1材料力学公式汇总一、应力与强度条件1、拉压[]σσ≤=maxmax AN 2、剪切[]ττ≤=A Qmax 挤压[]挤压挤压挤压σσ≤=AP 3、圆轴扭转[]ττ≤=WtTmax 4、平面弯曲①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mz t max c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤5、斜弯曲[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M 6、拉（压）弯组合[]σσ≤+=maxmax zW M A N []t max t z max t σσ≤+=y I M A N z[]c max c zzmax c σσ≤-=AN y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M ②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M ③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max二、变形及刚度条件１、拉压∑⎰===∆LEAx x N EAL N EANLL d )(ii ２、扭转()⎰=∑==Φppi i p GI dxx T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy =Cx x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θDCx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…，()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EI ML B =θEI PL B 22=θEI qL B 63=θEIML f B 22=EI PL f B 33=EIqL f B 84=EI ML B 3=θ,EI MLA 6=θEIPL AB 162==θθEIqL AB 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EI dxx M 22(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆i i P U ()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i三、应力状态与强度理论１、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx y x --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45PAB MAB A BqL LLLL４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=)(y x z E σσμε+-=Gxyxy τγ=（2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-=)(12x y y E μεεμσ+-=0=z σxyxy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,,Gxyxy τγ=()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤[]bbn σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤[]s sn σσ=8、平面应力状态下的应变分析（1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xy y x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆p λλ≥()2min 2cr L EI P μπ=22cr λπσE=②中长受压杆s p λλλ≥≥λσb a -=cr ③短粗受压杆sλλ≤“cr σ”=s σ或b σ2、关于柔度的几个公式iLμλ=p2p σπλE =ba s s σλ-=3、惯性半径公式AI i z =（圆截面4di z =，矩形截面12min b i =（b 为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程UV T ∆=∆+∆冲击系数std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α⎰==6442d dA y I z π()44164απ-D 123bh 123hb 323max d y I W z z π==()43132απ-D 62bh 62hb 2、惯性矩平移轴公式Aa I I 2zc z +=3截面的几何参数序号公式名称公式符号说明（3.1）截面形心位置AzdA z Ac⎰=，AydA y Ac⎰=Z 为水平方向Y 为竖直方向（3.2）截面形心位置∑∑=ii i c AA z z ，∑∑=iii c AA y y （3.3）面积矩⎰=AZ ydA S ，⎰=Ay zdAS （3.4）面积矩i i z y A S ∑=，i i y z A S ∑=（3.5）截面形心位置AS z y c =，AS y z c =（3.6）面积矩c y Az S =，c z Ay S =（3.7）轴惯性矩dA y I Az ⎰=2，dAz I Ay ⎰=2（3.8）极惯必矩dAI A⎰=2ρρ（3.9）极惯必矩y z I I I +=ρ（3.10）惯性积dAzy I Azy ⎰=（3.11）轴惯性矩A i I z z 2=，A i I y y 2=（3.12）惯性半径（回转半径）AI i zz =，AI i y y =（3.13）面积矩轴惯性矩极惯性矩∑=zi z S S ，∑=yi y S S ∑=zi z I I ，∑=yiy I I惯性积∑=i I I ρρ，∑=zyi zy I I （3.14）平行移轴公式A a I I zc z 2+=A b I I yc y 2+=abAI I zcyc zy +=4应力和应变序号公式名称公式符号说明（4.1）轴心拉压杆横截面上的应力A N =σ（4.2）危险截面上危险点上的应力AN =max σ（4.3a ）轴心拉压杆的纵向线应变ll ∆=ε（4.3b ）轴心拉压杆的纵向绝对应变ll l l .1ε=-=∆（4.4a ）（4.4ab 虎克定理εσE =Eσε=（4.5）虎克定理EAl N l .=∆（4.6）虎克定理∑∑==∆ii i i i EA l N l l ε（4.7）横向线应变bb b b b -=∆=1'ε（4.8）泊松比（横向变形系数）εεν'=νεε-='（4.9）剪力双生互等定理y x ττ=（4.10）剪切虎克定理γτG =（4.11）实心圆截面扭转轴横截面上的应力ρρρτI T =（4.12）实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力ρτI TR =max （4.13）抗扭截面模量（扭转抵抗矩）R I W T ρ=（4.14）实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力TW T =max τ（4.15）圆截面扭转轴的变形ρϕGI l T .=（4.16）圆截面扭转轴的变形∑∑==ii i i GI l T ρϕϕ（4.17）单位长度的扭转角l ϕθ=，ρθGI T =（4.18）矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力3max b TW T T βτ==T W 是矩形截面T W 的扭转抵抗矩（4.19）矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力max1γττ=（4.20）矩形截面扭转轴单位长度的扭转角4b G TGI T T αθ==T I 是矩形截面的T I 相当极惯性矩（4.21）矩形截面扭转轴全轴的扭转角4..b G l T l αθϕ==γβα,,与截面高宽比b h /有关的参数（4.22）平面弯曲梁上任一点上的线应变ρεy=（4.23）平面弯曲梁上任一点上的线应力ρσEy=（4.24）平面弯曲梁的曲率z EI M =ρ1（4.25）纯弯曲梁横截面上任一点的正应力zI My =σ（4.26）离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力z I y M maxmax .=σ（4.27）抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）max y I W z =（4.28）离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力zW M =max σ（4.29）横力弯曲梁横截面上的剪应力bI VS z z *=τ*zS 被切割面积对中性轴的面积矩。
