第八章 向量与解析几何
向量代数
两点间的距离公式：
2
12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=
方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔
== 交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=
θcos 2
2
2
2
2
2
cos x x y y z z
x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
cos()b a b
prj a a a b b
∧
⋅== 2
2
2
x x y y z z
b x y z
a b a b a b prj a b b b ++=
++
曲面、空间曲线及其方程
1、 曲面及其方程Σ : F (x , y , z ) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母 线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作 2、旋转曲面：
yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0
),(22=+±z x y f 绕
z 轴旋转一周：
0),(22=+±z y x f
1、
柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x F 的柱面
2、 二次曲面:椭圆锥面：2
22
22
z b y a x =+ 椭球面：122
2222=++c
z b y a x 旋转椭球面：122
222
2=++c
z
a y a x 单叶双曲面：1222222=-+c z
b y a x
双叶双曲面：
122
2222=--c
z
b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 椭圆柱面：12222=+b y
a x 双曲柱面：12222=-b
y a x 抛物柱面：ay x =2
空间曲线及其方程:
一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0
),,(0),,(z y x G z y x F 参数方程：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===)
()()(t z z t y y t x x
如螺旋线：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧===bt z t a y t
a x sin cos 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩
⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去
z ，
得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0
),(z y x H
3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁
平面方程与直线方程
第九章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。 1、 多元函数：),(y x f z =，图形：
2、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00
3、 连续：
),(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =→
4、
偏导数：
x
y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)
, (), (lim
),(0000000
y
y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim ),(0000000
