高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 精编版

习题82

1 求下列函数的偏导数

(1) z x3yy3x

解 323yyxxz

233xyxyz

(2)uvvus22

解 21)(uvvuvvuuus

21)(vuuuvvuvvs

(3))ln(xyz

解 xyxyxxxz1lnln121)lnln()ln(21xyx

同理 )ln(21xyyyz

(4) zsin(xy)cos2(xy)

解 yxyxyyxyxz)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xyxyy

根据对称性可知

)]2sin()[cos(xyxyxyz

(5)yxztanln

解 yxyyyxyxxz2csc21sectan12

yxyxyxyxyxyz2csc2sectan1222 (6) z(1xy)y

解 121)1()1(yyxyyyxyyxz

]1)1[ln()1ln()1ln(xyxyxyeeyyzxyyxyy

]1)1[ln()1(xyxyxyxyy

(7)zyxu

解 )1(zyxzyxu

xxzzxxyuzyzyln11ln

xxzyzyxxzuzyzyln)(ln22

(8) uarctan(xy)z

解 zzyxyxzxu21)(1)(

zzyxyxzyu21)(1)(

文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！

1 / 2 习题113

1 求下列幂级数的收敛域

(1)x2x23x3    nxn   

解  故收敛半径为R1

因为当x1时 幂级数成为 是发散的

当x1时 幂级数成为 也是发散的

所以收敛域为(1 1)

(2)

解  故收敛半径为R1

因为当x1时 幂级数成为 是收敛的 当x1时 幂级数成为 也是收敛的 所以收敛域为[1 1]

(3)

解  故收敛半径为R 收敛域为( )

(4)

解  故收敛半径为R3

因为当x3时 幂级数成为 是发散的 当x3时 幂级数成为 也是收敛的 所以收敛域为[3 3)

(5)

解  故收敛半径为

因为当时 幂级数成为 是收敛的 当x1时 幂级数成为 也是收敛的

所以收敛域为

(6)

解 这里级数的一般项为

因为 由比值审敛法 当x21 即|x|1时 幂级数绝对收敛 当x21 即|x|1时 幂级数发散 故收敛半径为R1

因为当x1时 幂级数成为 是收敛的 当x1时 幂级数成为 也是收敛的 所以收敛域为[1 1]

(7)122212nnnxn

解 这里级数的一般项为

因为 由比值审敛法 当 即时 幂级数绝对收敛 当 即时 幂级数发散

故收敛半径为

因为当时 幂级数成为1212nn 是发散的 所以收敛域为

.

习题122

1 求下列微分方程的通解

(1)xyyln y0

解 分离变量得

dxxdyyy1ln1

两边积分得

dxxdyyy1ln1

即 ln(ln y)=ln x+ln C,

故通解为y=eCx .

(2)3x25x5y0

解 分离变量得

5dy(3x25x)dx

两边积分得

dxxxdy)53(52

即 123255Cxxy

故通解为Cxxy232151 其中151CC为任意常数

(3)2211yyx

解 分离变量得

2211xdxydy

两边积分得

2211xdxydy

即 arcsin yarcsin xC

故通解为ysin(arcsin xC)

(4)yxya(y2y)

解 方程变形为(1xa)yay2

分离变量得 .

dxxaadyy112

两边积分得

dxxaadyy112

即 1)1ln(1Cxaay

故通解为)1ln(1xaaCy 其中CaC1为任意常数

(5)sec2x tan ydxsec2y tan xdy0

解 分离变量得

dxxxyyytansectansec22

两边积分得

dxxxyyytansectansec22

即 ln(tan y)ln(tan x)ln C

故通解为tan x tan yC 

(6)yxdxdy10

习题11

1 设A( 5)(5 ) B[10 3) 写出AB AB A\B及A\(A\B)的表达

式

解 AB( 3)(5 )

AB[10 5)

A\B( 10)(5 )

A\(A\B)[10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (AB)C

AC

BC



证明 因为

x(AB)C

xAB xA或xB xAC

或xBC

 xAC

BC



所以 (AB)C

AC

BC



3 设映射f  X Y AX BX  证明

(1)f(AB)f(A)f(B)

(2)f(AB)f(A)f(B)

证明 因为

yf(AB)xAB 使f(x)y

(因为xA或xB) yf(A)或yf(B)

 yf(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

(2)因为

yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y

f(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

4 设映射f  XY 若存在一个映射g YX 使

XIfg

YIgf 其中I

X、

I

Y分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX 有I

X xx 对于每一个yY 有

I

Y yy 证明 f是双射 且g是f的逆映射 gf 1



证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)f[g(y)]I

y yy 即Y中任意元

素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

又因为对于任意的x

1x

2 必有f(x

1)f(x

2) 否则若f(x

1)f(x

2)g[ f(x

1)]g[f(x