江苏省南通中学2018-2019学年度第二学期高一数学试卷(有答案)

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一下学期期末数学试题一、单选题 1．不等式10xx-≥的解集为( ) A.[]0,1 B.(]0,1C.(][),01,-∞⋃+∞D.()[),01,-∞⋃+∞【答案】B【解析】可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零. 【详解】原不等式可化为()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，其解集为(]0,1，故选B.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.2．已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为( ) A.1- B.4C.4或16-D.16-【答案】C【解析】利用两条平行线之间的距离公式可求a 的值. 【详解】两条平行线之间的距离为625a d --===，故4a =或16a =-， 故选C. 【点睛】一般地，平行线1110A x B y C ++=和1120A x B y C ++=，应用该公式时注意,x y 前面的系数要相等.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差3d =，68a =，则10S 的值为( ) A.65 B.62C.59D.56【答案】A【解析】先求出5a ，再利用等差数列的性质和求和公式可求10S . 【详解】565a a d =-=，所以()()1101056105652a a S a a +==+=，故选A. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.4．已知正四棱锥的底面边长为2( )A.43B.23C. D.3【答案】D【解析】求出正四棱锥的高后可求其体积. 【详解】正四棱锥底面的对角线的长度为故正四棱锥的高为h ==1433⨯=， 故选D. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11m a =，21121m S -=，则m 的值为( ) A.3 B.4C.5D.6【答案】D【解析】利用等差数列的前n 项和的性质可求m 的值. 【详解】因为()2121121m m S m a -=-=，所以2111m -=，故6m =， 故选D. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.6．若直线()1:2l y k x =-与直线2l 关于点()1,2对称，则直线2l 恒过点( ) A.()2,0 B.()0,2 C.()0,4D.()4,0【答案】C【解析】利用直线()1:2l y k x =-过定点()2,0可求2l 所过的定点. 【详解】直线()1:2l y k x =-过定点()2,0，它关于点()1,2的对称点为()0,4， 因为12,l l 关于点()1,2对称，故直线2l 恒过点()0,4， 故选C. 【点睛】一般地，若直线1111:=0l A x B y C ++和直线2222:0l A x B y C ++=相交，那么动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=必过定点（该定点为12,l l 的交点）.7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积,2,1S B a c ===，则b =( )A.32B.2C.34D.52【答案】B【解析】利用面积公式及S B =可求tan B ，再利用同角的三角函数的基本关系式可求cos B ，最后利用余弦定理可求b 的值. 【详解】因为1sin 2S ac B =，故121sin 2B B ⨯⨯⨯=，所以tan 0B =>，因为()0,B π∈，故0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又1cos 4B ==， 由余弦定理可得22212cos 522144b ac ac B =+-=-⨯⨯⨯=，故2b =. 故选B. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.8．设m ,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，给出下列命题: ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①④C.②③D.②④【答案】D【解析】根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知②④正确. 【详解】对于①，若//m α，//m n ，//n α或n ⊂α，故①错；对于②，过m 作一个平面γ，它与平面β交于b ，则m b ，因为m α⊥，故b α⊥，因为b β⊂，故αβ⊥，故②成立；对于③，由面面垂直的性质定理可知前提条件缺少m α⊂，故③错； 对于④，如图所示，如果,m n 分别于平面αβ，斜交，且斜足分别为1,A A ， 在直线,m n 上分别截取斜线段11A B 、AB ，使得11A B AB =， 过1,B B 分别作平面,αβ的垂线，垂足分别为1,C C ，连接11,A C AC ，则111,B AC BAC ∠∠分别为m 与平面α所成的角、n 与平面β所成的角， 因为αβ∥，故11BCB C ，所以111A B C ABC ∠=∠，故111B AC BAC ∠=∠.当,m n 分别垂直于,αβ时，1112B AC BAC π∠=∠=；当,m n 分别平行于,αβ时，1110B A C BAC ∠=∠=； 故m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查空间中的点、线、面的位置关系，正确判断这些命题的真假的前提是熟悉公理、定理的前提条件，同时需要动态考虑它们的位置关系，观察是否有不同的情况出现.9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA ==2AD =,则异面直线AC 与1BD 所成角的余弦值为( )B. D.12-【答案】C【解析】连接BD ，交AC 于O ，取1DD 的中点E ，连接OE 、AE ，可以证明EOA ∠是异面直线AC 与1BD 所成角，利用余弦定理可求其余弦值. 【详解】连接BD ，交AC 于O ，取1DD 的中点E ，连接OE .由长方体1111ABCD A B C D -可得四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 因为E 为1DD 的中点，所以1OE BD ，所以EOA ∠或其补角是异面直线AC 与1BD 所成角.在直角三角形EOD 中，则OD ==OE =OE =.在直角三角形ADE 中，AE =在AOE ∆中，cos15EOA ∠==， 故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.10．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为( )B.4C.【答案】A【解析】先求出P 的坐标，再求出直线l 所过的定点Q ，则所求距离的最大值就是PQ 的长度. 【详解】由37010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩可以得到12x y =⎧⎨=⎩，故()1,2P ， 直线l 的方程可整理为：()210x a y ++-=，故直线l 过定点()2,1-， 因为P 到直线l 的距离d PQ ≤，当且仅当l PQ ⊥时等号成立，故max d ==故选A. 【点睛】一般地，若直线1111:=0l A x B y C ++和直线2222:0l A x B y C ++=相交，那么动直线()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈）必过定点（该定点为12,l l 的交点）.11．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( ) A.4 B.8C.16D.32【答案】B【解析】由64xy x +=可以得到4116y x y y+=++，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为64xy x +=，故41611=6xy x y x y x y y+++=++， 因为203x <<，故46460x y x x -==->， 故168y y ++≥，当且仅当41,7y x ==时等号成立，故41x y+的最小值为8， 故选B. 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.12．在ABC ∆中，0120B =，AB =角A 的平分线AD =则BC 长为( )A.1【答案】B【解析】在ABD ∆中利用正弦定理可求sin BDA ∠，从而可求BDA ∠，再根据内角和为180︒ 可得BAD ∠，从而得到ABC ∆为等腰三角形，故可求BC 的长. 【详解】在ABD ∆中，由正弦定理有sin sin AD AB ABD ADB=∠∠sin ADB =∠，所以sin 2ADB ∠=，因为03ADB π<∠<，故4ADB π∠=，故12BAD π∠=，所以6BAC π∠=，故6BCA π∠=，ABC ∆为等腰三角形，故BC AB ==故选B.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量．二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______．【答案】16【解析】利用3633S S q S -=及6350S S -=可计算3q ，从而可计算7a 的值.【详解】因为3633S S q S -=，故3334q S S =， 因为30S ≠，故34q =，故67116a a q ==，故填16. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 14．过点()1,2直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，当2OM ON +最小时，直线l 的一般方程为______. 【答案】30x y +-= 【解析】设直线的截距式方程为1x y a b +=，利用该直线过()1,2可得121a b+=，再利用基本不等式可求何时2OM ON +即2+a b 取最小值，从而得到相应的直线方程． 【详解】设直线的截距式方程为1x ya b +=，其中0,0a b >>且22OM ON a b +=+． 因为直线过()1,2，故121a b+=．所以()125222a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭=， 由基本不等式可知2b aa b+≥，当且仅当3a b ==时等号成立， 故当2OM ON +取最小值时，直线方程为：30x y +-=． 填30x y +-=． 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式，特别地，如果考虑的问题是与直线、坐标轴围成的直角三角形有关的问题，可考虑利用截距式.15．已知P ,A ,B ,C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==,且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为______． 【答案】12π【解析】根据三棱锥的体积可求三棱锥的侧棱长，补体后可求三棱锥外接球的直径，从而可计算外接球的表面积． 【详解】三棱锥的体积为2114323V PA PA =⨯⨯⨯=，故2PA =， 因为PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==，故可把三棱锥补成正方体， 该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，又体对角线的长度为(212S ππ=⨯=.填12π. 【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定．16．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2b ，且A ,B ,C 成等差数列，则ac 最小值为______． 【答案】4【解析】先根据A ,B ,C 成等差数列得到60B =︒，再根据余弦定理得到,,a b c 满足的等式关系，而由面积可得ac b =，利用基本不等式可求ac 的最小值. 【详解】因为A ,B ,C 成等差数列，180A B C ++=︒，故60B =︒. 由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-. 由基本不等式可以得到2b ac ≥，当且仅当a c =时等号成立.因为11sin sin 223S ac B ac π===，所以2ac b =， 所以224a c ac ≥即4ac ≥，当且仅当2a c ==时等号成立.故填4.【点睛】三角形中与边有关的最值问题，可根据题设条件找到各边的等式关系或角的等量关系，再根据边的关系式的结构特征选用合适的基本不等式求最值，也可以利用正弦定理把与边有关的目标代数式转化为与角有关的三角函数式后再求其最值.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，且090PAB PDC ∠=∠=.(1)证明：//PA 平面BDM ； (2)证明：平面PAB ⊥平面PAD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】(1) 连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，可证//OM PA ，从而可证//PA 平面BDM .(2) 可证AB ⊥平面PAD ，从而得到平面PAB ⊥平面PAD . 【详解】(1) 连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点. 在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA . 又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以//PA 平面BDM .(2) 因为底面ABCD 为平行四边形，所以//AB CD . 又090PDC ∠=即CD PD ⊥，所以AB PD ⊥. 又090PAB ∠=即AB PA ⊥.又PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，PA PD P =，所以AB ⊥平面PAD .又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 18．在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4A π=,3sin 4a Cb =. （1）求tan B 的值；（2）若3c =,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）3.【解析】（1）利用正弦定理可得3sin sin sin 4A CB =，消元后可得关于B 的三角方程，从该方程可得tan B 的值.（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得sin B ，再根据题设条件得到sin C 后再利用正弦定理可求b 的值，从而得到所求的面积. 【详解】(1)在ABC ∆由正弦定理得，3sin sin sin 4A CB =①， 因为()C A B π=-+,所以()sin sin C A B =+， 又因为4A π=，所以3sinsin sin 444B B ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得到2cos sin B B =， 故tan 2B =.(2)在锐角ABC ∆中，因为tan 2B =，所以sinB =将sinB =代入①得sin C =.在ABC ∆由正弦定理sin sin c b C B=得b =所以11sin 33222ABC S bc A ∆==⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.19．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用线面平行的性质定理可得//BC DE ，从而得到11//B C DE . （2）连接1A C ，可证1AC ⊥平面1A BC ，从而得到11AC A B ⊥. 【详解】因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE .(2)连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥. 【点睛】线线平行的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如三角形的中位线、梯形的中位线等；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理（同垂直一个平面的两条直线平行）.而线线垂直的证明，有如下途径：（1）利用平面几何的知识，如勾股定理等；（2）异面直线所成的角为2π；（3）线面垂直的性质定理； 20．已知()()()2341f x x a x a R =-++∈.（1）若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()0f x >上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()2252f x a a <---.【答案】（1）23a <-；（2）见解析. 【解析】（1）参变分离后可得134a x x+<+在()0,∞+上恒成立，利用基本不等式可求1x x+的最小值，从而得到参数a 的取值范围. （2）原不等式可化为()()1230x a x a ⎡⎤⎡⎤-+-+<⎣⎦⎣⎦，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）对任意的()0,x ∈+∞，()()23410f x x a x =-++>恒成立即134a x x+<+恒成立.因为当0x >时，12x x +≥（当且仅当1x =时等号成立）， 所以342a +<即23a <-.（2）不等式()22341252x a x a a -++<---，()22342530x a x a a -++++<即()()1230x a x a ⎡⎤⎡⎤-+-+<⎣⎦⎣⎦，①当123a a +=+即2a =-时，x ∈∅；②当123a a +>+即2a <-时，231a x a +<<+； ③当123a a +<+即2a >-时，123a x a +<<+. 综上：当2a =-时，不等式解集为ϕ； 当2a <-时，不等式解集为()23,1a a ++； 当2a >-时，不等式解集为()1,23a a ++. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．一元二次不等式的恒成立问题，参变分离后可以转化为函数的最值进行讨论，后者可利用基本不等式来求.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ,B ,C 坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D 。

2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cosα=（）A．35B．45C．35-D．45-【答案】B【解析】根据三角函数的基本定义求解即可【详解】由三角函数定义()224cos543xrα===+-故选：B【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题2．下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．()f x x=B．1()f xx=C．()xf x e=D．()sinf x x=【答案】D【解析】试题分析：A：不是奇函数，B：不存在零点；C：既不是奇函数，也不存在零点；D：符合题意，故选D．【考点】函数的奇偶性与函数的零点．3．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A ．30辆B ．1700辆C ．170辆D ．300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆. 【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为()0.030.0350.02100.85++⨯=，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有20000.851700⨯=（辆），故选B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.4．已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为（ ）A ．B ．3±C ．D ．±1【答案】A【解析】由题意得到直线l 斜率存在，设为k ，表示出直线l 方程，根据直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，圆心到直线l 的距离=1，求出方程的解得到直线的斜率． 【详解】由题意知所求直线的斜率存在，设为k ，直线l 方程为y=k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k=0， ∵直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径， ∴圆心到直线l 的距离=1，解得：k=故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)点P 00(,)x y 到直线ax+by+c=0的距离为0022ax by c d a b++=+.5．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是梯形，//AB CD ，若平面PAD I 平面PBC l =，则（ ）A ．//l CDB ．//l BC C ．l 与直线AB 相交D ．l 与直线DA 相交 【答案】D【解析】分析：两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上．详解：根据公理4：两个平面若有一个交点，那么必然有无数个交点，而且这些交点在同一条直线上．那么DA 与BC 的交点必在直线l ，故选D 点睛：本题考查了公理4的应用，学生不要受题目图形的影响． 6．设全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合3{(,)|1}2y M x y x -==-，{(,)|1}P x y y x =≠+，那么()U M P ⋃ð等于（ ）A ．∅B ．{}(2,3)C ．(2,3)D ．{(,)|1}x y y x =+【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为集合3{(,)|1}{(,)|1,2}2y M x y x y y x x x -====+≠-且，集合{(,)|1}P x y y x =≠+，所以集合M P ⋃表示平面内除点(2,3)外部分，因此{}()(2,3)U M P ⋃=ð.故选B. 【考点】集合运算.7．已知()0,x π∈，cos 63x π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-，则cos 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求得sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】Q 已知()0,x π∈，cos 63x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，5666x πππ∴-<-<，5266x πππ∴<-<，sin 63x π⎛⎫∴-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin3666666x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326=-⨯+=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式的应用，解题时要弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题．8．函数2ln 12y x x x =-+-的所有零点之和是（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【答案】D【解析】令2ln 120y x x x =-+-=，可得出2ln 12x x x -=-，令()ln 1f x x =-，()22g x x x =-，可知两个函数的图象都关于直线1x =对称，然后利用数形结合思想可得出原函数所有零点之和. 【详解】令2ln 120y x x x =-+-=，可得出2ln 12x x x -=-，令()ln 1f x x =-，()22g x x x =-，在同一坐标系内画出这两个函数的图象：由图象可知，两个函数的图象都关于直线1x =对称，所以122x x +=，432x x +=，因此，函数2ln 12y x x x =-+-的所有零点之和为12344x x x x +++=.故选：D. 【点睛】本题考查的知识要点：函数的零点和函数的图象的关系式的转化，利用图形的对称性求解是关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知函数()()212f x a x x =-≤≤与()1g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,4⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]1,3C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1-【答案】D【解析】由已知，得到方程()2211a x x a x x -=-+⇔=--在区间[]1,2上有解，构造函数()21h x x x =--，求出它的值域，得到a 的范围即可.【详解】若函数()()212f x a x x =-≤≤与()1g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程()2211a x x a x x -=-+⇔=--在区间[]1,2上有解，令()21h x x x =--，12x ≤≤，由()21h x x x =--的图象是开口朝上，且以直线12x =为对称轴的抛物线，则函数()21h x x x =--在区间[]1,2上单调递增，故当1x =时，函数()y h x =取最小值1-，当2x =时，函数()y h x =取最大值1， 所以，[]1,1a ∈-. 故选：D ． 【点睛】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，关键是将已知转化为方程21a x x =--在区间[]1,2上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10．已知是圆：上两点，点且，则最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设是线段AB 的中点求得其轨迹是以为圆心，半径为的圆，再利用圆的性质和弦长公式，即可求解得到答案. 【详解】 如图所示，设是线段AB 的中点，则，因为，所以，于是,在直角中，，，由勾股定理得，整理得，故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故，又由圆的弦长公式可得，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及直线与圆的位置关系和圆的弦长公式的应用，其中解答中求得弦MN 的中点的轨迹，合理利用圆的性质和圆的弦长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，属于中档试题.二、填空题11．121lg 25lg 49-⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.【答案】5【解析】利用指数和对数的运算法则直接求解． 【详解】原式()()122lg 4253lg1003235--=⨯+=+=+=.故答案为：5. 【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数和对数运算法则的应用，考查计算能力，是基础题．12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若21,3,3b c C π==∠=，则a ＝__________. 【答案】1【解析】试题分析：因为323π,那么根据正弦定理可知sin sin c bC B=,可知sinB=12,因为b<c ，那么角B=6π，A=6π然后利用余弦定理可知a 2=c 2+b 2-2cbcosA=1,故a=1.【考点】本试题主要考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用．点评：解决该试题的关键是能正确使用正弦定理得到角B 的值，注意不要出现两解，要根据大边对大角，小边对小角来求解B ．13．已知平面向量()1,0a =r，13,2b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，则a r 与a b +r r 的夹角为______. 【答案】3π 【解析】求出向量a b +r r 的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式可计算出a r 与a b +r r的夹角的余弦值，进而可求出这两个向量的夹角. 【详解】()1,0a =r Q ，13,2b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，13,2a b ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭r r ，()13110222a a b ⋅+=⨯+⨯=r r r . 设a r 与a b +r r 的夹角为θ，则()1cos 2a ab a a b θ⋅+==⋅+r r r r r r ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，因此，a r 与a b +r r的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____．【答案】1【解析】试题分析：由题意03x t <+<，3t x t -<<-，所以1{32t t -=--=，1t =．【考点】函数的单调性．15．2，它的侧棱与底面所成的角为3π，则它的体积为______. 23【解析】，它的侧棱与底面所成角为3π，可求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案． 【详解】，故底面积为2， 又Q 侧棱与底面所成的角为3π，所以正四棱锥的高为tan 23π=故正四棱锥的体积1233V =⨯=.. 【点睛】本题考查的知识点是棱锥的体积，考查了线面角定义的应用，其中根据已知求出棱锥的底面面积和高是解答本题的关键，考查计算能力，属于中等题.16．已知锐角111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222A B C ∆的三个内角的正弦值，其中22A π>，若221B C =，则22223B A C +的最大值为_______.【解析】由于12cos sin A A =，且2A 为钝角，故23π4A =，由正弦定理得22222222213πsin sin sin sin 4A B A C B C C B A ====，故22222234sin B A C C B +=+()22222π4sin sin 3cos 4C C C C C ϕ⎛⎫=+-=+=+≤ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知向量()sin ,cos 2sin a θθθ=-r ，()2,1b =r，其中0θπ<<.（1）若//a b r r，求sin cos θθ⋅的值；（2）若a b =r r，求θ的值.【答案】（1）1029；（2）2πθ=或34πθ=. 【解析】（1）结合已知及向量平行的坐标表示可求tan θ，然后由22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+，利用弦化切的基本思想可求出该代数式的值；（2）由已知结合向量的数量积的性质可得出2cos sin cos 0θθθ+⋅=，结合θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】（1）因为//a b r r，所以()sin 2cos 2sin 0θθθ--=，即5sin 2cos θθ=， 又cos 0θ≠，所以2tan 5θ=，所以222sin cos tan 10sin cos sin cos tan 129θθθθθθθθ⋅⋅===++； （2）因为a b =r r ，所以()22sin cos 2sin 5θθθ+-=，所以2cos sin cos 0θθθ+⋅=，则cos 0θ=或sin cos θθ=-，即cos 0θ=或tan 1θ=-.又0θπ<<，所以2πθ=或34πθ=. 【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示及同角三角函数基本关系的应用，以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中档试题18．如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若CF AE ⊥，AB AE ⊥，求证：平面ABFE ⊥平面CDEF . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）推导出//AB CD ，从而得出//AB 面CDEF ，由线面平行的性质定理，得//AB EF ，由此能证明//EF 平面ABCD ；（2）推导出AE DE ⊥，AE CD ⊥，从而得出AE ⊥平面CDEF ，由此能证明平面ABFE ⊥平面CDEF ．【详解】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ， 又因为AB Ì平面ABFE ，平面ABFE I 平面CDEF EF =，所以//AB EF ， 又因为EF ⊄平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ； （2）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ， 又因为AB AE ⊥，所以AE CD ⊥，又因为AE CF ⊥，CD CF C =I ，CD ⊂平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ， 所以AE ⊥平面CDEF ，又因为AE ⊂平面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面CDEF . 【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19．已知集合{|(2)(31)0}A x x x a =---<，函数()22lg 1a xy x a -=-+的定义域为B ．（1）若2a =求集合B ； （2）若A B =，求实数a 的值．【答案】（1）{|45}B x x =<<；（2）1a =-．【解析】（1）对数的真数大于零；（2）按2与31a +的大小分类讨论求解. 【详解】 （Ⅰ）由405xx ->-，得45x <<， 故集合{|45}B x x =<<；（Ⅱ）由题可知，2(2,1)B a a =+①若231a <+，即13a >时，(2,31)A a =+， 又因为A B =，所以222131a a a =⎧⎨+=+⎩，无解； ②若231a =+时，显然不合题意； ③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+， 又因为A B =，所以223112a a a =+⎧⎨+=⎩，解得1a =-． 综上所述，1a =-．【点睛】本题考查函数的定义域和集合的运算. 求函数定义域的常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、tan x 中2x k ππ≠+.20．已知函数()221xf x m =-+是定义在R 上的奇函数， （1）求实数m 的值；（2）如果对任意x ∈R ，不等式2(2cos )(4sin 7)0f a x f x ++-<恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1（2）1522a ≤< 【解析】(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m 值；（2）先判断出函数f(x)在R 上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为22cos 4sin 7a x x +<+恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a 的范围. 【详解】解：（1）方法1：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，即2202121x x m m --+-=++， 即220m -=，即1m =方法2：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即02012m -=+， 即1m =，检验符合要求． （2）()2121x f x =-+， 任取12x x <，则()()12f x f x - 21221212x x =-++ ()()()12122221212x x x x -=++， 因为12x x <，所以1222x x <，所以()()120f x f x -<， 所以函数()f x 在R 上是增函数． 注：此处交代单调性即可，可不证明因为()()22cos 4sin 70f a x f x ++<，且()f x 是奇函数所以()())22cos 4sin 74sin 7f a x f x fx +<-=+，因为()f x 在R 上单调递增，所以22cos 214sin 7a x a x +<--+，即2221cos 4sin 7a a x x --<--+对任意x R ∈都成立， 由于2cos 4sin 7x x --+=()2sin 22x -+，其中1sin 1x -≤≤， 所以()2sin 223x -+≥，即最小值为3 所以2213a a --<，即212120a a ----<，解得1212a -<-<，故0212a ≤-<，即1522a ≤<. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题. 21．某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=，该地区为打击走私，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内），在圆弧的两端点A 、B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为10海里.（1）求海域ABCD 的面积；（2）现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点4海里，在B 点测得其距B 点19.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.【答案】（1）223π（平方海里）；（2）这艘不明船只没有进入海域ABCD ，详见解析. 【解析】（1）利用扇环的面积公式求出海域ABCD 的面积；（2）由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P 的位置，由此判断点P 是否在海域ABCD 内． 【详解】 （1）3AOB π∠=Q ，在海岸线外侧2海里内的海域ABCD ，10AB =，所以2AD BC ==，10OA OB AB ===，所以12OD OA AD =+=，所以()()222212*********ABCD S OD OA πππππ=⋅-=-=（平方海里）；（2）由题意建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，点P 在圆B 上，即()221076x y -+=； 点P 也在圆A 上，即()()2255316x y -+-=.组成方程组()()()2222107655316x y x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得333x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或953x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，又区域ABCD 内的点满足2222100144x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩， 由()2233336100+=<，()22953156144+=>，即这艘不明船只没有进入海域ABCD . 【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题． 22．已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质，Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明；Ⅱ设在区间上最大值为，求的解析式；Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，（Ⅱ）∵①当时，，②当时，，，③当时，，，，当，即时，当，即时，综上所述（Ⅲ）时，方程为，且，其中.若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解. 若，即时，由于为增函数，故无解.所以时，方程有且只有两正解.时，方程为或，只需，可使有且只有两解. 综上所述时，恰有四解【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。

2018-2019学年江苏省南通市通州区高一下学期期中数学试题一、单选题120y --=的倾斜角为（ ）．A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】B【解析】直线2y =+，tan k θ==，倾斜角60θ=︒．故选B ．2．在ABC ∆中，已知边2AB =，60B ∠=︒，45C ∠=︒，则边AC 的长为（ ）A ．B ．2CD ．3 【答案】C【解析】根据正弦定理计算可得.【详解】解：因为2AB =，60B ∠=︒，45C ∠=︒由正弦定理sin sin c b C B =可得2sin 45sin 60b ︒︒=解得b =即AC =故选：C【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.3．下列四个条件中，能确定一个平面的是（ ）①空间中的三个点；②一条直线和一个点；③两条平行的直线；④两条垂直的直线. A ．①②③④B ．①③C ．③④D ．③ 【答案】D【解析】根据确定平面的基本性质2（即公理2)及推论推论逐一判断即可得解．【详解】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错．对于②：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故②错．对于③：根据确定平面的基本性质2（即公理2)的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故③对对于④：当这两条直线是异面直线时则根据异面直线的定义可得这对异面直线不同在任何一个平面内，故④错．故选：D【点睛】本题主要考察确定平面的基本性质2（即公理2)及其推论．解题的关键是要对确定平面的基本性质2（即公理2)及推论理解透彻，属于基础题．4．三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形【答案】C【解析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为α，所以25+366431cos==02566020α--=-<⋅⋅，所以三角形是钝角三角形.故选C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．一个正四棱锥的底面边长为2A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】先求侧面三角形的斜高，再求该正四棱锥的全面积.【详解】，所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和全面积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知直线()1:210l a x y -++=，直线()2:210l x a y +--=，若12l l //，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1或3C ．1D ．3【答案】D【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【详解】解：Q 直线()1:210l a x y -++=，直线()2:210l x a y +--=平行， ∴()2211a -=⨯且()1211a -⨯-≠⨯， 解得3a =．∴实数a 的值为3．故选：D ．【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．将两个半径均为rcm 的硬质球完全沉没于一个装有水的圆柱形水桶内时，水面上升了10cm .若水桶的底面半径为30cm ，则硬质球的半径r 为（ ）cm .A ．5B ．8C ．10D ．15 【答案】D【解析】根据球及圆柱的体积公式计算可得.【详解】 解：依题意可得324230103r ππ⨯=⨯⨯解得15r =故选：D【点睛】本题考查球的体积公式及圆柱的体积公式的应用，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】B【解析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出a 、b 、c 的关系，即可判断三角形的形状．【详解】解：在ABC ∆中，已知2a b c =+，2sin sin sin (A B C a =，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），由正弦定理可知：a bc =2，所以22a b c a bc =+⎧⎨=⎩，解得a b c ==，所以ABC ∆为等边三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若//αβ，l α⊂，则l β//； ②若m αβ=I ，//l m ，则l β//； ③若//l m ，l α⊂，m β⊥，则αβ⊥； ④若l α⊥，//m β，αβ⊥，则l m ⊥. 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】根据线面、线线及面面关系的判定定理及性质一一判断可得.【详解】解：①根据面线面平行的判定定理可知，直线l 平行平面β，所以①正确． ②根据线面平行的判定定理，还需l β⊄，方可得到//l β．所以②错误．③由//l m ，m β⊥，则l β⊥，又l α⊂，故αβ⊥，所以③正确．④若l α⊥，//m β，αβ⊥，则l 与m 可能平行、相交、异面，所以④错误． 故选：B ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及平面和平面之间平行与垂直的判定和性质，要求熟练掌握相应的定理，属于中档题．10．直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A ．(0，2)B ．(2，3)C ．(25，115)D ．(25，3) 【答案】C【解析】先求出点P 的轨迹和直线l 的方程，再求点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以2,22022x t x y y t =-⎧∴+-=⎨=-⎩所以点P 的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，所以直线l 的方程为2x+y=0.设点点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为00,)x y （， 所以00000012(2)125,112120522y x x x y y -⎧⎧⋅-=-=⎪⎪+⎪⎪∴⎨⎨-+⎪⎪=⋅+=⎪⎪⎩⎩. 故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题11．已知两条直线a ，b 和两个平面α，β.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则a ，b 的位置关系所有的可能是________.【答案】平行或异面【解析】根据面面平行的性质定理及异面直线的定义判断可得.【详解】解：//αβQ ，a α⊂，b β⊂，则a 与b 无交点所以a 与b 可能平行或异面故答案为：平行或异面【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12．点()1,2A -到直线1510x y +=的距离为________.【答案】【解析】首先将直线方程化为一般式，再利用点到直线的距离公式求解．【详解】 解：1510x y +=Q化为一般式为2100x y +-=所以点()1,2A -到直线2100x y +-=的距离：d ==故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式的求法，属于基础题，解题时要认真审题将截距式化为一般式．13．在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若222a b c +-=,则 C ＝ ______. 【答案】6π【解析】由余弦定理求出cos C =,即得解. 【详解】由余弦定理知222cos 22a b c C ab +-==，又因为0c π<<，所以=6C π. 故答案为6π 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.【详解】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：16 【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.15．在点O 的正上方有气球P ，从点O 的正西方A 点，测得气球P 的仰角为30°，同时从点O 南偏东60︒的B 点，测得气球P 的仰角为45︒.若A ，B 两点的距离为107m ，则气球P 离地面的距离为________m.【答案】10【解析】依题意画出直观图，设OP x =，则OB x =，3AO x =，在AOB ∆中由余弦定理计算可得.【详解】解：依题意可得如下图形，且30OAP ︒∠=，150AOB ︒∠=，45OBP ︒∠=，107AB =，90AOP POB ︒∠=∠=设OP x =，则OB x =，3AO x =在AOB ∆中由余弦定理可得2222cos AB AO BO AO BO AOB =+-⋅⋅∠ 即()()222107323cos150x x x x ︒=+-⋅⋅⋅解得10x =或10x =-（舍去）故答案为：10【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，属于中档题.16．已知点()3,2A ，()2,3B -，直线():32260l k x y k ---+=.若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是________.【答案】[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U 【解析】首先求出直线恒过定点()2,0P ，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为直线():32260l k x y k ---+=所以()()23260k x x y -+--+=令203260x x y -=⎧⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩故直线():32260l k x y k ---+=恒过点()2,0P 直线l 的斜率为32k -则20232AP k -==-，303224BP k -==--- 依题意直线l 与线段AB 有公共点，由图可知322k -≥或3324k -≤- 解得7k ≥或32k ≤，即[)3,7,2k ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦U 故答案为：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U 【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点()5,0A -，()3,2B -，()0,2C . （1）求直线BC 的方程；（2）若直线l 经过AB 的中点M ，且垂直于直线BC ，求直线l 的方程.【答案】（1）4360x y +-=；（2）3410x y --=【解析】（1）首先求出直线BC 的斜率，再由斜截式求出直线方程；（2）首先求出AB 的中点坐标，再根据两直线垂直求出l 的斜率，最后由点斜式求出直线方程；【详解】解：（1）因为()3,2B -，()0,2C 所以224303BC k --==--所以直线BC 的方程为：423y x =-+即4360x y +-= （2）因为()5,0A -，()3,2B -，5312-+=-，2012-+=- 则AB 的中点()1,1M --又因为l 垂直于直线BC所以1l BC k k ⋅=-，即34l k =所以l 的方程为：()3114y x +=+即3410x y --= 【点睛】本题考查直线的点斜式方程的应用，两直线垂直斜率的关系，属于基础题. 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D ，E 分别是1A B 和1A C 中点.（1）求证：//DE 平面111A B C ；（2）求证：DE ⊥平面11A ABB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由三角形中位线的性质可得//DE BC ，再由三棱柱的性质可得11//BC B C ，从而得到11//DE B C ，即可得证；（2）由三棱柱是直棱柱，可得1BB BC ⊥，再由AB BC ⊥，即可得到BC ⊥平面11A ABB ，最后由//DE BC 即可得证；【详解】解：（1）因为D 、E 分别是1A B 和1A C 中点.所以//DE BC又因为111ABC A B C -是直棱柱所以11//BC B C11//DE B C ∴又11B C ⊂平面111A B C ，DE ⊄平面111A B C所以//DE 平面111A B C ；（2）因为111ABC A B C -是直棱柱，1BB ∴⊥面ABCBC ⊂Q 面ABC1BB BC ∴⊥AB BC ⊥Q ，AB Ì平面11A ABB ，1BB ⊂平面11A ABB ，1BB AB B ⋂= BC ∴⊥平面11A ABB又//DE BCDE ∴⊥平面11A ABB【点睛】本题考查线面平行及垂直的证明，属于中档题.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的值；（2）若3sin 2sin B C =，a =b ，c.【答案】（1）3A π=；（2）2b =，3c =【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用两角和的正弦公式化简可得； （2）利用正弦定理将角化边，再用余弦定理得到方程组解得； 【详解】解：（1）因为1cos 2a C cb += 1sin cos sin sin 2A C C B ∴+=()1sin cos sin sin 2A C C A C π∴+=-+⎡⎤⎣⎦ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴+=+1sin cos sin 2C A C ∴= 因为()0,C π∈sin 0C ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈Q 3A π∴=（2）因为3sin 2sin B C = 所以32b c =①由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，7a =即227b c bc =+-② 解得2b =，3c = 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛（Alberobello ），这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo ，于1996年被收入世界文化遗产名录（如图1）.现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）.C ，D 是母线SA 的两个三等分点（点D 靠近点A ），E 是母线SB 的中点.（1）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度；（2）现对屋顶进行加固，在底面直径AB 上某一点P ，向点D 和点E 分别引直线型钢管PD 和PE .试确定点P 的位置，使得钢管总长度最小. 【答案】（1）13（2）6,05P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，PD PE +的最小值为3【解析】（1）将侧面沿母线SA 展开，A 点对于与1A ，连接1A C ，则1A C 为最小长度，在1A SC ∆中由余弦定理计算可得.（2）建立平面直角坐标系，求出D 关于x 轴的对称点1D ，利用两点间的距离公式求出距离最小值，利用点斜式求出直线方程，即可求出P 的坐标.【详解】解：（1）将侧面沿母线SA 展开，A 点对于与1A ，连接1A C ，则1A C 为最小长度； 因为18SA =，12AB =，则¼112AA AB ππ=⋅=，设1ASA α∠=¼118AA R αα∴==，1812απ∴=，23πα∴=在1A SC ∆中由余弦定理可得22211112cos A C A S SC A S SC A SC =+-⋅⋅∠ 即22211862186cos120A C ︒=+-⋅⋅⋅22211862186cos120A C ︒=+-⋅⋅⋅1613AC ∴= 即灯光带的最小长度为613（m ）（2）如图建立平面直角坐标系，因为18SA =，12AB =所以()6,0A -，()6,0B ，(0,122S ，因为D 是SA 的三等分点（靠近A ） 所以(4,42D -，又E 是SB 的中点，所以(2E 则(4,42D -关于x 轴对称的点为(14,42D -- 连接1D E 与x 轴交点P ，则PD PE +的最小值为1D E()()22134624293D E ∴=+++=1222347ED k ==+Q ∴直线1D E 的方程为)26237y x -=-令0y =则65x =-即6,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PD PE +的最小值为93【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，余弦定理以及直线方程，属于中档题.21．如图，在三棱锥P ABC -中，PBC ∆为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC PB ⊥，平面PBC ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF AB λ=.若//EF 平面PAC ，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】（1）推导出PO BC ⊥，从而PO ⊥平面ABC ，进而PO AC ⊥，再由AC PB ⊥，得到AC ⊥平面PBC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．（2）取CO 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG PC ，从而平面//EFG 平面PAC ，进而//FG AC ，由此能求出λ的值． 【详解】解：（1）证明：PBC ∆Q 为等边三角形，点O 为BC 的中点，PO BC ∴⊥，Q 平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，PO ⊂平面PBCPO ∴⊥平面ABC ， AC ⊂Q 平面ABC ，PO AC ∴⊥，AC PB ⊥Q ，PO PB P =I ，PB ⊂平面PBC ，PO ⊂平面PBCAC ∴⊥平面PBC ， AC ⊂Q 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）解：取CO 中点G ，连结EG ，FG ，E Q 为PO 的中点，//EG PC ∴，EG ⊄Q 平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， //EG ∴平面PAC ，F Q 是AB 上的点，AF AB λ=，//EF 平面PAC ，且EG EF E =I ∴平面//EFG 平面PAC ，因为平面PAC I 平面ABC AC =，平面EFG ⋂平面ABC FG = //FG AC ∴，14AF CG AB CB λ∴===． λ∴的值为14．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．如图，直角ABC ∆中，点M ，N 在斜边BC 上（M ，N 异于B ，C ，且N 在M ，C之间）.（1）若AM 是角A 的平分线，3AM =，且2CM MB =，求三角形ABC 的面积； （2）已知3AB =，AC 33=6MAN π∠=，设BAM θ∠=.①若21sin θ=MN 的长； ②求AMN ∆面积的最小值. 【答案】（1）818；（2）74MN =，()(min 27234AMN S∆= 【解析】（1）过点M 作ME AB ⊥交AB 于E ，作MF AC ⊥交AC 于F ，利用三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积； （2）依题意，表示出23AMB πθ∠=-，2ANC πθ∠=+，3NAC πθ∠=-，再由正弦定理表示出AN ，AM ，CN ，MB ，①由同角三角函数的基本关系求出tan θ，即可求出CN ，MB 从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值. 【详解】解：（1）如图，过点M 作ME AB ⊥交AB 于E ，作MF AC ⊥交AC 于F ， 则MEB CFM ∆∆∽2CF MF CMME BE MB∴=== 因为90CAB ︒∠=，AM 平分CAB ∠且3AM =322ME MF ∴==32CF ∴=32BE =323292AB AE BE ∴=+==32923222ACAF CF ∴=+=+=1192928122248ABC S AC AB ∆∴=⋅=⨯⨯=（2）在Rt ABC ∆中3AB =，AC 33=3ABC π∠=，6ACB π∠=，6BC =，又6MAN π∠=，设BAM θ∠=，23AMB πθ∴∠=-，2ANC πθ∠=+，3NAC πθ∠=-，在ANC ∆和AMB ∆中由正弦定理可得sin sin sin AN AC CNC ANC NAC==∠∠∠，sin sin sin AM AB BMB AMB MAB==∠∠∠ 即33332cos 2sin 2AN πθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，3322sin 3AM πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3333sin cos cos sin 3133333tan cos 2sin 2CN πππθθθθπθθ⎛⎫⎫-- ⎪⎪⎫⎝⎭⎝⎭===-⎪⎪⎛⎫⎭+ ⎪⎝⎭， 3sin 3sin 22231sin cos cos sin sin tan 333MB θθπππθθθθ===⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ①当21sin θ=227cos 1sin θθ=-=，sin 3tan cos θθθ==31393324CN ∴=-=⎭，3322313MB ==+⨯976244MN BC NC BM ∴=--=--=②11127sin 222442cos 2sin 16cos sin 33AMN S AN AM MAN AN AM ππθθθθ∆=⋅⋅∠=⋅=⨯⨯=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222cos sin cos sin cos cos sin 333t πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos 22θθθ=+cos 211sin 2224θθ+=+12sin 24θθ=+1sin 223πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭ 2716AMN S t∆∴=因为πθ0,3骣琪Î琪桫，(]sin 20,13πθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，1,424t ⎛∴∈+ ⎝⎦所以当12t =+时，()(min 2724AMN S ∆==⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.。

2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.963.（单选题，3分）已知sinα= 1，则cos2α的值为（）8A. −3132B. 3132C. 6364D. −63644.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √555.（单选题，3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB=sinC，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.57.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12的值为（）8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosαA.-3B.3C. 13D.- 139.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 16√33D. 32√3912.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π513.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折，则二面角C-BM-A的大小为___ ．成二面角，折后A与C的距离为√6216.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．时，求b、c的值；（1）当a=2，m=54（2）若角A为锐角，求m的取值范围．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD || 面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45的值；（1）若c=2a，求sinBsinC，求sinA的值．（2）若C-B= π422.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△AB C不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．2018-2019学年江苏省南通中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1001.（单选题，3分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.共点的三条直线确定一个平面【正确答案】：C【解析】：在A中，不同线的三点确定一个平面；在B中，四边形有可能是空间四边形；在C中，梯形有一组对边平行，一定是平面图形；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面．【解答】：解：在A中，不同线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定是平面图形，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，而平行线能确定一个平面，∴梯形一定是平面图形，故C正确；在D中，共点的三条直线确定一个或三个平面，故D错误．故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、平面的基本性质及定理等基础知识，属于基础题．2.（单选题，3分）已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（）A. 48√6B.64C.16D.96【正确答案】：B【解析】：由正方体的表面积为96，求出正方体的棱长为4，由此能求出正方体的体积．【解答】：解：设正方体的棱长为a，∵正方体的表面积为96，∴S=6a2=96，解得a=4，∴正方体的体积为V=43=64．故选：B．【点评】：本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．3.（单选题，3分）已知sinα= 18，则cos2α的值为（）A. −3132B. 3132C. 6364D. −6364【正确答案】：B【解析】：由sinα计算二倍角的余弦值即可．【解答】：解：由sinα= 18，则cos2α=1-2sin2α=1-2× (18) 2= 3132．故选：B．【点评】：本题考查了二倍角的余弦值的计算问题，是基础题．4.（单选题，3分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，则异面直线CD和D1E所成角的余弦值为（）A. 23B. √53C. 2√55D. √55【正确答案】：A【解析】：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值．【解答】：解：以D 为原点建立空间直角坐标系D-xyz ，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C （0，2，0），D （0，0，0），D 1（0，0，2），E （1，2，0），CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，0）， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2，-2），设异面直线CD 和D 1E 所成角为θ，则cosθ= |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ •D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√4•√9 = 23 ． ∴异面直线CD 和D 1E 所成角的余弦值为 23 ．故选：A ．【点评】：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.（单选题，3分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sinAcosB=sinC ，则△ABC 的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形【正确答案】：B【解析】：由已知等式可得sin（A-B）=0，结合角的范围可得A=B，则答案可求．【解答】：解：由2sinAcosB=sinC，得2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，则A-B=0，即A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．【点评】：本题考查三角形形状的判断，考查两角和与差的正弦，是基础题．6.（单选题，3分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的面积是（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，分析可得△O′A′B′的面积S′，由直观图的性质S′S = √24计算可得答案．【解答】：解：根据题意，设△OAB的面积为S，其直观图面积为S′，△O′A′B′中，O′A′=O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则其面积S′= 12×2×2×sin∠A′O′B′= 12×2×2× √22= √2，又由S′S = √24，则S= S′√24=4；故选：C．【点评】：本题考查平面图形的直观图，涉及由直观图还原原图，属于基础题．7.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，a=1，b=2，则sinA的值为（）A. √32B. 14C. √34D. 12【正确答案】：C【解析】：直接利用正弦定理求出结果．【解答】：解：已知：B=60°，a=1，b=2，利用正弦定理：asinA =bsinB，解得：sinA= √34，故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：正弦定理的应用及相关的运算问题．8.（单选题，3分）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为（）A.-3B.3C. 13D.- 13【正确答案】：A【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】：解：∵tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα = tanα+1tanα−3=-3，故选：A．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为（）A.若m || β，n⊥α，α⊥β，则m⊥nB.若m⊥α，n⊥β，则α || βC.若m || α，n || β，α || β，则m || nD.若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则n⊥α【正确答案】：D【解析】：在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由面面垂直的性质定理得n⊥α．【解答】：解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，得：在A中，若m || β，n⊥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m || α，n || β，α || β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，m⊥n，则由面面垂直的性质定理得n⊥α，故D正确．故选：D．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．10.（单选题，3分）设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a=2，B=2A，则b的取值范围为（）A. (2√2，2√3)B. (2√2，4)C. (2，2√3)D.（0，4）【正确答案】：A【解析】：根据锐角三角形的性质，先求出A的范围，结合正弦定理进行转化求解即可．【解答】：解：在锐角三角形中，0＜2A＜π2，即0＜A＜π4，且B+A=3A，则π2＜3A＜π，即π6＜A＜π3，综上π6＜A＜π4，则√22＜cosA＜√32，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理得asinA =bsinB=b2sinAcosA，得b=4cosA，∵ √22＜cosA＜√32，∴2 √2＜4cosA＜2 √3，即2 √2＜b＜2 √3，则b的取值范围是（2 √2，2 √3），故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合锐角三角形的性质以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．11.（单选题，3分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC中点，点P是正方形DCC1D1内的动点（含边界），且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是（）A. 649B. 4√3C. 163√3D. 329√3【正确答案】：D【解析】：由题意画出图形，可得PD=2PC，研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），可知当P到底面距离为4√33时三棱锥P-BCD的体积最大，则答案可求．【解答】：解：∵AD⊥底面D1DCC1，∴AD⊥DP，同理BC⊥平面D1DCC1，则BC⊥CP，∠APD=∠MPC，∴△PAD∽△PMC，∵AD=2MC，∴PD=2PC，下面研究点P在面ABCD内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设D（0，0），C（4，0），C1（4，4），设P（x，y），∵PD=2PC，∴ √x2+y2 = 2√(x−4)2+y2，化简得：3x2+3y2-32x+64=0（0≤x≤4）．该圆与CC1交点的纵坐标最大，交点坐标为（4，4√33），三棱锥P-BCD的底面BCD的面积为8，则三棱锥P-BCD的体积最大值是13×8×4√33=32√39．故选：D．【点评】：本题考查棱锥体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是中档题．12.（单选题，3分）点M是棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，2NB1=NC1，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（）A. 3√15π5B. 6√15π5C. 3√10π5D. 3√3π5【正确答案】：B【解析】：由题意画出图形，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，利用空间向量求解球心的平面的距离，然后求解圆的半径得答案．【解答】：解：如图：棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，在BB1上取点P，使2BP=PB1，连接CP、DP，BN，∵NC1=2NB1，∴CP⊥BN，又DC⊥平面BCC 1B 1，∴DC⊥BN ，则BN⊥平面DCP ，则M 点的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则D （0，0，0），C （0，6，0），P （6，6，2），O （3，3，3）， 设平面DOP 的法向量为 n ⃗ =（x ，y ，z ），由 {n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {6y =06x +2z =0 ，令x=1．y=0，z=-3，所以 n ⃗ =（1，0，-3）， O 到平面DOP 的距离为： |DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = |3+0−9|√1+9 = 6√10， 所以截面圆的半径为： √32−(6√10)2 = 3√155 ． 所以动点M 运动路线的长度为： 2×3√155×π = 6√155π ． 故选：B ．【点评】：本题考查考查空间想象能力和思维能力，训练了点到平面的距离的求法，正确找出M 点的轨迹是关键，属于难题．13.（填空题，3分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为___ ．【正确答案】：[1]3：1：2 【解析】：由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】：解：设球的半径为R ，则圆柱和圆锥的高均为2R ，则V 圆柱=2π•R 3，V圆锥= 2π•R3，3π•R3，V球= 43故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】：本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．14.（填空题，3分）线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始___ h后，两车的距离最小．【正确答案】：[1] 7043【解析】：设t小时后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，进而根据时间和速度表示出AD和BE，求得BD=200-80t，题就就抓化为求DE最小时t的值．利用余弦定理建立方程，根据二次函数的性质求得函数取最小值时t的值．【解答】：解：如图所示：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t．因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD•BEcos60°=（200-80t）2+2500t2-（200-80t）•50t=12900t2-42000t+40000．时DE最小．当t= 7043故答案为：7043【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用．应熟练掌握如正弦定理，余弦定理及其变形公式．15.（填空题，3分）在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，则二面角C-BM-A的大小为___ ．【正确答案】：[1]120°【解析】：推导出MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，从而∠CMA是二面角C-BM-A的大小，利用余弦定理能求出二面角C-BM-A的大小．【解答】：解：∵在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，∴AC= √12+12 = √2，∵M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为√62，∴MC=AM= √22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA是二面角C-BM-A的大小，∴cos∠CMA= AM2+CM2−AC22×AM×CM =12+12−322×√22×√22=- 12，∴∠CMA=120°，∴二面角C-BM-A的大小为120°．故答案为：120°．【点评】：本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．16.（填空题，3分）在锐角△ABC中，若sinA=4sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___ ．【正确答案】：[1]16【解析】：结合三角形关系和式子sinA=4sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，进而得到tanB+tanC=4tanBtanC，结合函数的单调性可求得最小值．【解答】：解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=4sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=4sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在① 式两侧同时除以cosBcosC，可得：tanB+tanC=4tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=- tanB+tanC1−tanBtanC，② ，则tanAtanBtanC=- tanB+tanC1−tanBtanC•tanBtanC，由tanB+tanC=4tanBtanC，可得tanAtanBtanC=- 4(tanBtanC)21−tanBtanC，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由② 式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=- 4t21−t =- 41t2−1t，1t2- 1t=（1t- 12）2- 14，由t＞1得，- 14≤ 1t2- 1t＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为16．故答案为：16．【点评】：本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，考查了转化思想，有一定灵活性，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2-4bc=0．（1）当a=2，m=54时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2-4bc=0．a=2，m=54时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】：解：（1）由题意得b+c=ma，a2-4bc=0．当a=2，m=54时，b+c=52，bc=1．解得 {b =2c =12或{b =12c =2． （2） cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c )2−2bc−a 22bc =m 2a 2−a 22−a 2a 22=2m 2−3∈(0，1) ． ∴ 32＜m 2＜2 ，又由b+c=ma 可得m ＞0，所以√62＜m ＜√2 ． 【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，PA=PC ，E 为PB 的中点．（1）求证：PD || 面AEC ；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB ．【正确答案】：【解析】：（1）设AC∩BD=O ，连接EO ，证明PD || EO ，利用直线与平面平行的判定定理证明PD || 面AEC ．（2）连接PO ，证明AC⊥PO ，AC⊥BD ，通过PO∩BD=O ，证明AC⊥面PBD ，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】：解：（1）证明：设AC∩BD=O ，连接EO ，因为O ，E 分别是BD ，PB 的中点，所以PD || EO…（4分）而PD⊄面AEC ，EO⊂面AEC ，所以PD || 面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面P BD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．19.（问答题，8分）如图，某市市区有一条过市中心O的南北走向道路，市政府决定修建两条道路：一条路是从市中心O出发沿北偏西60°向至点B处，另一条是从市中心O的正南方向的道路上选取点A，在A、B之间修建一条道路．，求在点B处看市中心O和点A （1）如果在点A处看市中心O和点B视角α的正弦值为35处视角β的余弦值；km2，点A到市中心O的距离为（2）如果△AOB区域作为保护区，保护区的面积为15√343km，求此时A、B间的距离．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，利用两角差的余弦公式求出cosβ的值；（2）由△AOB的面积值求出OB，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】：解：（1）由题可得∠AOB=120°，∠BAO为锐角，且sin∠BAO=sinα= 35，所以cosα= 45，所以cosβ=cosB=cos（60°-α）=cos60°cosα+sin60°sinα= 12 × 45+ √32× 35= 4+3√310；（2）由OA=3，计算△AOB的面积为：S= 12OA×OB×sin∠AOB= 12×3OB×sin120°= 3√34OB= 15√34，解得OB=5；由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB=9+25-2×3×5×（- 12）=49，所以AB=7，即A、B间的距离为7km．【点评】：本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．20.（问答题，8分）如图1所示，在直角△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，点E在线段AC上，且CE=4．将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点，如图2所示．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥G-BDE的体积．【正确答案】：【解析】：（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG 的高，求出三角形DEG的面积，再由等体积法即可求得三棱锥G-BDE的体积．【解答】：（1）证明：取AC的中点P，连接DP，∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴∠A=30°，△ADC是等腰三角形，得DP⊥AC，DP= √3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4，∴AE=2，EP=1，得∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，即ED⊥DC；∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴DE⊥平面BCD；（2）解：EF || 平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，∴BD= √3，DC= √32+(√3)2=2√3，∴B到DC的距离h= BD×BCDC = √3×32√3=32，∵平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，∴B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．∵ S△DEG=12×2×√3=√3，∴ V G−BDE=V B−DEG=13S△DEG×ℎ = 13×√3×32=√32．即三棱锥G-BDE的体积为√32．【点评】：本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.（问答题，10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB= 45．（1）若c=2a，求sinBsinC的值；（2）若C-B= π4，求sinA的值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知及余弦定理可得a 2+c2−b22ac= 45，结合c=2a，可求bc= 3√510，进而利用正弦定理即可得解．（2）利用二倍角的余弦公式可求cos2B的值，进而可求sinB，sin2B的值，由于A= 3π4-2B，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】：（本小题满分14分）解：（1）在△ABC中，因为cosB= 45，所以a 2+c2−b22ac= 45．因为c=2a，所以(c2)2+c2−b22c×c2= 45，即b2c2= 920，所以bc = 3√510，由正弦定理得sinBsinC =bc，所以：sinBsinC =3√510．（2）因为cosB= 45，所以cos2B=2cos2B-1= 725．又0＜B＜π，所以sinB= √1−cos2B = 35，所以sin2B=2sinBcosB=2× 35×45= 2425．因为C-B= π4，即C=B+ π4，所以A=π-（B+C）= 3π4-2B，所以sinA=sin（3π4 -2B）=sin 3π4cos2B-cos 3π4sin2B= √22×725-（- √22）× 2425= 31√250．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角的余弦公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．22.（问答题，10分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R 表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理知ABsinC = bsinB= asinA=2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°，由ABsinC = bsinB= asinA=2R=4⇒b=2 √2，sinA= 12∵A为锐角∴A=30°，又B=45°∴C=105°，∴AB=2Rsin105°=4sin75°= √6+√2；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1，cosC= a2+b2−c22ab＜0，∴a2+b2＜c2＜（2R）2，即a 2+b 2＜4R 2．（3）a ＞2R 或a=b=2R 时，△ABC 不存在， 当 {a =2R b ＜a 时，A=90°，△ABC 存在且只有一个，∴c= √a 2−b 2 ，当 {a ＜2R b =a时，∠A=∠B 且都是锐角即sinA=sinB= a2R 时，△ABC 存在且只有一个，∴c=2RsinC=2Rsin2A=2R×2sinAcosA= a R√4R 2−a 2 ， 当 {a ＜2Rb ＜a时，∠B 总是锐角，∠A 可以是钝角，可是锐角，∴△ABC 存在两个， ∠A ＜90°时，c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ， ∠A ＞90°时， c= √a 2+b 2+ab2R 2(√4R 2−a 2√4R 2−b 2−ab) ，【点评】：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a ，b 两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．。