介绍一种解方程组X’=AX的方法
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黄冈师专学报88年第2期
介绍一种解方程组卜几\
的方法
金维称
设常系数齐线性微分方程组为
。一v,
二。。、
T,,
头甲,
人“气
灿,
幻,’
”人n夕人=`
山,
勺’,
”、(x
)
)T是。
xl拒阵,
气、、
!
!al:’’
aIn
a:里’
二a:n
……
an:
…ann
是nxn
常数矩阵
我们定义矩阵指数e
,(A或。
A
)为
0AK
expA“E瓦厂二E+A+
k=O1。
二1`_
不丁一八`
十…十
—找u
十
`!1!(2
)
其中,
E为n
阶单位矩阵A”
是矩阵A的n
次幕。
又规定A。
二E,
。!=1
易证矩阵级数(2。
)
对所有的A都是收敛的因而,expA是一个确定的矩阵
可以证明矩阵
中(t
)=expAt
是方程组(1
)的基解矩阵,
且它的任二解都具有如下形式:
甲
(t
)=(expAt
)C
这里C是一个常数向量。
由于expAt
是一个矩阵级数,
所以计算具体的塞解矩阵。xpAt,
就是一个极为重要的基本
问题,
由此产生了一些求elpAt
的方法例如,
有的利用空间分解的知识有的利用约当
(Jor
dan
)标准型的知识。
EJPutzer
利用哈密顿一凯菜(Ha
milton
一Cayley
)定理,
将墓
解矩阵的计算归结为求解齐线性微分方程组的Ca二。
hy问题。
这个方法是他于1966
年得到的
入一从)这里入;,
从’
久n
是矩阵A
叮了、
ln
n一
n。`J
定理设det
(A一入E)二一(1
)
的特征值(不必互异)则
28
Ptjl
(tpj(
其中P。
二EPA一入,_
E)
人(j…n
一l
)
而Yj+l
(t
)(j一o2…n
一1
)是下列Ca。。
hy问题的解:
{j+一`
(t
)=
;
(0
)=x,Yj(t
)+入j+2Yj+l
(t
)
2…(jn
一1
)
Yj+l
(o
)=o
(jn
一l
)(4)
且丫。
(t
)二o
n
一1
证:
设中()t一公Yj+1
(t
)pj
5)
则有一久。
侧)t=1
一l
E
j=0(一入nYj+1(t
)pj(6)
在(5)式两端对t
求导数并注意到(4)式和丫`
()t主。便得
中`
(t
)=n
一1
艺
j二0Y
j+1’
(t
)P
n
一2
=艺
j=0〔,j`t
)+`j+;丫j+,
(t
,
〕pj
(pj+,+`j+:pj
),j+,
(t
)+`n丫n
(t
)pn
一l
将上式与(6)式相加,
可得
中`
(t
)一久。
中(t
)=
〔pj+,+(`j+;一`n
)pj
〕丫j+:
(t
)
n
一2
=名
j=0(pj+;+`j+,pj一`。
pj
),j+:
(t
)
(7
由PjJ+1,\
飞
旦:
(A一入k“)知”j+l一k
三,
又A一入kE
)一(A一入j+IE)Pj
即pj+1+入j+lpj一Ap
牙2
脚此(7)式可改写为
中尹
(*)一入_
小(t)=
孟止n
一2
甲
j=0AP
一入npj
)丫j+;
(t
)
一
(A一入。
E)丫j+1
(t
)pj
由(5)式有
中`
(t
)一入n
中(t
)一(A一入。
E)(中(t
)一丫n
(t
)pn
一z
)
签理得
中`
(t)一A中(t)一(A一入。
E
)p。
一1:。
(t
)
将p。
二(A一入。
E)pn
一1代入(8
)式得
小`
(t
)二A中(t
)一p。:。
(t
)
由哈密顿一凯莱定理,
若
nn
`
(`
)一d,
(A一`“
)一
(一`
)j
旦,
(`一`j)(8)
(9
)
n
n=n
则f
(A)=
(一l
)
(A一久jE
)=o
将P。
=(A一久。
E)P。
一
=l。代入(9)式得
中`
(t
)二A中
(t
)
即中()t是方程组(1)的解矩阵
由卫』
一E:,
(o
)一1及:j+z
(o
)一O
(j-
2…,n
一z
)
有中
(0
)=n
一1
EYj+1
(o
)pj一:,
(o
)p。
一E
而det中(o
)斗0故。(t
)是(z
)的基解矩阵,
从而有
ex
PAt一中
(t
)中一`
(o
)一中
(t
)
即(3)式成立,
证毕。
利用这种方法求方程组(1)的基解矩阵的步骤如下:
l)求de
t(A一入E
)=o
的n
个根入,,
久:,
…,
入。
(不必互异)
)利用。
一,;
一
仔
(一入
)(j=,,
…,
一
)求
3:PEP
AkEl2n1p
0
3)求解下列Cauey问题
{丫+1`
)一Y
)+入+1Y1+
)
Y,
(o
)一1,
Yj+1
(0
)一0
(:。
(t
)二0
)(j=o12…n
一1
)
2,
…,n
一l
)
4)将求得的Yj+z
(t
)和pj(j一0,
的墓解矩阵ex
PAt。
例1求方程组X产
二AX的基解矩阵2,
…n
一z
)代入(3)式即得方程组(l
)
其中“一
川{
〕“一
(
劝
解:
由de
t(A一入E)=(久+l
)(入一2
)=o得入,
-一1
而0P一
(;
冲,
PI
一(
+AE
卜
(;;)
解如下Cau。
hy
问题:
丫:了
(t)=
丫,
(0
)二l
丫:`
(t)=
丫:
(o
)二o一丫:
(t
)
解得丫,
(t)=e
e一t+2丫:
(t
)Z飞rZ、`由由
应用拉普拉斯变换解得
::
(t
)二含eZt一舌一e
一t
于是
exPAt=Yp。
+,:
”!
一’
(;{
)+
(`一2’一*
一’
)(;;
)
/,_
Zt,,_
一t
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少
例2设
、
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一入/
3
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A二
22一1
一l
、
200I又、
试求方程组X`
二AX的去解矩阵expAt.
解:
由det
(A一汽E)二
(z一认
)(久一2
)’
~o,
得入:
=l,
入:
=2,
大:
二2,
、、百les|/z
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…、
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…。,
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E)=一l
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P:
=
(A一人:
E
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E
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20一1
一1
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一l000、
20一1
000
3I
