第12讲二次函数的图象及性质

第12讲 二次函数的图象及性质

(时间：90分钟 分值：75分)

A卷

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．(2017·兰州)将抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为(A)

A. y＝3(x－3)2－3 B. y＝3x2

C. y＝3(x＋3)2－3 D. y＝3x2－6

2．(2017·菏泽)一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝cx在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(A)

第2题图

,A) ,B)

,C) ,D)

3．(2017·连云港)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是(C)

A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1

C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0

(导学号 12734058)

4．(2017·徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(D)

A. b＜1且b≠0 B. b＞1

C. 0＜b＜1 D. b＜1

5．(2017·绵阳)将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(D)

A. b>8 B. b>－8

C. b≥8 D. b≥－8

第6题图

6．(2017·日照)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物线的顶点坐标为(2，b)；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是(C)

A. ①②③ B. ③④⑤

C. ①②④ D. ①④⑤

二、填空题(每小题4分，共12分)

7．(2017·百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线解析式是 y＝－38x2＋34x＋3.

8．(2017·广州)当x＝ 1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5.

9．(2017·武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是13

三、解答题(共24分)

10．(2017·南京8分)已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．

(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是(D)

A. 0 B. 1

C. 2 D. 1或2

(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；

(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

(导学号 12734059)

解：(2)y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－(x－m－12)2＋（m＋1）24，所以该函数的图象的顶点坐标为(m－12，（m＋1）24)．

把x＝m－12代入y＝(x＋1)2，得y＝(m－12＋1)2＝（m＋1）24，

因此，不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；

(3)设函数z＝（m＋1）24，

当m＝－1时，z有最小值0；

当m<－1时，z随m的增大而减小；

当m>－1时，z随m的增大而增大；

当m＝－2时，z＝（－2＋1）24＝14；

当m＝3时，z＝（3＋1）24＝4， 因此，当－2≤m≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4.

11．(2017·北京8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．

第11题解图

解：(1)以直线BC的表达式为y＝－x＋3；

(2)由y＝x2－4x＋3得到：y＝(x－2)2－1，

∴抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－1)，

∵y1＝y2，∴x1＋x2＝4，

令y＝－1，y＝－x＋3，x＝4，

∵x1＜x2＜x3，

∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8.

12．(2017·福州模拟8分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c(bc≠0)．

(1)若该抛物线的顶点坐标为(c，b)，求其解析式；

(2)点A(m，n)、B(m＋1，38n)、C(m＋6，n)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，求△ABC的面积；

(3)在(2)的条件下，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点D(x1，0)、E(x2，0)(x1＜x2)两点，且0＜x1＋13x2＜3，求b的取值范围．

解：(1)抛物线的解析式为：y＝x2－6x＋3；

第12题解图①

(2)如图解①，∵点A(m，n)，C(m＋6，n)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，∴m和m＋6是方程x2＋bx＋c＝n的两根，

即x2＋bx＋c－n＝0，

∴m＋m＋6＝－b，m（m＋6）＝c－n，

解得：b＝－2（m＋3），c＝m2＋6m＋n. ∵B(m＋1，38n)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，

第12题解图②

∴(m＋1)2＋b(m＋1)＋c＝38n，

将b、c代入得：(m＋1)2－2(m＋3)(m＋1)＋m2＋6m＋n＝38n，即n－5＝38n，解得n＝8，

∴A(m，8)，B(m＋1，3)，C(m＋6，8)，

∴AC＝6，

过B作BG⊥AC于G，则BG＝8－3＝5，∴S△ABC＝12×6×5＝15；

(3)由题意得：x1＋x2＝－b，∴x2＝－b－x1①，

∵0＜x1＋13x2＜3，∴0＜3x1＋x2＜9②，

把①代入②得：0＜3x1－b－x1＜9，0＜2x1－b＜9 ③，如解图②，A (m，8)，C(m＋6，8)，∴AC＝m＋6－m＝6，

∴抛物线的对称轴是：x＝m＋3，∵x1＜x2，∴m＜x1＜m＋3，2m＜2x1＜2m＋6④，

④－③得：2m＜b＜2m－3.

B卷

第1题图

1．(2017·南宁4分)如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1∶y＝x2(x≥0)和抛物线C2∶y＝x24(x≥0)交于A、B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则S△OFBS△EAD的值为(D)

A.26 B.26 C.14 D.16

(导学号 12734060)

2．(2017·龙岩模拟11分)已知二次函数y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3(m是常数)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)．

(1)如果二次函数的图象经过原点．

①求m的值； ②若m＜0，点C是一次函数y＝x＋b(b＞0)图象上的一点，且∠ACB＝90°，求b的取值范围；

(2)当－3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．

第2题图

第2题解图

解：(1)①m1＝－1，m2＝3；

②∵m＜0，∴m＝－1，

把m＝－1代入y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3中，得：y＝x2－4x，当y＝x2－4x＝0时，x1＝0，x2＝4，∴AB＝4，

以AB为直径作⊙P，根据直径所对的圆周角为直角可知：当一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与圆相切时，可得∠ACB＝90°.

如解图，一次函数y＝－x＋b(b＞0)的图象与⊙P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得∠PCF＝90°，

当x＝0时，y＝－x＋b＝b，∴点E(0，b)，

当y＝－x＋b＝0时，x＝b，∴点F(b，0)，

∴AE＝AF＝b，∴∠PFC＝45°，

又∵∠PCF＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，

∴PF＝2PC＝22，∴b＝AF＝2＋22.

∴b的取值范围为0＜b≤2＋22；

(2)∵y＝x2＋(2m－2)x＋m2－2m－3＝(x＋m－1)2－4，

∴抛物线的对称轴为x＝1－m，

①当1－m≤－0.5，即m≥1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为5，

∴(2＋m－1)2－4＝5，

解得：m＝2或m＝－4(舍去)；

②当1－m＞－0.5，即m＜1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝－3时，函数最大值为5，

∴(－3＋m－1)2－4＝5， 解得：m＝1或m＝7(舍去)；

综上所述，m＝2或m＝1.