最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-1

解曲积分区域可表示为
于是
提示曲面zx22y2与z2x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1
(4)由曲面czxy(c0) z0所围成的在第一卦限内的闭区域
解曲积分区域可表示为
于是
提示区域的上边界曲面为曲面czxy下边界曲面为平面z0
2设有一物体占有空间闭区域{(xyz)|0x10y10z1}在点(xyz)处的密度为(xyz)xyz计算该物体的质量
解在柱面坐标下积分区域可表示为
于是
(4) 其中闭区域由不等式 z0所确定
解在球面坐标下积分区域可表示为
于是
12利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积
(1)z6x2y2及
解在柱面坐标下积分区域可表示为
0202z62
于是
(2)x2y2z22az(a0)及x2y2z2(含有z轴的部分)
解在球面坐标下积分区域可表示为
解
3如果三重积分 的被积函数f(xyz)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积即f(xyz)f1(x)f2(y)f3(z)积分区域{(xyz)|axbcydlzm}证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即
证明
4计算 其中是由曲面zxy与平面yxx1和z0所围成的闭区域
解积分区域可表示为
{(xyz)| 0zxy0yx0x1}
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-3
习题93
1化三重积分 为三次积分其中积分区域分别是
(1)由双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域
解积分区域可表示为
{(xyz)| 0zxy0y1x0x1}
于是
(2)由曲面zx2y2及平面z1所围成的闭区域
解积分区域可表示为

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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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同济大学第六版高等数学课后答案详解全集同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1,11, 设A,(,,～ ,5),(5～，,)～ B,[,10～ 3)～写出A,B～ A,B～ A\B及A\(A\B)的表达式,2, 设A、B是任意两个集合～证明对偶律: (A,B)C,AC ,BC , ,3, 设映射f : X ,Y～ A,X～ B,X , 证明(1)f(A,B),f(A),f(B),(2)f(A,B),f(A),f(B),g,f,If,g,IXY 4, 设映射f : X,Y～若存在一个映射g: Y,X～使～～其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射～即对于每一个x,X～有IX x,x, 对于每一个y,Y～有IY y,y, 证明: f是双射～且g是f的逆映射: g,f ,1, 5, 设映射f : X,Y～ A,X , 证明:(1)f ,1(f(A)),A,(2)当f是单射时～有f ,1(f(A)),A ,6, 求下列函数的自然定义域:111y,2y,y,,1,x22y,3x，2y,sinx4,xx1,x (1),, (2), (3),(4),(5),1y,3,x，arctanx (6) y,tan(x，1),(7) y,arcsin(x,3), (8),, (9)y,ln(x，1),1xy,e (10),7, 下列各题中～函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,(1)f(x),lg x2～ g(x),2lg x,2x (2) f(x),x～ g(x),,3343f(x),x,xg(x),xx,1 (3)～,(4)f(x),1～ g(x),sec2x,tan2x ,,,|sinx| |x|,,3,(x),,,,,,x0 ||,,()()(,),,,3,644 8, 设～求～～～ ,(,2)～并作出函数y,,(x)的图形,, 9, 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy,1,x (1)～ (,,～ 1),(2)y,x，ln x～ (0～，,),10, 设f(x)为定义在(,l～l)内的奇函数～若f(x)在(0～l)内单调增加～证明f(x)在(,l～ 0)内也单调增加,11, 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l～ l)上的～证明:(1)两个偶函数的和是偶函数～两个奇函数的和是奇函数,(2)两个偶函数的乘积是偶函数～两个奇函数的乘积是偶函数～偶函数与奇函数的乘积是奇函数,12, 下列函数中哪些是偶函数～哪些是奇函数～哪些既非奇函数又非偶函数,(1)y,x2(1,x2),(2)y,3x2,x3,21,xy,21，x (3),(4)y,x(x,1)(x，1),(5)y,sin x,cos x，1,x,xa，ay,2 (6)13, 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数～指出其周期:(1)y,cos(x,2),,(2)y,cos 4x,(3)y,1，sin ,x,(4)y,xcos x,(5)y,sin2x,14, 求下列函数的反函数:3y,x，1 (1)错误～未指定书签。

第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=. 二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---=};1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin =};0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→（0）2、x y x xy3)2,(),()1(lim +∞→ (6e )四、证明极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在.证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sinlim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222§ 2 偏导数1、设z=xy xe xy + ,验证z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设yz x u =, 求xu ∂∂，yu ∂∂，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 :uz u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂ 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由)0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→连续；21sinlim )0,0(xf x x →= 不存在，000lim)0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2fx(a,b)）§ 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件（B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B ）偏导数连续，则全微分必存在（C ）全微分存在，则偏导数必连续（D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xy ez =)1(2dy x dx xy edz xy +-= 2）)sin(2xy z =解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u =解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f +=求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +-- 5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解 （1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解： （1）特征方程为 （2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解： （1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为 将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =

1
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )

习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。

同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 习题9-21. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+D d y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+D d y x σ)23(y d y x dx x ⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=20022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 ⎰⎰++D d y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+D d y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π0)][sin(dx y x x x ⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=. . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是 ⎰⎰D d y x σ⎰⎰=102dy y x dx x x ⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x . (2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y D σ 1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=11101101x x y x x x y x D y x dy e dx e dy e dx e d eσ ⎰⎰+---+--+=10110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=101201112)()(dx e e dx e e x x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y D σ 613)832419(2023=-=⎰dy y y . 3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积,即f (x , y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dx dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d c b a d c b a D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121,而 ⎰⎰=⋅dc d c dy y f x f dy y f x f )()()()(2121, 故 dx dy y f x f dxdy y f x f b a dc D ⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121.由于⎰dc dy y f )(2的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 ])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dc b a D ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤}, 或D ={(x , y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dx y x f dy I 4402),(. (2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-},或D ={(x , y )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤},所以 ⎰⎰--=220),(x r r r dy y x f dx I , 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I .(3)由直线y =x , x =2及双曲线xy 1=(x >0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )|x y xx ≤≤≤≤1 ,21}, 或D ={(x , y )| 21 ,121≤≤-≤≤x yy }⋃{(x , y )|2 ,21≤≤≤≤x y y }, 所以 ⎰⎰=x x dy y x f dx I 1),(21, 或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy I .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 (4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域, 证明:⎰⎰⎰⎰=byb a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 ⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=x a b a dy y x f dx ),(, 或⎰⎰D d y x f σ),(⎰⎰=b yb a dx y x f dy ),(.因此 ⎰⎰⎰⎰=by b a x a b a dx y x f dy dy y x f dx ),(),(. 6. 改换下列二次积分的积分次序:(1)⎰⎰ydx y x f dy 010),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=110010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy . (2)⎰⎰yy dx y x f dy 2202),(; 解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以 ⎰⎰y y dx y x f dy 2202),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx . (3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解 由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y y dy y x f dx dx y x f dy (4)⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ;解 由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以 ⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx ⎰⎰-+-=101122),(y y dx y x f dy . (5)⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰e x dy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(ee y dx y xf dy (6)⎰⎰-x xdy y x f dx sin 2sin 0),(π(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域}sin 2sin ,0|),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=π, 如图. 因为积分区域还可以表示为}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+=y y y x xdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx arcsin arcsin 10arcsin 201sin 2sin 0),(),(),(πππ.7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=D d y x M σμ),(⎰⎰+=D d y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(y y dx y x dy ⎰-+-=10323]372)2(31[dy y y y 34=. 8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为⎰⎰--=D dxdy y x V )326(⎰⎰--=1010)326(dy y x dx ⎰--=10102]2326[dx y xy y ⎰=-=1027)229(dx x .9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x }, 所求立体的体积为以曲面z =6-x 2-y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即⎰⎰--=D d y x V σ)6(22⎰⎰---=101022)6(x dy y x dx 617=. 10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262yx z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 ⎰⎰+---=D d y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x . 11. 画出积分区域, 把积分⎰⎰D dxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ200)sin ,cos (d f d a. (2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解 积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (ba d f d . (4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解 积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以 ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d .12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101⎰⎰=40sec 0)sin ,cos (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24csc 0)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 3222)(;解 积分区域D 如图所示, 并且 }sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D , 所示 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示, 并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示, 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以 ⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d13. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=. (2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxa d d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a . (3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解 积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ21212212)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a ad d dx y x dy θρρρ2022022)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以 ⎰⎰⎰⎰=+DDy xd de d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xyDarctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d .15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. 解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以dxdy y x D22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=. (2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰. (4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ. 16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示. 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd .17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }. ⎰⎰--=Ddxdy y x R V 222k R d R d kRarctan 313arctan 022=-=⎰⎰ρρρθ.18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--.。

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

（２） 对 x ＝ ０ ， 因为 f （０） 无定义 ， lim x→ ０
30
x x ＝ lim ＝ １ ， 所以 x ＝ ０ 为第一类间 tan x x → ０ x
断点 （ 可去间断点 ） ， 重新定义函数 ： f １ （ x） ＝ x ， tan x x ≠ kπ ，kπ ＋ x＝０ π ， ２ （ k ∈ Z） ，
３ １ f （ x０ ） ＜ f （ x） ＜ f （ x０ ） ＜ ０ ． ２ ２ 因此 ，不 论 f （ x０ ） ＞ ０ 或 f （ x０ ） ＜ ０ ，总 存在 x０ 的 某一 邻 域 U （ x０ ） ，当 x ∈ U （ x０ ） 时 ， f （ x） ≠ ０ ．
倡
７畅 设 f （ x） ＝ x ，x ∈ Q ， ０ ，x ∈ Q ，
２
０≤ x≤１， １＜ x≤２； －１≤ x≤１， x＜ －１或 x＞１．
２
图 １－ ８
２－ x， x， １，
解 （１） f （ x） 在 ［０ ， １） 及 （１ ， ２］ 内连续 ， 在 x＝１处，
x→ １ － x→ １ x→ １ x→ １
故 f （ x） 在 x ＝ １ 处连续 ， 因此 f （ x） 在 ［０ ， ２］ 上连续 ， 函数的图形如图 １ － ９ 所示 ．
C
32
证明 ： （１） f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ； （２） f （ x） 在非零的 x 处都不连续 ． 证 （１） 橙 ε ＞ ０ ， 取 δ ＝ ε， 则当 ｜ x － ０｜ ＝ ｜ x｜ ＜ δ 时 ， 故 lim f （ x） ＝ f （０） ， 即 f （ x） 在 x ＝ ０ 连续 ． x→ ０ | f （ x） － f （０） | ＝ | f （ x） | ≤ | x | ＜ ε ，

第1章函数与极限1.1 复习笔记一、映射与函数1．集合（1）集合概念集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。

常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

（2）表示集合的方法通常有以下两种：①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示；②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。

（3）常见的集合①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ；②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}；③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}；④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}；⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈且P与q互质}；⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。

（4）集合的关系①包含关系设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。

规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。

若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。

②等价关系若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。

（5）集合的运算①并、交、差a．并集设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集（简称并），记作，即。

b．交集由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集（简称交），记作，即。

c．差集由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即。

习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解 因为011111)(22≤+-=-+='x x x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解 因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7;(2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为 0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解 不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224r Vr S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解 由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F , 驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解 设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中 15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点. 当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R .令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1.(3)列表(4)作图:2.21xx y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0, 3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞); (2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x =; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ;(6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''.y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为 |sec ||cos |11x x K ===ρ.3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K , 曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==.5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x xx y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23x x x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ.令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解 应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明 设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx x x x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim ])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1l n (1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x。

本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

9-31. 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域;解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}, 于是 ⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx I 0101),,(.(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx I .(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x , 于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I .提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2-x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0), 12222=+by a x , z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a a b y c xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω,于是 ⎰⎰⎰-=cxy x a a b adz z y x f dy dx I 00),,(22.提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z =xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω10110)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx ⎰++=10102]2121[dx y y xy⎰+=10)1(dx x 23)1(21102=+=x .3. 如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (x , y , z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )=f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmld cbadz z f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321.证⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f badcml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f badcml]))()()(([321⎰⎰⎰= ⎰⎰⎰=mldcbadx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f b am ldc)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adz z f dy y f dx x f )()()(321.4. 计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32, 其中Ω是由曲面z =xy , 与平面y =x ,x =1和z =0所围成的闭区域. 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210 ⎰⎰=x xydy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x . 5. 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x d x d y d z, 其中Ω为平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的四面体.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1-x -y , 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1},于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=.提示: ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x d x d y d z ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 1010210])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=1010]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[102]16183)1ln(21[x x x +-+=)852(ln 21-=.6. 计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz , 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域. 解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=210221)1(21x dy y x xy dx⎰-=1022)1(81dx x x 481=.7. 计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz , 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域. 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, -1≤x ≤1}, 于是⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx0)1(61116=-=⎰-dx x x . 8. 计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz , 其中Ω是由锥面22y x R h z +=与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z : 222)(z hR y x =+, 故D z 的半径为z h R , 面积为222z h R π, 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz =⎰⎰⎰zD h dxdy zdz 0⎰==h h R dz z hR 0223224ππ.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中Ω是由曲面222y x z --=及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, 222ρρ-≤≤z , 于是⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d .(2)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域.解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, 222≤≤z ρ,于是dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2 ⎰⎰⎰=221203202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d .10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1, 于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4 ⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=. (2)⎰⎰⎰Ωzdv , 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z -a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a 4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰. 11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)⎰⎰⎰Ωxydv , 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ,于是⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ.另解: 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=110102dz ydy xdx x⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x . (2)⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域;解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r ,于是⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 02220sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d .(3)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d .(4)⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22, 其中闭区域Ω由不等式A z y x a ≤++≤<2220, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 A r a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ,于是⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ. 12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6-x 2-y 2及22y x z +=;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6-ρ2, 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd .(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分);解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤,于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 202420sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰.(3)22y x z +=及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V .(4)225y x z --=及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z ,于是 ⎰⎰⎰-=22541220ρρπρρθdz d d V)455(32)45(2222-=--=⎰πρρρρπd . 13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量. 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ.在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R , 于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 222400220sin R k dr r kr d d Rπϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰.。

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。