[精品]2019年高考数学二轮复习专题突破练186.3.1统计与统计案例理

第2讲　统计与统计案例年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ扇形统计图的应用·T 3卷Ⅱ回归分析及其应用·T 182018卷Ⅲ统计案例·T 18卷Ⅱ频率分布直方图、独立性检验·T 182017卷Ⅲ折线图的识别及应用·T 3统计图表的应用·T 42016卷Ⅲ折线图、相关性检验、线性回归方程及其应用·T 181.统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置.2.统计解答题多在第18题的位置，且多以频率分布直方图或茎叶图与线性回归分析或独立性检验相交汇的形式考查，难度中等. 抽样方法(基础型)]系统抽样总体容量为N ，样本容量为n ，则要将总体均分成n 组，每组个(有零头时要先去掉)Nn ．若第一组抽到编号为k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ＋，…，k ＋(n －1).N n N n 分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．[考法全练]1．福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( )81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 6139 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 1920 49A.12 B ．33C ．06D ．16解析：选C.被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( )A ．73B ．78C ．77D ．76解析：选B.样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为801613＋(16－3)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4 8007 2006 4001 600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )A ．25，25，25，25B ．48，72，64，16C ．20，40，30，10D ．24，36，32，8解析：选D.法一：因为抽样比为＝，10020 0001200所以每类人中应抽选出的人数分别为4 800×＝24，7 200×＝36，6 400×＝32，1 600×＝8.故选D.1200120012001200法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽选出的人数分别为×100＝24，×100＝36，66＋9＋8＋296＋9＋8＋2×100＝32，×100＝8，故选D.86＋9＋8＋226＋9＋8＋2 “双图”“五数”估计总体(基础型)统计中的5个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x 1＋x 2＋…＋x n )．x－ 1n (4)方差与标准差：s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －x )2]；1n x － x － x－s ＝.从频率分布直方图中得出有关数据的技巧(1)频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示，频率＝组距×.频率组距频率组距(2)频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．(3)众数：最高小长方形底边中点的横坐标．(4)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(5)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．(6)性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和×组距＝1，列方程即可求得参数值．[考法全练]1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120140160180200户数23582则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( )A ．180，170 B ．160，180C ．160，170D ．180，160解析：选A.用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.2．(2018·贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．15B ．18C ．20D ．25解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，400.4所以成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.3．(2018·武汉调研)某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为( )A. B.1169367C ．6D ．30解析：选C.由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分．依题意得，×(87＋93＋90＋9×10＋x ＋91)＝91，解得x ＝4.则剩余5个得分的方差15s 2＝×[(87－91)2＋(93－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝×(16＋4＋1＋9)1515＝6.故选C.4．“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．解：(1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0.75＝30.(2)这40名读书者年龄的平均数为25×0.05＋35×0.10＋45×0.20＋55×0.30＋65×0.25＋75×0.10＝54.设中位数为x，则0.005×10＋0.010×10＋0.020×10＋0.030×(x－50)＝0.5，解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55. 回归分析(综合型)[典型例题]命题角度一　线性回归分析(2018·广州模拟)某地1～10岁男童年龄x i(单位：岁)与身高的中位数y i(单位：cm)(i＝1，2，…，10)如下表：x/岁12345678910y/cm76.588.596.8104.1111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x － y －(x i －)2∑10 i ＝1x － (y i －)∑10 i ＝1y － 2(x i －)∑10 i ＝1x － (y i －)y －5.5112.4582.50 3 947.71566.85(1)求y 关于x 的线性回归方程(线性回归方程系数精确到0.01)；(2)某同学认为y ＝px 2＋qx ＋r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm .与y^ (1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程＝＋x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：y ^ a ^ b^ ＝，＝－.b ^ a ^ y － b ^ x －【解】　(1)＝＝≈6.871≈6.87，b^ 566.8582.50＝－＝112.45－6.871×5.5≈74.66，a ^ y － b ^ x － 所以y 关于x 的线性回归方程为＝6.87x ＋74.66.y^(2)若回归方程为＝6.87x ＋74.66，当x ＝11时，＝150.23.y ^ y^ 若回归方程为＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07，当x ＝11时，y ＝143.64.y^ |143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，所以回归方程＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合效果y^ 更好．求回归直线方程的关键及实际应用(1)关键：正确理解计算，的公式和准确地计算．b ^ a^ (2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．　命题角度二　非线性回归分析(2018·潍坊模拟)某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．x － y －u －(x i －∑8 i ＝1)2x －∑8 i ＝1(x i －)·x －(y i －)y － (u i －∑8 i ＝1)2u － ∑8 i ＝1(u i －)·u －(y i －)y － 15.25 3.630.269 2 085.5－230.30.7877.049表中u i ＝，＝u i .1xi u － 18∑8 i ＝1(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费dx y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)附：对于一组数据(w 1，v 1)，(w 2，v 2)，…，(w n ，v n )，其回归直线＝＋w 的斜率v ^ α^ β^ 和截距的最小二乘估计分别为＝，＝v －.β^ α^β^ w －【解】　(1)由散点图判断，y ＝c ＋更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与dx 印刷数量x (单位：千册)的回归方程．(2)令u ＝，先建立y 关于u 的线性回归方程，1x 由于＝＝≈8.957≈8.96，d ^ 7.0490.787所以＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，c ^ y － d ^ u－ 所以y 关于u 的线性回归方程为＝1.22＋8.96u ，y^ 所以y 关于x 的回归方程为＝1.22＋.y^8.96x(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －x ≥78.840，(1.22＋8.96x)所以x ≥10，所以至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．　(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．命题角度三　回归分析与正态分布的综合问题(2018·兰州模拟)某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y (单位：kg )与该地当日最高气温x (单位：℃)的相关数据，如下表：x 119852y7881012(1)试求y 与x 的回归方程＝x ＋；y ^ b ^ a^ (2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6 ℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；(3)假定该地12月份的日最高气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似取样本平均数，x－ σ2近似取样本方差s 2，试求P (3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据，≈3.2，≈1.8，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6827，且10 3.2P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5.【解】　(1)由题意，＝7，＝9，x i y i －n ＝287－5×7×9＝－28，x － y － ∑n i ＝1x － y － x －n 2＝295－5×72＝50，＝－＝－0.56，＝－＝9－(－0.56)∑n i ＝12i x － b ^ 2850a ^ y － b ^ x － ×7＝12.92.所以所求回归直线方程为＝－0.56x ＋12.92.y^(2)由＝－0.56<0知，y 与x 负相关．将x ＝6代入回归方程可得，b^ ＝－0.56×6＋12.92＝9.56，y ^ 即可预测当日该商品的销售量为9.56 kg .(3)由(1)知μ≈＝7，σ≈≈3.2，所以P (3.8<X <13.4)＝P (μ－σ<X <μ＋2σ)x－s 2＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＋P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.818 6.1212解决与正态分布有关的问题，在理解μ，σ2的意义情况下，记清正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．　[对点训练](2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为y^ 1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t .y^ (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．y ^ 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．y ^(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(以下2种理由，任选其一)(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模y^型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 统计案例(综合型)[典型例题](2018·福州模拟)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842(1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名女生/名总计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）【解】　(1)2×2列联表如下：实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名121830女生/名14620总计262450所以K 2＝＝≈4.327>3.841.50（6×12－14×18）230×20×26×2422552所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．(2)ξ的取值为0，1，2，3，4.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝＝，P (ξ＝2)＝＝，P (ξ＝3)＝＝11482137，P (ξ＝4)＝＝.4351210所以ξ的分布列为ξ01234P114821374351210所以E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝1.6.11482137435121085独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大．　[对点训练](2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K 2＝，n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(以下4种理由，任选其一)(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m ＝＝80.79＋812列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于K 2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种40×（15×15－5×5）220×20×20×20生产方式的效率有差异．一、选择题1．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54A ．07 B ．25C ．42D ．52解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是( )A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A.3．(2018·昆明模拟)AQI(Air Quality Index ，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI 共分六级，从一级优(0～50)；二级良(51～100)；三级轻度污染(101～150)；四级中度污染(151～200)；直至五级重度污染(201～300)；六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI 茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为( )A ．3B ．4C ．12D ．21解析：选C.从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为＝，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×＝12，故选C.41025254．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )A ．5B ．7C ．10D ．50解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.0625＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.5．(2018·桂林、白色、梧州、崇左、北海五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长；③去年同期的GDP 总量前三位是D 省、B 省、A 省；④2016年同期A 省的GDP 总量也是第三位．A ．①②B ．②③④C ．②④D ．①③④解析：选B.①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个，B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D 省、B 省、A 省，故③正确；由③知2016年同期A 省的GDP 总量是第三位，故④正确．故选B.6．(一题多解)(2018·石家庄质量检测(二))某学校A 、B 两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A 班数学兴趣小组的平均成绩高于B 班的平均成绩；②B 班数学兴趣小组的平均成绩高于A 班的平均成绩；③A 班数学兴趣小组成绩的标准差大于B 班成绩的标准差；④B 班数学兴趣小组成绩的标准差大于A 班成绩的标准差．其中正确结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：选B.法一：由于A ＝x－ (53＋62＋64＋76＋74＋78＋78＋76＋81＋85＋86＋88＋82＋92＋95)115＝78，B ＝(45＋48＋51＋53＋56＋62＋64＋65＋73＋73＋74＋70＋83＋82＋91)＝66，x－ 115所以A >B ，所以①正确．x － x－ s ＝[(53－78)2＋(62－78)2＋(64－78)2＋(76－78)2＋(74－78)2＋(78－78)2A 1152＋(78－78)2＋(76－78)2＋(81－78)2＋(85－78)2＋(86－78)2＋(88－78)2＋(82－78)2＋(92－78)2＋(95－78)2]＝121.6，s ＝[(45－66)2＋(48－66)2＋(51－66)2＋(53－66)2＋(56－66)2＋(62－66)2B 1152＋(64－66)2＋(65－66)2＋(73－66)2＋(73－66)2＋(74－66)2＋(70－66)2＋(83－66)2＋(82－66)2＋(91－66)2]＝175.2.故s >s ，B 班的方差大，则B 班的标准差也大，④正确，故选B.2B 2A 法二：由茎叶图可知，A 班数学兴趣小组的平均成绩明显高于B 班；A 班的数学成绩较稳定，大多在70～90分，B 班的数学成绩较分散，显然B 班的方差、标准差较大，故选B.二、填空题7．给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；③若一组数据a ，0，1，2，3的平均数为1，则其标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为＝＋x ，其y ^ a ^ b^中＝2，＝1，＝3，则＝1.a ^ x － y －b ^ 其中真命题有________(填序号)．解析：在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，16因为样本的平均数为1，所以a ＋0＋1＋2＋3＝5，解得a ＝－1，故样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为，故③是假命题；152在④中，回归直线方程为＝x ＋2，又回归直线过点(，)，把(1，3)代入回归直线方y ^ b ^ x － y－ 程＝＋2，得＝1，故④是真命题．y ^ b ^ x － b^答案：②④8．(2018·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：购买食品的年支出费用x /万元 2.092.152.502.842.92购买水果和牛奶的年支出费用y /万元1.251.301.501.701.75根据上表可得回归直线方程＝x ＋，其中＝0.59，＝－，据此估计，该社区y ^ b ^ a ^ b ^ a ^ y － b ^ x－ 一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为________万元．解析：＝＝2.50(万元)，x － 2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.925＝＝1.50(万元)，y － 1.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.755其中＝0.59，＝－＝0.025，＝0.59x ＋0.025，故年支出费用为3.00万元的b ^ a ^ y － b ^ x － y^家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为＝0.59×3.00＋0.025＝1.795万元．y^ 答案：1.7959．某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公式可得s 2＝[(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)2]＝30.8.15答案：30.8三、解答题10．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示：(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)用样本频率代替概率．现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中有k 名学生“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P (X ＝k )，其中k ＝0，1，2，…，20.当P (X ＝k )最大时，求k 的值．解：(1)由频率分布直方图可知，周末“阅读时间”在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，所以1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ，解得a ＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m <2.5.由0.5×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时．(3)设在取出的20名学生中，周末“阅读时间”在[1，2.5)内的有X 人，则X 服从二项分布，即X ～B (20，0.6)，所以恰好有k 名学生周末“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P (X ＝k )＝C (0.6)k (0.4)20－k ，k 20其中k ＝0，1，2， (20)设t ＝＝＝，k ＝1，2， (20)P （X ＝k ）P （X ＝k －1）3（21－k ）2k 若t >1，则k <12.6，P (X ＝k －1)<P (X ＝k )；若t <1，则k >12.6，P (X ＝k －1)>P (X ＝k )．又＝＝<1，P （X ＝13）P （X ＝12）3×（21－13）2×131213所以当k ＝12时，P (X ＝k )最大．所以k 的值为12.11．(2018·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(单位：万元)和产品销量(单位：万件)的具体数据．月份12345678促销费用x 2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程＝x ＋(系y ^ b ^ a^ 数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z (单位：件)表示日销量，z ∈[1 800，2 000)，则每位员工每日奖励100元；z ∈[2 000，2 100)，则每位员工每日奖励150元；z ∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布N (0.2，0.000 1)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)．参考数据：x i y i ＝338.5，x ＝1 308，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产品销∑8 i ＝1∑8 i ＝12i 量，i ＝1，2，3，…，8.若随机变量z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<z <μ＋2σ)＝0.954 5.解：(1)由题可知＝11，＝3，x － y－将数据代入＝得＝＝≈0.219≈0.22.b^ b^ 338.5－8×11×31 308－8×12174.5340＝－＝3－0.219×11≈0.59，a ^ y － b ^ x － 所以y 关于x 的回归方程为＝0.22x ＋0.59.y^(2)由6月份日销量z 服从正态分布N (0.2，0.000 1)，得日销量在[1 800，2 000)的概率为＝0.477 25，0.954 52日销量在[2 000，2 100)的概率为＝0.341 35，0.682 72日销量在[2 100，＋∞)的概率为＝0.158 65，1－0.682 72所以每位员工当月的奖励金额大约为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．12．(2018·南京模拟)某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班总计大于等于80分的人数小于80分的人数总计(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选3名学生发言，记来自[80，90)发言的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参数数据和公式：P(K2≥k0)0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.024K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)补全表格如下：甲班乙班总计大于等于80分的人数122032小于80分的人数282048总计404080。

(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
解:(1)由已知条件知, t =4, ti t
i 1
7
7


2
=28,

7 i 1
yi y

2
=0.55,
t t y y = t y
7 7 i 1 i i i 1 i
i
-t
y
之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况, 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对
当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 10.04 9.98 10.05 10.04 9.95
计μ 和σ (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ ,σ 2),则 P(μ -3σ <Z<μ +3σ )=0.997 4,0.997 416≈ 0.959 2, 0.008 ≈0.09.
ˆ =9.97,σ的估计值为 解:②由 x =9.97,s≈0.212,得μ的估计值为 ˆ =0.212,由样本 ˆ -3 ˆ +3 数据可以看出有一个零件的尺寸在( ˆ , ˆ )之外,因此需对当天的生产过程
2+4+5+6+8 3+4+4+4+5 =5, y = =4. 5 5
因为 xi x yi y =(-3)×(-1)+0+0+0+3×1=6,

重点增分专题十三 统计、统计案例[全国卷3年考情分析](1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．(2)统计与统计案例在解答题中多出现在18或19题，多考查直方图、茎叶图及数字特征计算、统计案例的应用．考点一抽样方法 保分考点·练后讲评 1.[简单随机抽样]福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( )A ．12B ．33C ．06D ．16解析：选C 被选中的红色球号码依次为17,12,33,06,32,22.所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.2.[分层抽样]某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A ．25,25,25,25B ．48,72,64,16C ．20,40,30,10D ．24,36,32,8解析：选D 因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽选的人数分别为4 800×1200＝24，7 200×1200＝36,6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.故选D. 3.[系统抽样]某班共有学生56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．解析：由题意得，将56人按学号从小到大分成4组，则分段间隔为14，所以抽取的学号依次为2,16,30,44，故还有一位同学的学号为16.答案：16[解题方略] 系统抽样和分层抽样中的计算 (1)系统抽样①总体容量为N ，样本容量为n ，则要将总体均分成n 组，每组Nn 个(有零头时要先去掉)．②若第一组抽到编号为k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ＋Nn ，…，k ＋(n －1)Nn .(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．考点二 用样本估计总体 保分考点·练后讲评 [大稳定——常规角度考双基]1.[频数分布表中的数字特征]某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180,170B ．160,180C ．160,170D ．180,160解析：选A 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.2.[茎叶图中的数字特征]甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________.解析：根据众数及中位数的概念易得x ＝5，y ＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．答案：甲3.[频率分布直方图中的数字特征]为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量的数据(单位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)由5×(0.020＋0.040＋0.075＋a ＋0.015)＝1，得a ＝0.050. (2)各组中点值和相应的频率依次为x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.[解题方略]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．2．从频率分布直方图中得出有关数据的方法[小创新——变换角度考迁移]1.[统计中的创新]空气质量指数A Q I是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天的空气质量指数A Q I，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图．则下列说法错误的是()A．该地区在12月2日空气质量最好B．该地区在12月24日空气质量最差C．该地区从12月7日到12月12日A Q I持续增大D．该地区的空气质量指数A Q I与这段日期成负相关解析：选D12月2日空气质量指数最低，所以空气质量最好，A正确；12月24日空气质量指数最高，所以空气质量最差，B正确；12月7日到12月12日A Q I在持续增大，所以C 正确；在该地区统计这段时间内，空气质量指数A Q I 整体呈上升趋势，所以空气质量指数与这段日期成正相关，D 错误．2.[与基本不等式的交汇]为保障食品安全，某市质量监督局对某超市进行食品安全检查，如图所示是某品牌食品中某元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则4a ＋1b 的最小值为( )A ．9 B.92C ．3D.73解析：选C 根据茎叶图中的数据得，该组数据的平均数x ＝14(a ＋11＋13＋20＋b )＝11.75，∴a ＋b ＝3，∴4a ＋1b ＝13⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )＝13⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥135＋24b a ·a b ＝13(5＋4)＝3.当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时取“＝”．∴4a ＋1b的最小值为3.故选C.3.[借助数学文化考查]《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问：各几何？”其意为：今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱，则丙应出________钱(所得结果四舍五入，保留整数)．解析：甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，丙应出100×180560＋350＋180＝1656109≈17(钱)．答案：17考点三 统计案例 增分考点·广度拓展 [分点研究]题型一 回归分析在实际问题中的应用[例1] 某商店为了更好地规划某种商品的进货量，从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x 为该商品的进货量，y 为销售天数)：(1)根据上表数据在如图所示的网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)根据(2)中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售的天数．参考公式和数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241.[解] (1)散点图如图所示：(2)依题意，得x ＝18×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，y ＝18×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，又∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241， 所以b ^＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝241－8×6×4356－8×62＝4968， a ^＝4－4968×6＝－1134，故线性回归方程为y ^＝4968x －1134.(3)由(2)知，当x ＝24时，y ^＝4968×24－1134≈17，故若该商店一次性进货24吨，则预计需要销售17天．[解题方略] 求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过样本点的中心(x ，y )快速选择．(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤为：题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例2] (2018·全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，[解] (1)第二种生产方式的效率更高． 理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min ，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) (2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)因为K 2＝40(15×15－5×5)20×20×20×20＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．[解题方略] 独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )计算出K 2的观测值；(3)比较K 2的观测值与临界值的大小，作出统计推断．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)2．(2019届高三·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)由(1)表中数据得K 2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.考点四概率与统计的综合问题增分考点·讲练冲关[典例](2018·福州质量检测)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7.P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5.[解](1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①因为Z～N(100,150)，从而P(87.8<Z<112.2)＝P(100－12.2<Z<100＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的概率为0.682 7，依题意知X～B(500,0.682 7)，所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.[解题方略]解决概率与统计综合问题的一般步骤[多练强化](2018·郑州第一次质量测试)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．解：(1)由题意知110[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x )＋132＋134＋141]＝122， 解得x ＝8.(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以P (η＝0)＝C 27C 26C 210C 210＝745；P (η＝1)＝C 17C 13C 26＋C 27C 14C 16C 210C 210＝91225； P (η＝2)＝C 23C 26＋C 27C 24＋C 17C 13C 16C 14C 210C 210＝13； P (η＝3)＝C 23C 16C 14＋C 17C 13C 24C 210C 210＝22225； P (η＝4)＝C 23C 24C 210C 210＝2225.所以η的分布列为E (η)＝0×745＋1×91225＋2×13＋3×22225＋4×2225＝75.数学建模——回归分析问题的求解[典例] (2018·汕头模拟)二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明．(2)求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(b ^，a ^小数点后保留两位有效数字)．(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.参考数据：∑i ＝16x i y i ＝187.4，∑i ＝16x i z i ＝47.64，∑i ＝16x 2i＝139,∑i ＝16(x i －x )2≈4.18,∑i ＝16(y i －y )2≈13.96,∑i ＝16(z i －z )2≈1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.[解] (1)因为x ＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，z ＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，且 ∑i ＝16x i z i ＝47.64,∑i ＝16(x i －x )2≈4.18,∑i ＝16(z i －z )2≈1.53，所以r ＝∑i ＝16(x i －x )(z i －z )∑i ＝16 (x i －x )2∑i ＝16(z i －z )2≈47.64－6×4.5×24.18×1.53≈－0.99，所以z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)由已知，得b ^＝∑i ＝16x i z i －6 x z∑i ＝16x 2i －6x2＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52≈－0.36，所以a ^＝z －b ^x ＝2＋0.36×4.5＝3.62， 所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.62. 又z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.62. 令x ＝9，得y ^＝e －0.36×9＋3.62≈1.46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元． (3)当y ^≥0.711 8时，e －0.36x ＋3.62≥0.711 8＝e ln 0.711 8＝e －0.34， 所以－0.36x ＋3.62≥－0.34，解得x ≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． [素养通路]本题是典型的回归分析问题，在实际问题中收集数据，画散点图，可以用线性回归模型拟合变量关系，再用最小二乘法求出回归方程，进而用回归模型对实际问题进行预测，考查了数学建模这一核心素养．。

n
n
(2)计算xiyi，x2i ；
i＝1
i＝1
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
(3)计算^b＝
＝
；
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
^a＝ y －^b x ； (4)写出线性回归方程^y＝^bx＋^a.
[注意] 样本点的 中心( x ， y )必在回 归直线上．
解析：根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10 ＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是 04.04 ＝100，又成绩在80～ 100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100 分的学生人数是100×0.15＝15.
答案：A
2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济 收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济 收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 ()
用
卷Ⅲ
卷Ⅲ3年4考，既有选择 题也有解答题，小题主 要考查统计图表、折线 图的识别与分析，解答 题考查线性回归方程的 应用及独立性检验．预 计2019年会以解答题的 形式考查线性回归模型 的应用，同时以选择题 的形式考查统计图表的 识别与分析
横向 把握 重点
1.统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在
高中生的近视率为 50%，所以高中生的近视人数为 40×50%
＝20，故选 B.
答案：B
3．从 30 个个体(编号为 00～29)中抽取 10 个样本，现给出某随机
数表的第 11 行到第 15 行(见下表)，如果某人选取第 12 行的第