第6讲 分类讨论思想在解题中的应用

第6讲 分类讨论思想在解题中的应用

一、知识整合

1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析

例1.一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为（ ）

A. xy70 B. 250xy

C. xyxy70250或 D. xyyx70250或

分析：设该直线在x轴，y轴上的截距均为a,

当a=0时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；

当a0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy70。

例2．ABCABC中，已知，，求sincoscos12513

分析：由于CAB()coscos()coscossinsinCABABAB

因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A进行分类。

解：051322cosBBABC，且为的一个内角45901213BB，且sin

若为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032

若为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180

这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A150

coscos()cos()CABAB

coscossinsinABAB32513121213125326

例3.已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。

分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在…

解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2

例4.解关于的不等式：xlog()ax111

分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。

解：若，则原不等式等价于a>111110xaax

若，则原不等式等价于0111011111axxaxa

综上所述，当时，原不等式的解集为；axax1110

当时，原不等式的解集为01111axxa

例5.解不等式542xxx 分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x分类。

解：原不等式等价于或xxxxxxxxx05405405402222

xxxxx05111421142051或

0114250xx或 51142x

原不等式的解集为xx51142

例6.解关于的不等式：xaxax2110()

分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1a谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101axx

（）当时，原不等式化为20110aaxxa()()

①若，则原不等式化为axxa0110()()

1011aa 不等式解为或xax11

②若，则原不等式化为axxa0110()()

（）当时，，不等式解为iaaax11111

()iiaax当时，，不等式解为111 ()iiiaaxa当时，，不等式解为011111

综上所述，得原不等式的解集为

当时，解集为或axxax011；当时，解集为axx01|；

当时，解集为0111axxa；当时，解集为a1；

当时，解集为axax111。

例7.已知等比数列的前n项之和为nS，前n+1项之和为1nS，公比q>0，令TSSnTnnnn1，求lim。

分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形：

当时，；当时，q=1SnaqSaqqnnn11111()

另外，由于当时，，而已知条件中||limqnqqn100

故还需对q再次分类讨论。

解：当时，，qSnaSnann11111() limlimnTnnnn11

当时，，qSaqqSaqqnnnn111111111()() TSSqqnnnnn1111

01lim1nqTn当时，；

1111limlim1nnnqqTnnqqq当时，

综上所述，知，，lim()()nTqqqn10111

例8.设，问方程表示什么曲线？kRkxkykk()()()()848422 分析：容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且xkykk224814

kkkk848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，，，，，，，，又注意到kkkkk()()()444888kkkkkk480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰当的分类为，，，，，，k644466()()（，），，（，）6888

解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0，表示直线；

（2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线；

（）当且时，原方程变为34848122kkxkyk

（i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当4

（iii）当k=6时，方程表示圆；（iv）当6

（v）当k>8时，方程表示双曲线。

例9. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？

分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：

（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。

解：CCCCCCCCCCCCCCCCP4333433132423133323143324133324232

CCCCCCC3343324132323142309

或：CCCCCCCCCC33733132633231533343309

三、总结提炼

分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：

（1）“方程20axbxc有实数解”转化为240bac“”时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；

（2）等比数列11naq的前n项和公式1(1)1nnaqSq中有个别情形：1q时，公式不再成立，而是Sn=na1。

(3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。

(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1xyaa，，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。

四、强化练习：见优化设计。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若aapaaqaapqaa011132，且，，，则、log()log()的大小关系为（ ）

A. pq B. pq

C. pq D. apq1时，；01apq时，

2. 若AxxpxxR|()2210，，且AR，则实数中的取值范围是（ ）

A. p2 B. p2

C. p2 D. p4

3. 设A=xxaBxaxABBa||010，，且，则实数的值为（ ）

A. 1 B. 1 C. 11或 D. 110，或

4. 设是的次方根，则…236的值为（ ）

A. 1 B. 0 C. 7 D. 0或7