第八章：空间解析几何与向量代数
一、向量),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===
1.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos
; 2。向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b
b
b
a a a
z y x z y x k j i
b a
=?。 ?sin b a b a =?的几何意义为以b a
,为邻边的平行四边形的面积.
3。向量),,(z y x r =
的方向余弦：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos ,cos ,cos z
y x y z
y x y z
y x x ++=
++=
++=
γβα,
1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα.
4.向量),,(a a a z y x a =
与),,(b b b z y x b = 垂直的判定：
00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a
.
5.向量),,(a a a z y x a =
与),,(b b b z y x b = 平行的判定：
k z z y x x x k b k a b a b a b
a b b b a ===?≠=?=??0,0//
。
6。三向量共面的判定：?=++0 c n b m a k c b a
,,共面。 7.向量)
,,(a a a z y x a =
在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a
a a b
a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= 。
二、平面
1。过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n
=
为法向量的平面的点法式方程：
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。
2。以向量),,(C B A n
=
为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax 。
3.点),,(111z y x M 到平面
0=+++D Cz By Ax 的距离2
2
2
111C
B A D cz By Ax d +++++=
。
4.平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏平行的判定：
2
1
2121212121////D D C C B B A A n n ≠==?
?
∏∏.
5。平面0:11111
=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏垂直的判定：
021********=++?⊥?⊥C C B B A A n n
∏∏。
6。平面0:11111
=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏的夹角:
22
22
22
21
21
21
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++?++++=
θ
三、直线
1。过点),,(000z y x P ,以),,(p n m s
=
为方向向量的直线的点向式（对称式、标准)方程： p
z z n y y m x x 0
00-=-=-。
2.过点),,(000z y x P ，以),,(p n m s = 为方向向量的直线的参数式方程：??
?
??=-=-=-tp
z z tn y y tm x x 000。
3。直线的一般式方程：??
?=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A .方向向量为21n n s
?=.
4。直线方程之间的转化: i ）点向式?参数式 ii ）一般式→点向式
第一步:找点 第二步：找方向向量21n n s
?=
5.直线1
1
11111:
p z z n y y m x x L -=-=-与2
2
22222
:
p z z n y y m x x L -=-=-平行的判定：
2
1
21212121////p p
n n m m s s L L ==?? 。
6.直线1
1
11111:
p z z n y y m x x L -=-=-与2
2
22222
:
p z z n y y m x x L -=-=-垂直的判定：
021********=++?⊥?⊥p p n n m m s s L L
。
7。直线1
1
11111:
p z z n y y m x x L -=-=-与2
2
22222
:
p z z n y y m x x L -=-=-的夹角：
22
22
22
21
21
2
1
212121cos p
n m p n m p p n n m m ++?++++=
?。
8.直线n
z z m y y l x x L 0
00:
-=
-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏垂直的判定： C
n
B m A l N S L ==??⊥ //∏.
9.直线n
z z m y y l x x L 0
00:-=
-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏平行的判定： 0//=++?⊥?Cn Bm Al N S L
∏.
10.直线n
z z m y y l x x L 0
00:
-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏的夹角：
2
2
2
2
2
2
sin p
n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
?。
11。点),,(000z y x P 到直线???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 的距离
：d =，其中
M
是直线上任意一
点,21n n s
?=。
四、曲线、曲面 1。
yoz 平面上的曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为
S ：0),(22=+±z y x f 。
2。空间曲线C :??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 关于xoy 平面上的投影柱面方程为：0),(=y x H ；
在xoy 平面上的投影曲线为C ：?
??==00
),(z y x H 。
第九章：多元函数微分法及其应用
一、平面点集
1。内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；
2。聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点； 3.开集和闭集内的所有点都是聚点。 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.
高等数学第六版课后全 部答案 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线 密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课
x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ →0 λ →0
第八章：空间解析几何与向量代数 一、向量),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a === 1.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos ; 2。向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b b b a a a z y x z y x k j i b a =?。 ?sin b a b a =?的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积. 3。向量),,(z y x r = 的方向余弦： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos z y x y z y x y z y x x ++= ++= ++= γβα, 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 垂直的判定： 00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a . 5.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 平行的判定：
k z z y x x x k b k a b a b a b a b b b a ===?≠=?=??0,0// 。 6。三向量共面的判定：?=++0 c n b m a k c b a ,,共面。 7.向量) ,,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a a a b a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= 。 二、平面 1。过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n = 为法向量的平面的点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。 2。以向量),,(C B A n = 为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax 。 3.点),,(111z y x M 到平面 0=+++D Cz By Ax 的距离2 2 2 111C B A D cz By Ax d +++++= 。
习题8-1 1. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c ) =2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC , 而 →→-=OA OC , →→-=OB OD , 所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC . 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把?ABC 的BC 边五等分, 设 分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把 各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、 a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→ A D 3、→ A D 4. 解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5 222--=-=→→→BD BA A D , a c 5 333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .
4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M . 解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M , )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M . 5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量. 解 11)6(76||222=-++=a , 平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为 )116 ,117 ,116(||1-=a a 或)11 6 ,11 7 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, -1, 0). 解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )
第八章 向量与解析几何 向量代数 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, c a b =+ c a b =－ 0a ≠，则a a e a =x z a a a = = ，， 曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程Σ : F (x , y , z ) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母 线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0 ),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 1、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 ),(z y x F 的柱面 2、 二次曲面:椭圆锥面：2 22 22 z b y a x =+ 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x 双叶双曲面： 122 2222=--c z b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-b y a x 抛物柱面：ay x =2 空间曲线及其方程: 一般方程：?????==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 参数方程：???? ???===) ()()(t z z t y y t x x 如螺旋线：??? ? ???===bt z t a y t a x sin cos 空间曲线在坐标面上的投影?? ???==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去 z ， 得到曲线在面xoy 上的投影?????==0 ),(z y x H 3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁
2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用
了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。
科 目：高等数学 考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号： 一、选择题（每小题3分，共15分） 1、下列函数在给定的自变量变化过程中为无穷小的是__________. A 、x x 1sin ()0→x B 、x x sin 1 ()0→x C 、x x cos ()∞→x D 、x x cos 1 ()0→x 2、已知函数()0 0222 ≥
1、如果12sin 3lim 0=→x mx x ，则=m ___________________. 2、已知()()()=--='→h f h f f h 233lim ,230 则___________________. 3、已知()?+=C x dx x f sin ,则()?=+dx e f e x x 1___________________. 4、()=+?-dx x x sin 13 2π π___________________. 5、微分方程xy y 2='的通解是__________________. 三、计算题（每小题6分，共42分） 1、求2 1 cos 0 lim x dt e x t x ?→ 2、设82lim =??? ??-+∞ →x x a x a x ，且0≠a ，求常数a 的值. 3、由方程e ln sin 2xy y x x +=确定y 是x 的隐函数，求y '.
高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
高数（下）小结 一、微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结： 方程 编号 类型一般形式解法备注 1型 可分离变量 方程 ) ( ) (y x y? φ? ='或 ) ( ) (= +dy y N dx x M分离变量法 有些方程作代换后可 化为1型 2型齐次方程 ) ( x y yφ ='或 ) ( y x x? =' 令化 或 y x u x y u= = 为1型求解 有时方程写成 ) ( y x xφ ='令u y x =化 为1型求解 3型线性方程 ) ( ) (x Q y x P y= +' 或 ) ( ) (y Q x y P x= +' 1．常数变易法 2．凑导数法：同乘 Pdx e? 有时方程不是关于 y y' ,线性方程，而是 关于x x' ,线性方程 4型贝努里方程 α y x Q y x P y) ( ) (= +' 或 α x y Q x y P x) ( ) (= +' 令z y= -α 1或 z x= -α 1化为3型求 解 有时方程不是关于 y y' ,的贝努里方程， 而是关于x x' , 贝努里方程 5型全微分方程 ) , ( ) , (= +dy y x Q dx y x P 其中 y P x Q ? ? = ? ? (,) u x y c = (,) u x y为原函数 有时乘以一个积分因 子可化为5型
二阶微分方程的解法小结： 齐次方程"'0y py qy ++=的通解y 为： 判别式 两特征根情况 通 解 240p q -> 相异实根1r ，2r x r x r e c e c y 2121+= 042=-q p 二重实根0r ()x r e x c c y 021+= 240p q -< 共轭复根βαi r ,±=2 1 ()x c x c e y x ββαsin cos 21+= 非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解* y 的形式为： ()x f 的形式 特征根情况 *y 的形式 ()rx m P x e r 不是特征根 ()rx m x e Q r 是k 重特征根 ()x m x x e αk Q 12r k r k =?? ?=?? 是单根是二重根 ()()cos sin x l n e P x x P x x αββ?+??? i αβ±不是特征根 ()()() ()12cos sin x m m e Q x x Q x x αββ??+??i αβ ±是特征根 ()()()()12cos sin x m m xe Q x x Q x x αββ??+?? 类 型 特 征 求 解 方 法 备 注 () ()x f y n = 缺,x y ' n 次积分 求解见上册 ()' "y ,x f y = 缺 y 令'"',y p y p ==，降为一阶方程 降价后是关于p ，x 的一阶方程 ( )' " y ,y f y = 缺x 令 ()y p y '=， dy dp p y ' '=降为一阶方程 降价后是关于 p ,y 的一阶方 程 ()p y f dy dp p ,= ()y py qy f x '''++= ,p q 常 系数 通解y y y *+= y y *及见下表
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→
习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x=
M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限λ→0 λ→0． lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw
本答案由大学生必备网https://www.doczj.com/doc/2d19228831.html, 免费提供下载 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 本节主要概念，定理，公式和重要结论 理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。 习题 8－1 1.求下列函数表达式: (1)x y y x y x f +=),(，求),(y x xy f + 解：(,)()x y xy f xy x y xy x y ++=++ (2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f 解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(y x x y x z --+-+= 解：22221011010x y x y x y x y x +->?+>??-->???+ (3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限: (1)2 2)1,0(),(1lim y x xy x y x ++-→ 解：22(,)(0,1)1lim 1x y x xy x y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim )0,0(),(+-→ 解一： (,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim 2lim 2lim 4x y x y x y xy xy →→→=-=-=-
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
高等数学第六版（上册）总复习习题答案及解析 1. 填空: 设常数k >0, 函数k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 1 1)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x ) 0, 得唯一驻点x e . 因为f ''(x )<0, 所以曲线k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x e 一定是 最大值点, 最大值为f (e )k >0. 又因为-∞=+→)(lim 0 x f x , -∞=+∞ →)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)f (0)或f (0)f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)f (0); (B )f '(1)>f (1)f (0)>f '(0); (C )f (1)f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)f (1)>f '(0). 解 选择B . 提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)f (0)f '(), ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)f (0)>f '(0). 3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a b ](a b )内除某一点外处处 (a b )内不存在点ξ f (b )f (a ) f '(ξ)(b a ). 解 取f (x )|x |, x ∈[1, 1]. 易知f (x )在[1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )1; 当x >0时, f '(x )1; f '(0)不存在, 即f (x )在[1, 1]上除x 0外处处可导. 注意f (1)f (1)0, 所以要使f (1)f (1)f '()(1(1))成立, 即f '()0, 是不可能的. 因此在(1, 1)内不存在点ξ f (1)f (1)f '()(1(1)). 4. 设k x f x ='∞ →)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞ →. 解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '( )?a , 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, → ∞, 于是 ak f a a f x f a x f x x ='=?'=-+∞ →∞ →∞ →)(lim )(lim )]()([lim ξξξ. 5. 证明多项式f (x )x 3 3x a 在[0, 1]上不可能有两个零点. 证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2 -1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点. 6. 设1 21 0++???++n a a a n 0, 证明多项式f (x )a 0a 1x +???+a n x n 在(0,1)内至少有 一个零点.
高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1?1 1? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ? B ?[?10? ?5)? A \ B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)? 2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明 因为 x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ? 3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明 (1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明 因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为 y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? 4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1? 证明 因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射? 又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射? 对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射? 5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ? (2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ? 证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?