶点式：k h x a y +-=2)((0≠a )，其中abac k ab h 44,22-=-=．(3)两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．（二） 二次函数的性质和图象1、二次函数的图象是一条关于ab x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线．2、抛物线的几个主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点．3、画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点；4、当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 5、当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象． 6、二次函数c bx ax y ++=2的性质：（三）二次函数解析式的确定1、二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数； (2)顶点式：k h x a y +-=2)()0,,,(≠a k h a 是常数；(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式=++c bx ax 2()()21x x x x a --，二次函数cbx axy ++=2可转化为两根式()()21x x x x a y --=．2、要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件． 3、当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后列出三元一次方程组求解．4、当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式k h x a y +-=2)(求解．5、当已知抛物线与x 轴有交点且知道交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式()()21x x x x a y --= 求解．注意：求函数解析式的问题，如果是采用顶点式或两根式求解，那么求得的解析式，最后要化为一般式．（四） 二次函数的最值1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当ab x 2-=时， ab ac y 442-=最值．2、如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当ab x 2-=时，abac y 442-=最值；若不在此范围内，则需考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性．如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大；当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．六、反比例函数（一） 反比例函数的概念一般的，函数)0(≠=k k xk y 是常数，叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1-=kxy 的形式．自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数，函数y 的取值范围也是一切非零实数．（二）反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量0≠x ，函数0≠y ，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2、反比例函数图象的画法(描点法)： (1)列表：自变量的取值，应以0为中心，沿0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数； (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；(2)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．3、反比例函数的性质：(1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内” ，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统的合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如，已知双曲线xk y =在第二、四象限，则可知k <0．（三） 反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数xk y =中，只有一个待定系数，因此只需要一 对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．（四） 反比例函数中比例系数的几何意义如图，过反比例函数)0(≠=k x k y 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，则所得的矩形PMON的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅=．xky =， k xy =∴．kS =∴．即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为k ．。

1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――――――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区|(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；(2)不注意函数的定义域出错．1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．解析：与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称的图象所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图象右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图象．答案：－log 2(x －1)2．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2，8]．答案：(2，8]作函数的图象(师生共研)作出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1.(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.【解】 (1)先化简，再作图，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，图象如图所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．[提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．分别作出下列函数的图象．(1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图中实线部分．函数图象的识别(多维探究) 角度一 知式选图 方法一 特殊点法函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的大致图象是( )【解析】由f(0)＝－1，得函数图象过点(0，－1)，可排除D；由f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，得函数图象过点(－2，0)，(－4，0)，可排除A，C．故选B．【答案】 B使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．方法二性质检验法函数f(x)＝ln(2－|x|)的大致图象为()【解析】由2－|x|>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)＝ln(2－|x|)的定义域为(－2，2)，定义域关于原点对称．又因为f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝ln(2－|x|)在定义域上为偶函数，排除C和D；当0<x<2时，f(x)＝ln(2－x)单调递减，排除B．故选A．【答案】 A利用性质识别函数图象是解题的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．方法三图象变换法已知函数f(x)＝log a x(0<a<1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为()【解析】当x≥0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)＝log a(x＋1)，而函数y＝log a(x ＋1)的图象可由函数y＝log a x的图象向左平移一个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以函数y＝f(|x|＋1)的图象是由函数y＝log a(x＋1)，x≥0的图象及其关于y轴对称的图象组成的，所以A正确．【答案】 A通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等图象)；二是了解常见的一些变换形式，如平移变换、翻折变换．角度二知图选式(图)(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝ln|x|x B．f(x)＝e xxC．f(x)＝1x2－1 D．f(x)＝x－1x(2)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的大致图象是()【解析】(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C．若函数为f(x)＝x－1x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．(2)由函数f(x)的大致图象可知3＜a＜4，－1＜b＜0，所以g(x)的图象是由y ＝a x(3＜a＜4)的图象向下平移－b(0＜－b＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图象，故选A．【答案】(1)A(2)A对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型分析解决问题．角度三由实际问题的变化过程探究函数图象广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为()【解析】 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P →与O 2O 1→的夹角为θ，因为|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，所以y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →与OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P |2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．【答案】 A实际背景下的函数图象识辨在实际背景中，判定两个量构成的函数图象时，在优先明确定义域后，一是直接求得解析式(定量分析)进行识辨．二是估计函数值的变化趋势判断图象走势(定性分析)作出判断．1．(2020·高考浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]上的图象可能是( )解析：选A ．令f (x )＝x cos x ＋sin x ，所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＋sin(－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除C ，D ，又f (π)＝－π<0，排除B ，故选A ．2．(2020·贵阳四校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln|x |的图象的大致形状为( )解析：选D ．方法一：当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln x ，且当0<x <1时，x ＋1x >0，ln x <0，f (x )<0，故排除B ，C ；当x <0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln(－x )，且当－1<x <0时，x ＋1x <0，ln(－x )<0，f (x )>0，故排除A ．故选D ．方法二：因为f (－x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1（－x ）ln|－x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln|x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，B ；又当x ＝2时，f (2)＝52ln 2>0，故排除C ．故选D ．3.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2－2ln |x |B ．f (x )＝x 2－ln |x |C ．f (x )＝|x |－2ln |x |D ．f (x )＝|x |－ln |x |解析：选B ．由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2，1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．故选B ．4．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．函数图象的应用(多维探究) 角度一 研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是 ( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【答案】 C一般根据图象观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图象上升与下降的情况，确定单调性．角度二解不等式函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．【答案】 C利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．角度三求参数的值或取值范围设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．【答案】[－1，＋∞)当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．1．对于函数f(x)＝lg(|x|＋1)，给出如下三个命题：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选B．作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值解析：选C ．画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”知在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．3.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．解析：在同一直角坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．答案：(－1，1]4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[A 级 基础练]1．(2021·福州市质量检测)函数y ＝x 2e x 的大致图象为 ( )解析：选A ．y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B ．综上，选A ．2．(2020·高考天津卷)函数y ＝4xx 2＋1的图象大致为( )解析：选A ．方法一：令f (x )＝4xx 2＋1，显然f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，排除C ，D ，由f (1)>0，排除B ，故选A ．方法二：令f (x )＝4x x 2＋1，由f (1)>0，f (－1)<0，故选A ．3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D ．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D ．4.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B ．令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－ba ，由图象可知，－b a ＞1，又当x ＞－ba 时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B ．5．已知函数y ＝f (－|x |)的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象不可能是( )解析：选C ．函数y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x <0，当x <0时，y ＝f (－|x |)＝f (x )，所以函数y ＝f (－|x |)的图象在y 轴左边的部分，就是函数y ＝f (x )的图象，故可得函数y ＝f (x )的图象不可能是C ．6.已知奇函数f (x )在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集为________解析：因为函数f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x <0时的函数图象，如图．对于不等式xf (x )<0，当x >0时，f (x )<0，所以1<x <2；当x <0时，f (x )>0，所以－2<x <－1，所以不等式xf (x )<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)．答案：(－2，－1)∪(1，2)7.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________．解析：由题图可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－18．给定min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4，5)．答案：(4，5)9．作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝|log 2x －1|.解：(1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度，图象如图①.(2)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图②.10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．[B 级 综合练]11．(2020·河北九校第二次联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x 的图象的大致形状是( )解析：选A ．因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝e x －1e x＋1sin x ，且y ＝e x －1e x ＋1和y ＝sin x 都是奇函数，所以f (x )＝e x －1e x＋1sin x 为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除C ，D ．当x ∈(0，π)时，e x >1，所以y ＝e x －1e x ＋1>0，又sin x >0，所以f (x )>0，故排除B ，故选A ．12．已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(1，2)D ．(1，2)解析：选C ．作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．13．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由已知得，f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，－1－2x －1，x <0.其图象如图所示：由图可知，不等式f (x 2－2x )<f (3x －4)等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，解得43≤x <2或1<x <43，所以所求的解集为(1，2)．答案：(1，2)14．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解： (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．[C 级 提升练]15．如图，烈士公园内有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a <12)，不考虑树的粗细．现有16 m 长的篱笆，并借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，要求将这棵树围在矩形花圃内．设此矩形花圃的最大面积为u (单位：m 2)，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：选B ．设AD 长为x m ，则CD 长为(16－x )m ，又点P 在矩形ABCD 内，所以a ≤x 且16－x ≥4，即a ≤x ≤12.则矩形ABCD 的面积S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(a ≤x ≤12)．若0<a ≤8，当且仅当x ＝8时，S max ＝u ＝64；若8<a <12，S max ＝u ＝a (16－a )．故u ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0<a ≤8，a （16－a ），8<a <12，其图象从左至右，先是一段水平的直线段，后接一段开口向下的抛物线，其形状与B 中图象接近．故选B ．16．若平面直角坐标系内A ，B 两点满足：(1)点A ，B 都在f (x )图象上；(2)点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )是函数f (x )的一个“和谐点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x （x <0），2e x（x ≥0），则f (x )的“和谐点对”有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ．作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．选B ．。

解析 由题意，函数 ， 观察发现可由函数的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象.故选A.
3.（2024 · 舒城模拟）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，若在,上为增函数，则 的最大值为( ) .
A
A.2 B.3 C.4 D.
解析 依题意，，由， ，得，即的一个单调递增区间是,，因为在 ,上为增函数，所以,,，故，即 的最大值为2.故选A.
三角函数的实际应用
典例4 （双空题）如图,这是矩形与半圆 的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为 ，点在线段上，且，设 ，则的面积与 的关系式为 _______________________________, 的最大值为_ _____.
1.（多选题）（2024 · 沧州模拟）已知函数为常数， 的图象关于直线对称，函数 ，则下列说法正确的是( ) .
ABC
A.将的图象向左平移个单位长度可以得到 的图象B.的图象关于点, 对称C.在, 上单调递减D. 的最大值为1
解析 由题意， ，， ， 将的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为 ，A正确； ，B正确； 当,时，,,，此时 是减函数，C正确；的最大值为，D错误.故选 .
D
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析 因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数 的图象.故选D.
2.（2024 · 梅州模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) .
A
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
题组3 走向高考
5.（2023 · 新高考Ⅰ卷）已知函数在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围是______.