三角函数与平面向量教师加学生版附答案-2012年高考数学复习精品资料

2012年高考数学第二轮复习精品资料

三角函数、平面向量型解答题（教师版）

Ⅰ.三角函数化简与求值

【调研1】（1）已知02x，1sincos5xx，试求223sin2sincoscos2222cottanxxxxxx的值；

（2）已知，为锐角，且223sin2sin1，3sin22sin20试求)23cos(的值.

分析：（1）从函数名称的差异入手，应该采用“切割化弦”的策略.（2）从角的差异入手：所求角是2

解析：（1）∵1sincos5xx ∴221sin2sincoscos25xxxx，即12sincos25xx

∵02x ∴sin0x，cos0x，sincos0xx

又∵2(sincos)xx＝12sincosxx＝4925，即7sincos5xx

∴223sin2sincoscos2222cottanxxxxxx＝223sin2sincoscos2222cossinsincosxxxxxxxx

＝222cossinsincoscossinxxxxxx＝[2(cossin)](sincos)xxxx

＝112(2)()525　＝108125

（2）∵223sin2sin1；3sin22sin20

∴23sincos2„„„① 6sincos2s„„„„②

∵02，02 ∴02，02，sin20，sin20

将①②相除得tancot2，即cot()cot22

∴022，22 ∴cos(2)3＝cos()23＝32

【技巧点拨】“分析结构，消除差异”是求解三角问题的法宝，在分析结构的基础上，寻找已知与所求之间的差异

（1）函数名称之间的差异：从函数名差异出发，统一函数名称，便于进一步化简或证明（2）角度之间的差异：常常将已知角和所求角进行比较，找出它们之间差异，明确运算方2012年高考数学第二轮复习精品资料

向.（3）函数次数之间的差异：根据解题需要，可以通过2cos2cos12和2sin2cos12变形，从而达到灵活升次或降次目的.

Ⅱ.三角函数的图像与性质

【调研2】已知函数()fx＝1tan12sin24xx，求函数()fx的定义域和值域；并求出单调递增区间；

分析：求解本例的关键是准确化简函数()yfx，在化简过程中，注意加强目标意识，本例最终的化简目标是sin()yAwxB或cos()yAwxB.

解析：()fx＝1tan12sin24xx

＝sin112sin2cos2cos2sincos44xxxx

＝2sin12sincos2coscosxxxxx

＝2cossincossinxxxx

＝2cos2x

∵()fx＝1tan12sin24xx中含有tanx

∴函数()fx的定义域为2xk（kZ）.

∴2cos22x，函数()fx的值域为2,2

令222kxk（kZ）得2kxk（kZ）

∴函数()fx的单调递增区间为,2kk（kZ）

故函数()fx的定义域为2xk（kZ），值域为2,2，单调递增区间为,2kk.

【方法点拨】主要考查三角函数的最值、周期性、单调区性以及对称性等查，大多属于中低档题，大多是课本例题、习题或复习参考题改编而来.因此在复习备考过程中应注意以下三点：一是“立足课本，着眼提高”，二是加强掌握常规题型基本解法，三是加强三角函数式化简训练.

Ⅲ.求解三角形问题

【调研3】（1）在△ABC中，已知463AB，6cos6B，AC边上的中线5BD，求sinA的值.

（2）在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知222bcabc ①求角A大小；②若43sinsinCB，判断△ABC的形状.

分析：第（1）小题：如何利用条件5BD是关键所在！解析： 设E为BC的中点，连接DE，则//DEAB，且Ｂ C A

D

E 2012年高考数学第二轮复习精品资料

12623DEAB，设BEx，则在△BDE中5BD，263DE，BEx，利用余弦定理可得

22262665()2336xx

解之得1x，73x（舍去）

∴2BC，从而222282cos3ACABBCABBCB

∴2213AC ∴30sin6B，22123sin306A 故70sin14A

（2）解析：① ∵222bcabc，与余弦定理2222cosbcabcA对比

∴1cos2A 又∵A是三角形的内角 ∴3A

解法1：统一成角的关系

∵3A ∴23BC

∴sinsinBC＝2sinsin()3BB＝231sincossin22BBB

＝11sin(2)264B＝34

∴sin(2)16B 即有3B ∴3ABC

故△ABC为等边三角形.

解法2：统一成边的关系

∵sinsinsinbcaBCA，3A ∴3sin2bBa，3sin2cCa

∵43sinsinCB ∴23333sinsin2244cbbcBCaaa，即2abc

∵222bcabc ∴222bcbc，即bc

∵3A ∴abc 故△ABC为等边三角形.

【方法点拨】1.求解三角形的形状问题大致有两条思路：①都统一成边的关系，②都统一成角的关系 2012年高考数学第二轮复习精品资料

2.求解三角形问题时常常运用到以下结论：若三角形ABC的角Ａ、Ｂ、Ｃ分别对应边a，b，c，则：

（1）边的关系

①cbacb；②.若三角形是直角三角形，若角C为直角，则222bac；

（2）角的关系①. 0180CBA；特别地，若角C为直角，则090BA.

②.角A、B、C成等差数列60,120120120BACAC

（3）边与角的关系

①.正弦定理 2sinsinsinabcRABC ②.余弦定理

2222cosabcbcA，

③.在三角形ABC中, 若AB，则ab，反之也成立（大角对大边定理）

（4）三角形的面积公式

①.111222ABCabcSahbhCh△＝ ②.111sinsinsin222ABCSabCbcAacB△＝

③.()()()ABCSppapbpc△＝（其中p是半周长，即2abcp）

Ⅳ.三角函数与平面向量的综合问题

【调研4】已知空间向量(sin,1,cos)a，(1,2cos,1)b，15ab，(0,)2

（1）求sin2及sin、cos的值；

（2）设函数()5cos(2)cos2fxxx()xR，指出)(xf的最小正周期并求)(xf

取得最大值时的x的值.

解析：（1）∵(sin,1,cos)a，(1,2cos,1)b，15ab

∴1sin112coscos15ab，即1sincos5„„„„„„„„①

∴112sincos25，即24sin225；12sincos25

(0,)2„„„„„„„„„②

联立方程①②可得4sin5，3cos5

（2）∵()5cos(2)cos2fxxx，4sin5，3cos5

∴()fx＝5cos2cos5sin2sincos2xxx

＝4sin24cos2xx＝42sin(2)4x 2012年高考数学第二轮复习精品资料

∴函数()5cos(2)cos2fxxx的最小正周期T

当2242xk，即8xk（kZ）时，max()42fx

【方法探究】

函数式sincos，sincos，sincos三者关系密切，能“知一求二”. 1122xx、1xx与22xx组等.

Ⅴ.以平面向量为工具的综合问题

【调研5】已知向量(1,2)a，(2,1)b，k、t为正实数，2(1)xatb，11yabkt.

（1）若xy，求k的最大值；

（2）是否存在k、t使//xy？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

解析：∵(1,2)a，(2,1)b

∴x＝2(1)atb＝2(1,2)(1)(2,1)t＝22(21,3)tt

11yabkt＝11(1,2)(2,1)kt＝1221(,)ktkt

（1）若xy，则0xy，即221221(21)()(3)()0ttktkt，即21tkt

∴21tkt＝11tt12（当且仅当1tt，即1t时取等号）

∴当1t时，k的最大值为max12k.

（2）假设存在正实数k、t，使//xy，则

232112(21)()(3)()0ttktkt，化简得2110tkt ∴30ttk

∵k、t为正实数 故满足上式30ttk的k、t不存在.

∴不存在这样的正实数k、t，使//xy

【技巧点拨】具体化策略是最常用的解题策略之一，求解数学解答题往往是一系列具体化的过程，如本例根据题设条件，先后具体化x、y、xy与//xy，分别转化为常规的最值问题和解方程问题.

1.已知为第二象限的角，3sin5，b为第一象限的角，5cos13b，求