高二数学曲边梯形面积与定积分1

b.
8
思考 你能从定积分的几何意义解释
性质3吗?
利 用 几 何 画 板,解 释"以 直 代 曲 " 逼 近" 曲 边 梯 形 面 积 的 过 程.
9
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1
从曲边梯形面积以及求变速直线运动路程
的过程可以发现,它们都可以通过"四步曲": 分割、近似代替、求和、取极限得到解决，
且都可以归结为求一个特定形式和的极限: 曲边梯形面积
S lim Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n i1
i n
(i

1,2,

,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i

i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn

n i1
f

i n


Δx

n i 3 i1 n
1 n
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。

n
1 1 1 5 lim 1 1 2 n 3 n 2n 3
O
y
y f ( x)
a b
y f ( x)
x
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。 —— 以直代曲
y
O
a
b
x
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
S lim S n
n
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
y = f ( x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f ( x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f ( x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
显然， S Si
i 1
n
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间 i 1 i 2 , v t t 2 的值变化很 上，可以认为函数 n n 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端

n
n i 1 i 1 1 Sn S f ( )x ( )2 n n n i 1 i 1 i 1 n ' i n
y
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
问题探究 例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y＝0所围成的
曲边梯形的面积。
（1）分割：将曲边梯形分成 n个小曲边梯形 （2）近似代替 ：用小矩形的面积代替小曲边 y 梯形的面积， 于是曲边梯形的面积S近似为：
S S1+ S2 + + Sn
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
, 记作 f x dx, a, b 上的 定积分 a
b
n 1
即 f ( x)dx lim
b a
n 1 i 0
0
这里, a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间
ba f (i ) xi lim f i . n n i 1
n
a, b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x叫 做积分变量, f x dx叫做被积式.
n
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
（4）求极限 当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3
（2）近似代替 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）求和

y
2 1
1 ( x 1)dx; (2). ( x 1) dx. 2 2
1
y
1
2
x
-2
1
x
解: (1)5/2;
(2)9/4.
3.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a b
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
a
s v(t)dt。
a
b
b
(3)变力作功问题可表示为
W F ( x)dx
a
O
a
t
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b b b
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u)du
感受理解
例1.计算下列定积分:
(1).
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
Sn=v(t1)⊿t+v(t2)⊿t+…+v(ti)⊿t+…+v(tn)⊿t ≈火箭在10s内运行的总路程.
学生活动
● 前面几个问题有什么共性？
f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x Sn
问题情境