高三数学模拟试题理科

河南省开封高级中学2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（三）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}31A x x =-<<，集合{}220B x x x =-+<，则()U A B = ð（）A ．[0,1)B ．(3,0]-C ．(3,2]-D ．(,1)[2,)-∞+∞ 2．已知复数z 满足(23i)3i z +=-（i 是虚数单位），则在复平面上z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(2,cos )a α=- ，(1,sin )b α= ，且//a b，则2sin 22cos 3αα=+（）A ．423-B ．417-C ．417D ．4234．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，116a =-，()13n n a a n *+=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．小张同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（）A ．322B ．323C ．16D ．1126．已知2log 3.42022a =，4log 3.32022b =，2log 0.312022c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．a c b>>7．将函数21()cos sin 2f x x x x =-+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）①函数()g x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称②函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点③函数()g x 在区间ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-④函数()g x 在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增8．如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为3，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（）A B ．19C ．11D 9．在菱形ABCD 中，460AB A =∠=︒，，点P 是菱形ABCD 内部一点，且230PA PC PB ++= ，则PD PC ⋅=（）A ．43-B ．23-C ．23D ．4310．已知点(4,2)P -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．20x y -+=B ．220x y -+=C ．320x y -+=D ．240x y -+=11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =，且12342n n n a a n ++=+，若不等式1(1)2nn n n S λ--<+对一切n *∈N 恒成立，则λ的取值范围为（）A ．313,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．515,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．717,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．919,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()243,0ln ,0x x x f x x a x x ⎧-≤=⎨->⎩，若120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，则a的取值范围为（）A ．()[),01,-∞⋃+∞B ．()[),0e,-∞⋃+∞C ．(]0,1D ．(]0,e 二、填空题13．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=______．14．已知函数1()51xf x a =++是奇函数，则不等式1(21)3f x ->-的解集为______．15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 右支上的一点，124cos 5PF F ∠=，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点M ，且1F M PM =，则C 的离心率为______．三、解答题17．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos 0b C B =，且(sin sin )sin 1cos2A B C C +=-．(1)求证：53a c =；(2)若ABC 的面积为，求ABC 内切圆的半径．18．随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习．某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学生进行调查，将收集到的学习时间（单位：小时）数据分成5组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]（学习时间均在[2,12]内），得到如图所示的频率分布直方图．(1)求m 的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)按分层抽样的方法从学习时间在[6,8)和[10,12]组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 表示抽到的3人中学习时间在[10,12]组中的人数，求X 的分布列和数学期望．19．在如图所示的多面体中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，//CD EF ，EF =2CD =2，且DF ⊥AE ．(1)求证：平面ADF ⊥平面ABEF ；(2)若二面角C -AE -F的余弦值为11，求该多面体的体积．20．如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 是C 上的一点（不同于左、右顶点），且直线1PA 的斜率与直线2PA 的斜率之积为14-．(1)求C 的方程；(2)过点1A 作直线1PA 的垂线交C 于另外一点Q ，求2PQA △面积的最大值．21．已知函数()[ln(1)]e 1(R)x f x a x x x a =+-+--∈．(1)若1a =-，求()f x 的极值；(2)若()0f x ≥对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,12x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB+的值．23．已知函数2()|31|3f x x x =-++．(1)求不等式25()33f x x x ≥-++的解集；(2)若0,0,0a b c >>>，函数()f x 的最小值为m ，且a b c m ++=，证明：22214914b c a ++≥．参考答案：1．C【分析】化简集合B ，然后利用集合的运算即可求解.【详解】由题意知(,0)(2,)B =-∞+∞ ，所以[]0,2U B =ð，所以()(3,2]U A B =- ð.故选：C.2．A【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再结合共轭复数的定义即可得出答案.【详解】因为复数z 满足(23i)3i z +=-（i 是虚数单位），所以()()()()3i 23i 3i311i 311=i 23i 23i 23i 131313z ----===-++-，则311+i 1313z =，所以在复平面上z 所对应的点为3111313⎛⎫⎪⎝⎭，，位于一象限.故选：A.3．A【分析】由平行向量的坐标表示求出1tan 2α=-，再将所求表达式化为22sin 22tan 2cos 353tan αααα=++，代入即可得出答案.【详解】因为向量(2,cos )a α=- ，(1,sin )b α= ，且//a b，所以2sin cos 0αα--=，则1tan 2α=-，而222212sin 22sin cos 2tan 4232cos 35cos 3sin 53tan 2354αααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭====-++++.故选：A.4．B【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式，，再利用0n a ≤，从而可得当6n =时，n S 取最小值.【详解】在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()*13N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是公差为3的等差数列，又116a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列，由()()1116313190n a a n d n n =+-=-+-=-≤，解得193n ≤，∵*N n ∈，∴当6n =时，n S 取最小值，故选：B ．5．C【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和4个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】从24个节气中选择4个节气，共有424C 种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有323C 种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为323424C 1C 6=.故选：C.6．D【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数的单调性即得.【详解】依题意，()222log 0.310log log 0.331202220222022c -===，42log 3.3log =显然函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，而103.43>>即22210log 3.4log log 3>>又2022x y =在R上单调递增，于是得2210log log 3.4log 3202220222022>>224log 0.3log 3.4log 3.31202220222022⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以有a c b >>.故选：D 7．B【分析】根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数图象变换性质、对称性、最值的性质、极值的定义逐一判断即可.【详解】211cos 21π()cos sin sin 2sin 222226x f x x x x x x -⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，因为将函数21()cos sin 2f x x x x =-+的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，所以()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.①：因为πππsin 41336g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的图象关于直线π3x =对称，因此本说法不正确；②：()()()ππππ4cos 404πZ πZ 662412k g x x x k k x k ⎛⎫'=+=⇒++∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为(π,π)x ∈-，所以令4,3,2,1,0,1,2,3k =----，因此函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以本说法正确；③：因为ππ,24x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π11π5π4666x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，()max min 5π1()π1,1242g x g g x g ⎛⎫⎛⎫=-==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此本说法正确；④：因为ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以令π5π7π4,666t x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，显然当5ππ,62t ⎛⎫∈-- ⎝⎭时，函数sin 4y t =单调递减，因此本说法不正确，故选：B 8．C【分析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线PB 与CE 所成的角，然后通过解三角形即可得解.【详解】如图，连接,BD AC 交于点O ，连接,OE OP ，则O 为,BD AC 的中点，且OP ⊥平面ABCD ，因为E 是棱PD 的中点，所以OE BP ∥，所以异面直线PB 与CE 所成的角为OEC ∠或其补角，因为AC ⊂平面ABCD ，所以OP AC ⊥，又,AC BD BD OP O ⊥⋂=，所以AC ⊥面PBD ，又OE ⊂面PBD ，所以OC OE ⊥，设AB a =，OP h =，则由题意得3ah =，2OB OC a ==，12OE BP ===所以在Rt OEC △中，2tan a OC h OEC OE ⋅∠=即异面直线PB 与CE所成角的正切值为11.故选：C.9．D【分析】建立平面直角坐标系，由230PA PC PB ++=，可得3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后根据数量积的坐标表示即得.【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则()()(0,2,0,2A B C D --，设(),P x y ，所以()()(),,,,2,PA x y PC x y PB x y ==---=-- ，又230PA PC PB ++= ，所以()()()(),,3,022,0x y x y x y ++------=，所以60,660x y =-=，即1x y ==，所以,13P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,13PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以PD PC ⋅=()4,313133333⎛⎫⎛⎫--⋅-=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．10．A【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过()11,A x y ，()22,B x y 两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点(4,2)P -，由两点确定一条直线，即得.【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的准线为2p y =-，所以22p-=-，4p =，故抛物线2:8C x y =，28x y =，设切点为()11,A x y ，()22,B x y ，又14y x '=，则切线PA 的方程为：()11114y y x x x -=-，即1114y x x y =-，切线PB 的方程为：()22214y y x x x -=-，即2214y x x y =-，由(4,2)P -是PA 、PB 交点可知：112x y -=-，222x y -=-，由两点确定一条直线，可得过A 、B 的直线方程为2x y -=-，即20x y -+=故选：A.11．B【分析】由题可得1123221n n a a n n +=⋅++，利用等比数列的定义结合条件可得212n nn a +=，然后利用错位相减法可得()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ，再分类讨论可得λ的取值范围.【详解】因为12342n n n a a n ++=+，132a =，所以1123221n n a a n n +=⋅++，而11212a =+，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，公比为12的等比数列，所以1212n n a n =+，即212n n n a +=，所以23357212222n nn S +=++++L ，234113572122222n n n S ++=++++L ，所以1231111113222213212212222222212n n n n n n n S -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+--L ，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n 由1(1)2nn n n S λ--<+，得()115252(1)2λ-⎛⎫-+ -<+⎪⎝⎭nn n n n ，则151(1)2λ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎣-<⎥⎦n n当n 为奇数时，有1512n λ⎛-⎫<- ⎪⎝⎭，所以52λ>-，当n 为偶数时，有1512n λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以154λ<，综上，λ的取值范围为515,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B.【点睛】关键点点睛：结合错位相减法求和，并讨论n 是奇数与偶数判断λ的取值范围是关键．12．B【分析】由120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，可得函数()2f x 的值域包含()1f x 的值域.利用二次函数的性质与导数分析0x ≤和0x >时，函数()f x 的单调性，进而求得()1f x 的值域和()2f x 的值域，从而求解.【详解】由120,0x x ∀≤∃>，使得()()12f x f x =成立，则函数()2f x 的值域包含()1f x 的值域.当0x ≤时，函数()243f x x x =-开口向上，对称轴38x =，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，且()00f =，所以()[)10,f x ∈+∞；当0x >时，()ln f x x a x =-，则()1a x a f x x x'-=-=，①若0a >，当()0,x a ∈时()0f x '<，当(),x a ∈+∞时()0f x ¢>，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，所以()()min ln f x f a a a a ==-，即()[)2ln ,f x a a a ∞∈-+，所以ln 0a a a -≤，即1ln 0a -≤，解得e a ≥；②若0a <，则()0x af x x-'=>，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时()ln f x x a x =-()0x >值域为R ，符合题意.③当0a =时，()f x x =()0x >的值域为()0,∞+，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为()[),0e,-∞⋃+∞.故选：B.13．-33【分析】利用赋值法，分别代入1x =和0x =进行求解即可【详解】令1x =可得5(23)-=012345a a a a a a +++++=1-，令0x =可得05232a ==，即032a =，则12345a a a a a ++++=13233--=-故答案为：33-【点睛】本题考查赋值法研究二项式的系数和问题，属于基础题.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.14．(),1-∞【分析】由1()51x f x a =++为奇函数，求得12a =-，得到11()512x f x =-+，结合()f x 为减函数，且1(1)3f =-，把不等式转化为()(21)1f x f ->，即可求解.【详解】由题意，函数1()51x f x a =++为奇函数，可得011(0)0512f a a =+=+=+，解得12a =-，即11()512xf x =-+，其定义域为x ∈R ，经检验满足题意；因为11()512x f x =-+为减函数，且111(1)5123f =-=-+，所以不等式1(21)3f x ->-等价于()(21)1f x f ->，即211x -<，解得1x <，所以不等式1(21)3f x ->-的解集为(),1-∞.故答案为：(),1-∞.15．9π2【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得2AB AC ==体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.【详解】由题可知三棱锥-P ABC 的体积为：211112326623P ABCAB AC V AB AC AP AB AC -+⎛⎫=⨯⋅⋅⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2AB AC ==时等号成立，此时，12PA AB AC ===，，将三棱锥-P ABC 补成长方体PEFG ABDC -，则三棱锥-P ABC 外接球的直径为23R ==，则32R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为349ππ32R =.故答案为：9π2.16．207【分析】设12F PF θ∠=，可得4cos 5θ=，3sin 5θ=.结合1F M PM =，可得7cos 225θ=，24sin 225θ=，17cos 25PMF ∠=-.在1F PM 中，结合余弦定理可得185PF m =，在2F PM 中，由正弦定理可得()2825PF c m =-，进而得到58m a c =+.在12PF F △中，结合余弦定理可得3932m c =，进而得到395328c a c =+，可得720c a =，进而求解.【详解】如图，设12F PF θ∠=，则4cos 5θ=，即3sin 5θ=.因为PM 为12F PF ∠的平分线，且1F M PM =，所以12F PM MPF θ∠=∠=，所以227cos cos 22cos 125PMF θθ∠==-=，即17cos 25PMF ∠=-，24sin 22sin cos 25θθθ==.设1F M m =，则22F M c m =-，在1F PM中，1PF =，即185PF m =，在2F PM 中，由正弦定理得22sin sin 2F M PF θθ=，所以22324525PF c m -=，即()2825PF c m =-，又因为122PF PF a -=，所以()882255m c m a --=，即58m a c =+，在12PF F △中，2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，所以()2226464842422252555c m m c m c -=+-⨯⨯⨯，解得3932m c =，所以395328c a c =+，即720c a =，所以207c e a ==.故答案为：207.17．(1)证明见解析；(2)1.【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合条件可得2π3B =，然后利用二倍角公式和正弦定理得到20a b c +-=，使用余弦定理得到222a c b ac +-=-，两式联立即得；（2）利用面积公式得到20ac =，结合条件可得,,a b c ，然后利用三角形内切圆的性质j 结合条件即得.【详解】（1）由sin cos 0b C B +=，可得sin sin sin cos 0B C C B =，因为()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以sin 0B B =，即tan B =()0,πB ∈，所以2π3B =，因为2(sin sin )sin 1cos 22sin A B C C C +=-=，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得：2a b c +=，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==-，即222a c b ac+-=-将2b c a =-代入上式，()2222c a c ac a +-=--，化简可得：53a c =；（2）由面积公式得：1sin 2ac B ==，所以20ac =，又53a c =，可得：21003c =，因为0c >，所以3c =，a =，233b c a =-=-=，所以a b c ++=ABC 内切圆的半径为r ，则()12a b c r ++==所以1r =，即ABC 内切圆的半径为1.18．(1)0.09m =；8.12小时；(2)分布列见解析，()98E X =.【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中m 的值，利用平均数计算公式即可求出结果；（2）根据题意分析X 的可能取值为0，1，2，3，进而列出分布列求出结果.【详解】（1）由于各组数据频率之和为1，即()0.020.050.150.1921m ++++⨯=，则0.09m =，这400名大学生每天课余学习时间的平均值为：30.0450.170.390.38110.188.12⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(小时)；（2）由题可知学习时间在[6,8)和[10,12]组的频率分别为0.3,0.18，按分层抽样的方法从学习时间在[6,8)和[10,12]组中抽出8人，有5名在[6,8)内，3名在[10,12]内，则X 的可能取值为0，1，2，3，则()033538C C 50C 28P X ===，()123538C C 151C 28P X ===，()213538C C 152C 56P X ===，()3035381356C C C P X ===，即X 的分布列为X0123P52815281556156所以()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．(1)见解析(2)52【分析】（1）根据面面垂直的性质可得DF ⊥平面ABEF ，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）以F 为原点，FA FE FD ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设FD h =，平面AEF 的法向是1n 和平面AEC 的法向量2n ，由二面角的公式求出32h =，该多面体的体积ADF PCG C PBEG V V V --=+，由椎体和柱体的体积公式求解即可.【详解】（1）因为平面ABEF ⊥平面CDFE ，平面ABEF ⋂平面CDFE EF =，DF EF ^，又EF ⊂平面ABEF ，所以DF ⊥平面ABEF ，DF ⊂平面ADF ，平面ADF ⊥平面ABEF.（2）因为AF EF ⊥，以F 为原点，FA FE FD ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设FD h =，可得()()()()()2,0,0,0,0,0,0,1,,2,2,0,0,2,0A F C h B E ，平面AEF 的法向是()10,0,1n =，设平面AEC 的法向是()2,,n x y z =u u r，则()()2,2,0,0,1,AE EC h =-=- ，可得22022000n AE x y y hz n EC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ，令,1,x h z y h ===，所以平面AEC 的法向量()2,,1n h h =，设二面角C -AE -F 所成角为θ，所以121212cos cos,11n nn nn nθ⋅===，解得：32h=.分别取,AB EF的中点,P G，连接,,CG GP CP，因为//,CD FG CD FG=，所以四边形DFGC是平行四边形，所以//DF CG，由（1）知，DF⊥平面ABEF，所以CG⊥平面ABEF，113211332C PBEG PBEGV S CG-=⋅⨯=⨯⨯⨯=，因为DF⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，所以DF EF^，又因为四边形ABEF为正方形，所以AF EF⊥，AF DF F⋂=，,AF DF⊂平面AFD，所以EF⊥平面AFD，所以13321222ADF PCG ADFV S CD-=⨯=⨯⨯⨯=该多面体的体积为52ADF PCG C PBEGV V V--=+=.20．(1)2214x y+=；(2)6425.【分析】（1）根据斜率之积为定值可求出a，进而可得椭圆方程；（2）设直线1A P的方程为()2y k x=+，联立椭圆方程求出222284,1414k kPk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而得到Q，然后结合条件表示出2PQA△面积，再利用导数求函数的最值即可.【详解】（1）由椭圆，可得()()12,0,,0A a A a-，设()11,P x y，则221121x ya+=，所以2222111221x a xya a-=-=，又直线1PA 的斜率与直线2PA 的斜率之积为14-，所以2122112111114y y x a x a x a a y ⋅==--=-+-，所以24a =，所以椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线1A P 的斜率为()0k k >，则直线1A P 的方程为()2y k x =+，代入椭圆得2214x y +=，可得()222214161640k x k x k +++-=，所以212164214k x k --=+，所以2122814k x k -=+，所以()1124214ky k x k =+=+，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设()22,Q x y ，由题可得()1:2AQ y x k=-+，同理可得2244ky k =-+，所以1A P =同理可得1A Q =所以2PQA △的面积为1211212111122A PA Q PQA S S S A A y y A P A Q =-=⋅--()()()222221144142144244132k k k k k k k k +=⨯⨯+-⋅++++，令()()()222114342k k k y k +++=，0k >，则()()()()()()()22222322213144132321631444k k k k k kk kk y +-++'+++=+()()()()222242214142443k k k k k -+++--=，由0'>y ，可得01k <<，函数单调递增；由0'<y ，可得1k >，函数单调递减，所以当1k =时，2PQA △的面积最大，最大值为6425.21．(1)极小值为0，无极大值；(2)(],1-∞．【分析】（1）对()f x 求导，然后构造()1e ()1,1xx x x g +->-=，对()g x 求导，从而确实'()f x的正负，进而即得；（2）由题可得()()1e ()11x x axf x x +-=-'+，然后通过构造函数，分1a ≤和1a >讨论，利用导数研究性质进而即得.【详解】（1）当1a =-时，()[ln(1)]e 1e ln(1)1x x f x x x x x =-+-+--=-+-，1x >-，所以()1e 11()e 11x xx f x x x +-'=-=++，设()1e ()1,1x x x x g +->-=，则()2(0e )xx g x +'=>，所以()g x 在()1,-+∞单调递增，又(0)0g =，∴()1,0x ∈-时，()()0,0g x f x '<<，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>>，()f x 单调递增；∴()f x 在0x =处有极小值，极小值为(0)0f =，无极大值；（2）因为()[ln(1)]e 1(R)x f x a x x x a =+-+--∈，所以()()1e ()e 1111x xx ax ax f x x x +-'=-=--++，设()()()1e ,01xh x x ax x -=+-≥，则()()()e 12e 11e x x x h x x a x a -+'=+-=+--，令()()2e 1,0xH x x a x =+--≥，则()()3e 0x H x x =+>'，所以()H x 在[)0,∞+上单调递增，即()h x '在[)0,∞+上单调递增，故()()01h x h a ''≥=-，当1a ≤时，()0h x '≥且不恒等于零，()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0f x '≥，()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()0f x ≥对任意的[0,)x ∈+∞恒成立；当1a >时，则()010h a '=-<，()()()2e 1e 12e 10a a ah a a a a '=+--=-+->，所以存在()()000,,0x a h x '∈=，∴()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，此时()()00h x h <=，()0f x '<，所以()00,x x ∈时，()f x 单调递减，()()00f x f <=，不满足题意；综上，实数a 的取值范围(],1-∞．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.22．（1）22(1)1x y -+=（2）18【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2)设,A B 所对应的参数分别为12,t t ,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】（1）由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=．将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得,222x y x +=,所以C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=．（2）设,A B 所对应的参数分别为12,t t ,因为直线l的参数方程为5,2(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数所以M 在l 上把l 的参数方程代入22(1)1x y -+=可得2180,t ++=所以241830∆=-⨯=>,所以1212180t t t t +=-=＞,故11MA MB +=12121212||||||||||||||||||||t t t t MA MB MA MB t t t t +++==⋅【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.23．(1)(][),02,-∞⋃+∞(2)见解析【分析】（1）将函数()f x 化为分段函数的形式，再求解不等式25()33f x x x ≥-++的解集；（2）由()f x 的解析式易知1m =，再结合柯西不等式证明即可.【详解】（1）114,233()315132,33x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩，当13x ≥时，2154333x x x -≥-++，则()()120x x +-≥，解得：2x ≥或1x ≤-，因为13x ≥，所以2x ≥，当13x <时，2552333x x x -+≥-++，解得：5x ≥或0x ≤，因为13x <，所以0x ≤.故不等式25()33f x x x ≥-++的解集为(][),02,-∞⋃+∞.（2）因为114,233()315132,33x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩，所以可知()f x 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以当13x =时，函数()f x 有最小值为11141333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即1m =，则1a b c ++=，利用柯西不等式可得：()()2222149149b c a a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，所以22214914b ca++≥，当且仅当32123cba==时等号成立，所以当129,,14714a b c===时，22214914b ca++≥.。

数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。

卜人入州八九几市潮王学校十校2021年高考模拟考试数学试题〔理科〕本套试卷分第I 卷和第II 卷两局部，考试时间是是120分钟，试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所用试题之答案涂、写在答题纸上。

参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式假设事件A 、B 互相HY ，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式假设事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k =球的外表积公式棱台的体积公式24R S π=)(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第一卷一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1．集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x MN =-≤<==-则=〔〕A ．{|20}x x -≤< B ．{|10}x x -<< C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}2．,αβ的终边在第一象限，那么“αβ>〞是“sin sin αβ>〞〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件3．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，假设没有2位同学一块走，那么第二位走的是男同学的概率是〔〕A ．12B ．13C ．14D ．154．直线,l m αβ⊥⊂平面直线平面〔1〕//l m αβ⇒⊥；〔2〕//l m αβ⊥⇒；〔3〕//l m αβ⇒⊥；〔4〕//l m αβ⊥⇒ 〕A ．〔1〕〔2〕B ．〔1〕〔3〕C ．〔2〕〔4〕D ．〔3〕〔4〕5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点是F 1，F 2，设P 是双曲线右支上一点，121F F F P 在上的投影的大小恰好为1||F P 且它们的夹角为6π，那么双曲线的离心率e 为 〔〕A 21+B 31+ C 31+D 216．向量,0,||1,||2,|2|a b a b a b a b ⋅===-满足则=〔〕A ．0B ．22C ．4D ．87．如图，给出的是11113599++++的值的一个程序框图， 框内应填入的条件是〔〕 A ．99i ≤ B ．99i <C ．99i≥D ．99i>8．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，假设前3项的系数成等差数列，那么展开式中有理项的项数为〔〕A ．5B ．4C ．3D ．29．设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y x x y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为〔〕 A ．10B ．8C ．6D ．410．2*11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，假设函数()n y f x x =-不存在零点，那么c 的取值范围是〔〕A ．14c<B ．34c ≥C ．94c>D ．94c ≤第二卷二、填空题：本大题有7小题，每一小题4分，一共28分。

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。