高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业十四抛物线的简单几何性质新人教B版选修2_1

2.4.2抛物线的简单几何性质一、选择题1.设抛物线y 2=12x 的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为5,则|PF |等于( ) A.4B.6C.8D.102.抛物线顶点在原点,焦点在y 轴上,其上一点P (m ,1)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( ) A.x 2=8y B.x 2=-8y C.x 2=16yD.x 2=-16y3.抛物线y 2=8x 的焦点到直线x -√3y =0的距离是( ) A.2√3B.2C.√3D.14.设F 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,A ,B ,C为该抛物线上三点,当FA →+FB →+FC →=0,且|FA →|+|FB →|+|FC →|=3时,此抛物线的方程为( ) A.y 2=2x B.y 2=4x C.y 2=6xD.y 2=8x5.点A 是抛物线C 1:y 2=2px (p >0)与双曲线C2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于( ) A.√B.√3C.√D.√6二、填空题6.经过抛物线y =14x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若y 1+y 2=5,则线段AB 的长等于 .7.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p = . 8.AB 是过C :y 2=4x 焦点的弦,且|AB |=10,则AB 中点的横坐标是 . 三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM |=√17,|AF |=3,求此抛物线的标准方程.10.直角△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=√3x,△AOB的面积为6√3,求该抛物线的方程.11.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△P AB的面积最大,并求出这个最大面积.——★参考答案★——1.C[解析]y 2=12x 中,p =6,由焦半径公式得|PF |=x P +p2=5+62=8.2.C[解析]由条件可知,抛物线开口向上,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),由1+p2=5.∴p =8,故抛物线方程为x 2=16y . 3.D[解析]根据点到直线的距离公式,可得抛物线y 2=8x 的焦点(2,0)到直线x -√3y =0的距离d =|2−0|2=1.4.A[解析]设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3), ∵FA →+FB →+FC →=0, ∴(x 1-p2)+(x 2-p2)+(x 3-p2)=0,即x 1+x 2+x 3=32p .又|FA →|+|FB →|+|FC →|=3, ∴(x 1+p2)+(x 2+p2)+(x 3+p2)=3,即3p =3,∴p =1,故抛物线方徎为y 2=2x . 5.C[解析]求抛物线C 1:y 2=2px (p >0)与双曲线C 2:x 2a -y 2b =1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点:{y 2=2px,y =b ax,解得{x =2pa 2b2,y =2pa b,所以2pa 2b 2=p 2,c 2=5a 2,e =√5,选C . 6.7[解析]抛物线y =14x 2,即x 2=4y 的准线方程为y =-1,∴|AB |=|AF |+|BF |=y 1+y 2+2=5+2=7. 7.4[解析]y 2=2px (p >0)的焦点为(p 2,0).由题意得√(p2+2)2+9=5,解得p =4或p =-12(舍去).8.4[解析]设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB 的中点的横坐标x 0=x 1+x 22.又抛物线的准线方程为x =-1,且|AB |=10, ∴x 1+x 2+p =x 1+x 2+2=10. ∴x 1+x 2=8,∴x 1+x 22=4.9.解设所求抛物线的标准方程为 x 2=2py (p >0),设A (x 0,y 0),M (0,-p2).∵|AF |=3,∴y 0+p2=3,∵|AM |=√17,∴x 02+(y 0+p2)2=17,∴x 02=8,代入方程x 02=2py 0得,8=2p (3-p2),解得p =2或p =4.∴所求抛物线的标准方程为x 2=4y 或x 2=8y .10.解因为OA ⊥OB ,且OA 所在直线的方程为y =√3x ,所以OB 所在直线的方程为y =-√33x . 由{y 2=2px,y =√3x,得A 点坐标(2p 3,2√3p 3),由{y 2=2px,y =−√33x,得B 点坐标(6p ,-2√3p ).|OA |=43|p |,|OB |=4√3|p |,S △OAB =8√33p 2=6√3,所以p =±32. 即该抛物线的方程为y 2=3x 或y 2=-3x .11.解由{y =2x −4,y 2=4x,解得{x =4,y =4,或{x =1,y =−2.∴A (4,4),B (1,-2),∴|AB |=3√5,设P (x 0,y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点,d 为点P 到直线AB 的距离,则有d =00√5=√5|022-y 0-4|=2√5|(y 0-1)2-9|.∵-2<y 0<4,∴(y 0-1)2-9<0. ∴d =2√5[9-(y 0-1)2].从而当y 0=1时,d max =2√5,S max =12×2√5×3√5=274.因此,当P 为(14,1)时,△P AB 的面积取得最大值,最大值为274.。

一、选择题1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y【解析】 由题意p2＝5，∴p ＝10，且焦点在y 轴的正半轴上，顶点为原点，故抛物线的方程x 2＝20y .【答案】 B2．(2013·佛山高二检测)P 为抛物线y 2＝2px 的焦点弦AB 的中点，A ，B ，P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|，|BB 1|，|PP 1|，则有( )A ．|PP 1|＝|AA 1|＋|BB 1| B ．|PP 1|＝12|AB |C ．|PP 1|＞12|AB | D ．|PP 1|＜12|AB |【解析】 如图所示，根据题意，PP ′恰巧是梯形AA ′B ′B 的中位线，故|PP 1|＝12|AB |.【答案】 B3．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于( ) A.18B.14C.12D ．1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切， ∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根． ∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14. 【答案】 B4．(2013·莆田高二检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p 2，0)，∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36. 【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为：x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴此点坐标为(18，±24)．【答案】 (18，±24)7．(2013·天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2， ∴双曲线的半焦距c ＝2.又双曲线的离心率为2， ∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.【答案】 x 2－y 23＝18．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94. 【答案】 94 三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M (0，－p2)． ∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17， ∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，8＝2p (3－p2)，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意可得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝y 2－8. 化简得x 2＝2y .(2)证明 将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 中，得x 2＝2(x ＋2)，整理得x 2－2x －4＝0，可知Δ＝4＋16＝20＞0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.因为y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，所以y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.因为OC →·OD →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以OC ⊥OD .11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F (32，0)，所以直线l 的方程为y ＝3(x －32)．联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3(x －32)，消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ， 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.。

2.4.2 抛物线的几何性质1．掌握抛物线的几何性质．2．能根据这些几何性质解决一些简单问题．1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质(1)范围．因为p＞0，所以______，抛物线在y轴的______，当x值增大时，|y|也______，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性．关于______对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的____．(3)顶点．抛物线和______的交点叫做抛物线的顶点，这条抛物线的顶点为________．(4)离心率．抛物线上的点到______与到____的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝______.【做一做1－1】已知抛物线的方程为y2＝16x，则抛物线的准线方程为( )A．x＝－2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝－4【做一做1－2】抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )A．2 B．3C．4 D．5________________________________________________________________________________离心率四种位置的抛物线标准方程的对比剖析：(1)共同点：①原点在抛物线上； ②焦点在坐标轴上；③焦点的非零坐标都是一次项系数的14.(2)不同点：①焦点在x 轴上时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；焦点在y 轴上时，方程的右端为±2py ，左端为x 2；②开口方向与x 轴(或y 轴)的正半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x 轴(或y 轴)的负半轴相同，焦点在x 轴(或y 轴)负半轴上，方程右端取负号．题型一 抛物线中的最值问题【例1】若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为__________．反思：求抛物线中的最值时，应从分析图形的性质入手，将三角形的性质与抛物线的定义、性质相结合，从而使问题简单化．题型二 求抛物线的标准方程【例2】分别求适合下列条件的抛物线方程．(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.分析：根据条件，结合抛物线的定义，求出焦参数p ，从而求得方程．反思：(1)抛物线的标准方程有四种形式，主要看其焦点位置或开口方向．(2)抛物线的标准方程只有一个参数p ，即焦点到准线的距离，常称为焦参数．题型三 抛物线几何性质的应用【例3】已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程．(1)x 2＝4y ；(2)2y 2＋5x ＝0.分析：先根据抛物线的标准方程形式，求出p ，再根据开口方向，写出焦点坐标和准线方程．反思：由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程，首先判断开口方向，求出参数p ，然后再求解．1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．y 2＝28xC ．y 2＝－28xD ．x 2＝28y2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－14 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 3．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 4．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为__________． 5．已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程分别为__________、__________、__________.答案：基础知识·梳理1．(1)x ≥0 右侧 增大 (2)x 轴 轴 (3)它的轴 坐标原点 (4)焦点 准线 1【做一做1－1】D ∵2p ＝16，∴－p2＝－4.∴抛物线的准线方程为x ＝－4.故选D.【做一做1－2】D ∵抛物线准线为y ＝－1，且点A 的纵坐标为4， ∴点A 到准线的距离为5.又∵点A 到准线的距离与到焦点的距离相等， ∴点A 到焦点的距离为5.2．x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x 轴 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝－p 2 x ＝p 2 2py (p ＞0) －2py (p ＞0) y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R y 轴 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 －p 2 p2 典型例题·领悟【例1】(2,2)由抛物线定义，|PF |等于点P 到抛物线准线的距离|PP ′|，如图所示．因此，当且仅当点P ，A ，P ′在同一条直线上时，有|PF |＋|PA |＝|PP ′|＋|PA |最小， 此时点P 的纵坐标等于点A 的纵坐标，即y ＝2，故此时点P 的坐标为(2,2)．【例2】解：(1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ，将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ×2或22＝n ×3，解得m ＝92或n ＝43.故所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.故所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .【例3】解：(1)由抛物线标准方程，知抛物线焦点在y 轴正半轴上，开口向上，且2p ＝4.∴p ＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.(2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x .∴2p ＝52，p ＝54，开口向左．∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，0，准线方程为x ＝58.随堂练习·巩固1．B ∵p2＝7，∴p ＝14.∵焦点在x 轴上，∴抛物线的标准方程为y 2＝28x .2．B y ＝－x 2化为标准方程为x 2＝－y ，∴p ＝12.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－14.故选B. 3．B y 2＝x 的准线为x ＝－14，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，设P (x 1，y 1)，由抛物线定义知x 1＋14＝2，∴x 1＝2－14＝74.由y 21＝74，得y 1＝±72，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72.4．y 2＝8x 或y 2＝－16x 当m ＞0时，准线方程为x ＝－m4＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m ＜0时，准线方程为x ＝－m4＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .5．y 2＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 x ＝－32 由已知，得p ＝3，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝6x .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.。