二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结

一、知识点回顾

1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0）

②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐

标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即

一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2.

二次函数的图象

①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）

y 轴的抛物线，

几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）

完全相同，只是位置不同。②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动

规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成

的形式，然后

将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点

法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方

向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），

y ax

bx c 2

y a x

h k ()

2

y

a x

x x

x ()()12x x 12，ax

bx c

2

0y

ax

bx

c 2

y

ax

bx

c 2

y

a x

h k ()

2

y ax 2

y ax

bx

c 2

y a x h k ()

2

y

ax 2

y

ax

bx

c 2

y

a x h k ()

2

（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3. 二次函数的性质函数

二次函数a 、b 、c 为常数，a ≠0（a 、h 、k 为

常数，a ≠0）a ＞0a ＜0

a ＞0a ＜0

图象

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开

口向下，并向

下无限延伸

性(2)对称轴是x ＝，顶点是（）(2)对称轴是x ＝，顶点是

（

）

(2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ）(2)对称轴是x

＝h ，顶点是

（h ，k ）

质

(3)当

时，y 随x 的增大而减小；当时，y 随x 的增大而增大(3)当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小

(3)当时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。

(3)当x ＜h 时，

y 随x 的增大而

增大；当x ＞h

时，y 随x 的增

大而减小

(4)抛物线有最低点，当

时，y 有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y 有最大值，

(4)抛物线有最低点，当x ＝h 时，y 有最小值(4)抛物线有

最高点，当x

＝h 时，y 有最

大值

4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法

①配方法：将解析式

化为的形式，顶点坐标为

y ax bx c 2

y a x h k ()

2

b a 2b a

ac b

a 2442

，b

a 2b

a

ac b

a

2442

，

x b a 2x b a 2x b a 2x b a 2x h x b a 2y ac b

a

最小值

442

x b a 2y ac b

a

最大值

442

y k

最小值y k

最大值

y

ax

bx

c 2

y

a x h k ()

2

（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；

若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（

），求其顶点；对称轴是直

线

，若

若，

y 有最大值，当

5. 抛物线与x 轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

②当时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为

顶点。③当

时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。

二、考点归纳

考点一求二次函数的解析式

例1.已知二次函数f （x ）满足f （2）＝－1，f （－1）＝－1，且f （x ）的最

x

h y k

最小值

y k

最大值

b

a

ac b

a 2442

，

x

b a 2a

y x

b

a y ac b

a 02442

，有最小值，当时，；

最小值

a 0x

b a

y ac b

a

2442

时，最大值

y ax

bx c a 2

0()

≠b ac 2

40b

ac

2

40b

ac

2

40