第七章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB 向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如 a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量a 和b 的大小相等 且方向相同 则说向量a 和b 是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB单位向量 模等于1的向量叫做单位向量 零向量 模等于0的向量叫做零向量 记作0或→零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a 与b 平行 记作a 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则当向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律 (1)交换律a b b a(2)结合律(a b )c a (b c )由于向量的加法符合交换律与结合律 故n 个向量a 1 a 2 a n (n 3)相加可写成a 1a 2 a n 并按向量相加的三角形法则 可得n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量a 1 a 2 a n 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a 向量的减法b ϖa ϖc ϖABCBCb ϖa ϖDc ϖ我们规定两个向量b与a的差为b a b (a )即把向量a加到向量b 上便得b与a的差b a 特别地当b a 时有a a a (a )0显然任给向量→AB及点O有→→→→→AOOBOBOAAB-=+=因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量→AB便是向量b与a的差b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b ||a ||b|及|a b ||a ||b |其中等号在b与a 同向或反向时成立2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a 与实数的乘积记作a 规定a 是一个向量它的模|a ||||a |它的方向当>0时与a 相同当<0时与a 相反当0时 |a |0即a 为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1时有1a a (1)a a运算规律(1)结合律(a )(a )()a；(2)分配律 ()a a a；(a b )a b例1在平行四边形ABCD 中设−→−AB a−→−AD b试用a和b表示向量−→−MA、−→−MB、−→−MC、−→−MD其中M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以a b−→−−→−==AMAC 2即(a b)−→−=MA2CDbϖaϖbϖbϖaϖbϖ于是 21-=−→−MA (ab )因为−→−−→−-=MAMC 所以21=−→−MC (a b )又因a b −→−−→−==MD BD 2 所以21=−→−MD (b a )由于−→−−→−-=MDMB 所以21=−→−MB (a b )例1 在平行四边形ABCD 中 设→a =AB →b=AD 试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD其中M 是平行四边形对角线的交点解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以→→→MAAM AC 22-===+b a于是→)(21b a +-=MA →→)(21b a +=-=MA MC因为→→MD BD 2==+-b a 所以→)(21a b -=MD →→)(21b a -=-=MD MB向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a |a |e a 向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a | a | e a定理1 设向量a 0 那么 向量b 平行于a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设b||a b ||||=λ|b ||a a b ==|||||→OP →OP →OP →OP →OP →OP →OP →r =OM →→→→→→→OROQ OP NM PN OP OM ++=++==r →ix OP =→jy OQ =→kz OR =→kj i r z y x OM ++==→ix OP =→jy OQ =→kz OR =→) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r →OM =r →OM 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定A BCDMϖbϖ的特征 例如 点M 在yOz 面上 则x 0 同相 在zOx 面上的点 y 0 在xOy 面上的点 z 0 如果点M 在x 轴上 则y z 0 同样在y 轴上,有z x 0 在z 轴上 的点 有x y 0 如果点M 为原点 则x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算设a (a x a y a z ) b (b x b y b z ) 即 a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k 则 a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z )a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z ) a (a x i a y j a z k )(a x )i (a y )j (a z )k (a x a y a z ) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (a x a y a z )0 b(b xb y b z ) 向量bz z y y x x a b a b a b ==⎩⎨⎧=-=-by x ay x 2335 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x 2a 3b y 3a 5b以a 、b 的坐标表示式代入 即得 x 2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y 3(2 1 2)5(1 12)(112 16)例3 已知两点A (x 1 y 1 z 1)和B (x 2 y 2 z 2)以及实数1在直线AB 上求一点M使→→MBAM λ=解 由于→→→OA OM AM -= →→→OM OB MB -=因此 →→→→)(OM OB OA OM -=-λ从而 →→→)(11OB OA OM λλ++=) 1 ,1 ,1 (212121λλλλλλ++++++=x x x x x x这就是点M 的坐标另解 设所求点为M (x y z ) 则→), ,(111z z y y x x AM ---= →), ,(222z z y y x x MB ---=依题意有→→MBAM λ= 即(x x 1 y y 1 z z 1)(x 2x y 2y z 2z )(x yz )(x 1 y 1 z 1)(x 2y 2 z 2)(x y z )), ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++= λλ++=121x x x λλ++=121y y y λλ++=121z z z点M 叫做有向线段→AB 的定比分点 当1 点M 的有向线段→AB 的中点 其坐标为 221x x x +=221y y y +=221z z z +=五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x yz )作→r =OM 则→→→→OR OQ OP OM ++==r按勾股定理可得222||||||||||OR OQ OP OM ++==r 设 →ix OP = →jy OQ = →kz OR =有 |OP ||x | |OQ ||y | |OR ||z | 于是得向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r设有点A (x 1 y 1z 1)、B (x 2 y 2 z 2) 则→→→OA OB AB -=(x 2 y 2 z 2)(x 1 y 1 z 1)(x 2x 1 y 2y 1 z 2z 1)于是点A 与点B 间的距离为→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==例4 求证以M 1(4 3 1)、M 2 (7 1 2)、M 3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解 因为 | M 1M 2|2 (74)2(13)2(21)214| M 2M 3|2 (57)2(21)2(32)26| M 1M 3|2 (54)2(23)2(31)26所以|M 2 M 3||M 1M 3| 即 M 1 M 2 M 3为等腰三角形例5 在z 轴上求与两点A (4 1 7)和B (3 5 2)等距离的点解 设所求的点为M (0 0 z ) 依题意有|MA |2|MB |2即 (04)2(01)2(z 7)2(30)2(50)2(2z)2解之得914=z 所以 所求的点为)914,0 ,0(M例6 已知两点A (4 05)和B (7 1 3) 求与→AB 方向相同的单位向量e解 因为→)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB→14)2(13||222=-++=AB 所以 →→)2 ,1 ,3(141||-==AB AB e2．方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作^) ,(b a 或^),(a b 如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 非零向量r 与三条坐标轴的夹角、、称为向量r 的方向角 向量的方向余弦 设r(x yz ) 则x |r |cos y |r |cosz |r |coscos 、cos 、cos 称为向量r 的方向余弦||cos r x=α ||cos r y =β ||cos r z=γ从而 re r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα上式表明 以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量e r因此cos 2cos 2cos 21例3 设已知两点)2 ,2 ,2( A )和B (1, 3, 0) 计算向量→AB 的模、方向余弦和方向角 解 →)2 ,1 ,1()20 ,23 ,21(--=---=AB→2)2(1)1(||222=-++-=AB21cos -=α 21cos =β 22cos -=γ32πα=3πβ=43 πγ=3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴 任给向量r 作→r =OM 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M (点M 叫作点M在u 轴上的投影)则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量 设→e λ='M O 则数称为向量r 在u 轴上的投影 记作Prj u r 或(r )u按此定义 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x a y a z 就是a 在三条坐标轴上的投影 即a x Prj x a a y Prj y a a z Prj z a 投影的性质性质1 (a )u |a |cos (即Prj u a |a |cos ) 其中为向量与u 轴的夹角 性质2 (a b )u (a )u (b )u (即Prj u (a b ) Prj u a Prj u b ) 性质3 (a )u (a )u (即Prj u (a )Prj u a )§72 数量积 向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景:设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2以s 表示位移→21M M 由物理学知道力F 所作的功为W |F | |s | cos其中 为F 与s 的夹角 数量积对于两个向量a 和b 它们的模|a |、|b |及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积记作a b 即a ·b |a | |b | cos数量积与投影由于|b | cos |b |cos(a ^ b )当a 0时|b | cos(a ^b )是向量 b 在向量a 的方向上的投影于是a ·b |a | Prj a b 同理当b 0时a·b |b | Prj b a 数量积的性质(1) a·a |a | 2(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果 a·b 0则 a b反之如果a b则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则a b a·b0数量积的运算律(1)交换律a·b b·a(2)分配律(a b)c a c b c(3)(a)·b a·(b)(a·b)(a)·(b)(a·b)、为数(2)的证明分配律(a b)c a c b c的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c例1 试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中∠BCA(图724)BC|a CA|b |AB|c要证c 2a 2b 2 2 a b cos记→CB a→CA b→AB c则有c a b从而|c|2c c(a b)(a b)a a b b2a b|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2b 2 2 a b cos数量积的坐标表示设a(a x a y a z )b(b x b y b z )则a·b a x b x a y b y a z b z提示按数量积的运算规律可得a·b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z两向量夹角的余弦的坐标表示设(a ^ b)则当a0、b0时有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ提示 a·b |a ||b |cos例2 已知三点M (111)、A (221)和B (212)求AMB解 从M 到A 的向量记为a 从M 到B 的向量记为b 则AMB 就是向量a 与b 的夹角a {110}b {101} 因为a b 1110011 2011||222=++=a 2101||222=++=b所以 21221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB从而 3π=∠AMB例3．设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量v 设n 为垂直于S 的单位向量（图7-25(a )） 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ)解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b ))这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角所以这柱体的高为| v | cos 体积为A | v | cos A v ·n从而单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为 P A v ·n 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设O 为一根杠杆L 的支点有一个力F 作用于这杠杆上P 点处F 与→OP 的夹角为由力学规定力F 对支点O 的力矩是一向量M它的模 →θsin |||||| F M OP =而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从→OP 以不超过的角转向F 来确定的 向量积设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c ||a ||b |sin 其中 为a 与b 间的夹角 c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定那么向量c 叫做向量a 与b 的向量积记作a b 即c a b 根据向量积的定义 力矩M 等于→OP 与F 的向量积即→FM ⨯=OP向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a 、b 如果a b则azy x zy x b b b a a a k j i b a =⨯211112--=⨯k j i b a →→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆→AB→AC→→421222k j i =⨯AC AB 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S →OM Rz z y y x x =-+-+-202020)()()(222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x 5=R 0) ,(11=z y f 1z z =221||y x y +=0) ,(22=+±z y x f 22y x +±0) ,(22=+±z y x f 0) ,(22=+±z x y f 20πα<<22y x +±αcot 22y x z +±=12222=-c z a x 122222=+-c z y a x 122222=-+c z a y x S z y x ∈) , ,1(λ0) , ,1(=z y x F λ2222z a y x =+ab2222)(z a y ba x =+22222zb y a x =+22222z b y a x =+2222z a y x =+ab 22222z b y a x =+1)()(2222=+bt y at x 1222222=++c z b y a x a c 122222=++c z a y x a b 1222222=++c z b y a x 1222222=-+c z b y a x 12222=-c z a x 122222=-+c z a y x a b1222222=-+c z b y a x 1222222=--c z b y a x 12222=-c z a x 122222=+-c y z a x c b1222222=--c z b y a x z b y a x =+2222za x =22za y x =+222ab z b y a x =+2222z b y a x =-22222222a t z b y -=-) ,0 ,(22a t t 22a x z =12222=+b y a x 12222=-b y a x ay x =2⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ⎩⎨⎧=+=+632122z x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z )0 ,2(a 2a⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz ta y ta x ωωsin cos也可以用其他变量作参数 例如令 t 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos其中ωvb = 而参数为*曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如⎪⎩⎪⎨⎧===) ,(),() ,(t s z z t s y y t s x x例如空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (t )绕z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (t 02) (4)这是因为 固定一个t 得上一点M 1((t ) (t ) (t )) 点M 1绕z 轴旋转 得空间的一个圆 该圆在平面z(t )上 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+ 因此固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程 再令t 在[ ]内变动 方程(4)便是旋转曲面的方程例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ(上式消t 和 得曲面的直角坐标方程为41222zy x +=+)又如球面x2y 2z 2a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0)绕z 轴旋转所得 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (002)三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影)设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F设方程组消去变量z 后所得的方程H (x y )0 这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面 这是因为一方面方程H (x y )0表示一个母线平行于z 轴的柱面 另一方面方程H (x y )0是由方程组消去变量z 后所得的方程 因此当x 、y 、z 满足方程组时 前两个数x 、y 必定满足方程H (x y )0 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x y )0所表示的曲面上 即曲线C 在方程H (x y )0表示的柱面上 所以方程H (x y )0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为 ⎩⎨⎧==0),(z y x H 讨论曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么例4已知两球面的方程为x 2y 2z 21 (5)和x 2(y 1)2(z 1)21 (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程解先将方程x 2(y 1)2(z 1)21化为x 2y 2z 22y 2z 1然后与方程x 2y 2z 21相减得 y z 1将 z 1y 代入x 2y 2z 21 得 x 22y 22y 0这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为 ⎩⎨⎧==-+02222z y y x例5求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影解由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x2y 21 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面 容易看出 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x这是xOy 面上的一个圆 于是所求立体在xOy 面上的投影 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2y 21§75 平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 唯一确定平面的条件当平面上一点M 0(x 0 y 0 z 0)和它的一个法线向量n (A B C )为已知时 平面的位置就完全确定了 平面方程的建立设M(xy z )是平面上的任一点 那么向量→M M 0必与平面的法线向量n 垂直 即它们的数量积等于零→0=⋅M M n由于n (A B C ) →), ,(0000z z y y x x M M ---=所以A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这就是平面上任一点M 的坐标x y z 所满足的方程反过来 如果M (x y z )不在平面上那么向量→M M 0与法线向量n 不垂直 从而→0=⋅M M n 即不在平面上的点M 的坐标x y z 不满足此方程由此可知 方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0就是平面的方程 而平面就是平面方程的图形 由于方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0是由平面上的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及它的一个法线向量n (A B C )确定的 所以此方程叫做平面的点法式方程 例1 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为(x 2)2(y 3)3z 0 即 x 2y 3z 80例2 求过三点M 1(2 1 4)、M 2(1 3 2)和M 3(0 2 3)的平面的方程解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M所以→→kj i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即 14x 9y z 150 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是x y z 的一次方程 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 反过来 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0我们任取满足该方程的一组数x 0 y 0 z 0 即 Ax 0By 0Cz 0D 0 把上述两等式相减 得A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这正是通过点M 0(x 0 y 0 z 0)且以n (A B C )为法线向量的平面方程 由于方程 Ax By Cz D 0 与方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0同解 所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0的图形总是一个平面 方程Ax By Cz D 0称为平面的一般方程 其中x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标 即n (A B C )例如 方程3x 4y z 90表示一个平面 n (3 4 1)是这平面的一个法线向量讨论考察下列特殊的平面方程 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系 平面通过的特殊点或线Ax By Cz 0By Cz D 0 Ax Cz D 0 Ax By D 0 Cz D 0 Ax D 0 By D 0 提示D 0 平面过原点n (0 B C ) 法线向量垂直于x 轴 平面平行于x 轴 n (A 0 C ) 法线向量垂直于y 轴 平面平行于y 轴 n (A B 0) 法线向量垂直于z 轴 平面平行于z 轴n (0 0 C ) 法线向量垂直于x 轴和y 轴 平面平行于xOy 平面 n (A 0 0) 法线向量垂直于y 轴和z 轴 平面平行于yOz 平面 n(0 B 0) 法线向量垂直于x 轴和z 轴 平面平行于zOx 平面 例3 求通过x 轴和点(4 3 1)的平面的方程解 平面通过x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴 即A 0 另一方面表明它必通过原点 即D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有3B C 0或 C 3B将其代入所设方程并除以B (B 0) 便得所求的平面方程为 y 3z 0例4 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )三点 求这平面的方程(其中a 0 b 0 c 0) 解 设所求平面的方程为 Ax By Cz D 0因为点P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )都在这平面上 所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA由此得 aDA -= bD B -= cD C -=将其代入所设方程 得 0=+---D z cD y b D x a D即 1=++cz b ya x上述方程叫做平面的截距式方程 而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距 三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n 1(A 1 B 1 C 1)和n 2(A 2 B 2 C 2) 那么平面1和2的夹角 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角 因此 |) ,cos(|cos 2^1n n =θ按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面1和2的夹角 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1和2垂直相当于A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 20 平面1和2平行或重合相当于212121C C B B A A ==例5 求两平面 x y 2z 60和2x y z 50的夹角解 n 1(A 1 B 1 C 1)(1 1 2) n 2(A 2 B 2 C 2)(2 1 1) 222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ211122)1(1|121)1(21|222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=所以 所求夹角为3πθ=例6 一平面通过两点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)且垂直于平面x y z 0 求它的方程解 方法一已知从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量为n (A B C )因为点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)在所求平面上 所以n n 1 即A 2C 0 A 2C又因为所求平面垂直于平面x y z 0 所以n n 1 即A B C 0 B C 于是由点法式方程 所求平面为2C (x 1)C (y 1)C (z 1)0 即2x y z 0方法二 从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量n 可取为n 1 n 2 因为kj i k j i n n n --=--=⨯=2111 20121所以所求平面方程为2(x 1)(y 1)(z 1)0 即 2x y z 0例7 设P 0(x 0 y 0 z 0)是平面Ax By Cz D 0外一点 求P 0到这平面的距离 解 设e n 是平面上的单位法线向量 在平面上任取一点P 1(x 1 y 1 z 1) 则P 0到这平面的距离为→||01n P P d e ⋅=222101010|)()()(|CB A z zC y y B x x A ++-+-+-=222111000|)(|C B A Cz By Ax Cz By Ax ++++-++=222000||C B A D Cz By Ax +++++=提示 ) , ,(1222C B A C B A n ++=e→), ,(10101001z z y y x x P P ---=例8 求点(2 1 1)到平面 x y z10的距离解 222000||C B A D Cz By Ax d +++++=222)1(11|11)1(1121|-+++⨯--⨯+⨯=333==§7 6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (1)反过来 如果点M 不在直线L 上 那么它不可能同时在平面1和2上 所以它的坐标不满足方程组(1) 因此 直线L 可以用方程组(1)来表示 方程组(1)叫做空间直线的一般方程设直线L 是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么点M 在直线L 上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A因此 直线L 可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L 的平面有无限多个 只要在这无限多个平面中任意选取两个 把它们的方程联立起来 所得的方程组就表示空间直线L 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件当直线L 上一点M 0(x 0 y 0 x 0)和它的一方向向量s (m n p )为已知时 直线L 的位置就完全确定了 直线方程的确定已知直线L 通过点M 0(x 0 y 0 x 0) 且直线的方向向量为s (m n p ) 求直线L 的方程设M (x y z )在直线L 上的任一点 那么 (x x 0 y y 0 z z 0)//s 从而有pz z n y y m x x 000-=-=- 这就是直线L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向式方程注 当m n p 中有一个为零 例如m 0 而n p 0时 这方程组应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z ny y x x 000当m n p 中有两个为零 例如m n 0 而p 0时 这方程组应理解为 ⎩⎨⎧=-=-000y y x x直线的任一方向向量s 的坐标m 、n 、p 叫做这直线的一组方向数 而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设t pz z n y y m x x =-=-=-000 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nty y mt x x 000此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=+-=++4321z y x z y x解先求直线上的一点 取x 1 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y解此方程组 得y 2 z 0 即(1 2 0)就是直线上的一点 再求这直线的方向向量s 以平面x y z 1和2x y 3z 4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :s (i j k )(2i j3k )=-=312 111k j i 4ij 3k因此 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-z y x令t z y x =-=-+=-31241 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz ty t x 3241提示 当x 1时 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y 此方程组的解为y 2 z 0kj i k j i k j i k j i s 34 312 111)32()(--=-=+-⨯++=令t zy x =-=-+=-31241 有x 14t y 2t z 3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1(m 1 n 1 p 1)和s 2(m 2 n 2 p 2) 那么L 1和L 2的夹角就是) ,(2^1s s 和) ,() ,(2^12^1s s s s -=-π两者中的锐角因此|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ 根据两向量的夹角的余弦公式 直线L 1和L 2的夹角可由|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线L 1111111p z z n y y m x x -=-=- L 2222222p z z n y y m x x -=-=- 则L 1L 2m 1m 2n 1n 2p 1p 20 L 1 L 2212121p p n n m m == 例2 求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=zy x 的夹角解 两直线的方向向量分别为s 1(1 4 1)和s 2(22 1) 设两直线的夹角为 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ所以4πϕ=四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为2π设直线的方向向量s (m n p ) 平面的法线向量为n(A B C )直线与平面的夹角为那么|) , (2|^n s -=πϕ 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ 按两向量夹角余弦的坐标表示式有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 pCn B m A ==因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp 0设直线L 的方向向量为(m n p ) 平面的法线向量为(A B C ) 则LpCn B m A ==L / / Am Bn Cp 0例3 求过点(1 2 4)且与平面2x 3y z 40垂直的直线的方程解平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为143221-=-+=-z y x五、杂例例4求与两平面 x 4z 3和2x y 5z 1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程解平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s 因为 )34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x例5求直线241312-=-=-z y x 与平面2xy z 60的交点解 所给直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程中 得2(2t )(3t )(42t )60 解上列方程 得t 1 将t 1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x 1 y 2 z 2例6 求过点(2 1 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线的方程 解 过点(2 1 3)与直线12131-=-=+z y x 垂直的平面为 3(x 2)2(y 1)(z 3)0 即3x 2y z 5直线12131-=-=+zy x 与平面3x 2y z 5的交点坐标为)73 ,713 ,72(-以点(2 1 3)为起点以点)73 ,713 ,72(-为终点的向量为)4 ,1 ,2(76)373 ,1713 ,272(--=----所求直线的方程为431122-=--=-z y x例6 求过点(2 1 2)且与直线241312-=-=-z y x 垂直相交的直线的方程解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为(x 2)(y 1)2(z 2)0 即x y 2z 7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2) 所求直线的方向向量为s (1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 所求直线的方程为21112-=-=--z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021112z y x提示 求平面xy 2z 7与直线241312-=-=-z y x 的交点直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程得(2t )(3t )2(42t )7 解得t 1 代入直线的参数方程得x 1 y 2 z 2 平面束设直线L 的一般方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A其中系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 考虑三元一次方程 A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2 y C 2z D 2)0 即 (A 1A 2)x (B 1B 2)y (C 1C 1)z D 1D 20其中为任意常数 因为系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 所以对于任何一个值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线L 也就是说 这个方程表示通过直线L 的一族平面 另一方面 任何通过直线L 的平面也一定包含在上述通过L 的平面族中通过定直线的所有平面的全体称为平面束 方程A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2y C 2z D 2)0就是通过直线L 的平面束方程 例7 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面x yz 0上的投影直线的方程解 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x y z 1)(x y z 1)0 即 (1)x (1)y (1)z (1)0 其中为待定的常数 这平面与平面 x y z 0垂直的条件是 (1)1(1)1(1)10 即 1 将1代入平面束方程得投影平面的方程为2y 2z 20 即 y z 10 所以投影直线的方程为 ⎩⎨⎧=++=--01z y x z y。
![[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/4067d540a45177232f60a273.webp)
